Guide de l'enseignant: Démonstration par contraposée

Démontre une implication en supposant que sa conclusion est fausse et en montrant qu'alors son hypothèse est fausse elle aussi.

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Quiz de classe

10 questions sur Preuves mathématiques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Expliquer pourquoi une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes
Décider quand une démonstration par contraposée est plus simple qu'une démonstration directe
Nier correctement des conclusions contenant "et", "ou" et des inégalités
Rédiger des démonstrations complètes par contraposée sur les entiers pairs et impairs et sur les inégalités
Distinguer la démonstration par contraposée du raisonnement par l'absurde

Prérequis

• Démonstration directe : supposer l'hypothèse et en déduire la conclusion
• Contraposée : former $\neg q \to \neg p$ à partir d'une implication
• Introduction aux preuves mathématiques : hypothèse, conclusion et CQFD
• Définitions des entiers pairs ( $2k$ ) et impairs ( $2k + 1$ )

Amorces de discussion

1. "S'il pleut, la rue est mouillée." Que peux-tu conclure si la rue est sèche ? Et si elle est mouillée ?
2. Pourquoi l'hypothèse " $n^2$ est pair" est-elle plus difficile à utiliser que " $n$ est impair" ?
3. Quel est le contraire de "au moins un des nombres vaut 5 ou plus" ?
4. Comment expliquerais-tu à un ami la différence entre une démonstration par contraposée et un raisonnement par l'absurde ?

Idées reçues courantes

La contraposée et la réciproque, c'est la même chose

Remédiation: Prends un énoncé vrai dont la réciproque est fausse : "si un nombre est divisible par 4, il est pair". La réciproque est fausse ( $6$ est pair mais pas divisible par 4), tandis que la contraposée ("si un nombre est impair, il n'est pas divisible par 4") est vraie.

Nier, c'est simplement mettre "pas" devant chaque mot

Remédiation: Travaille avec " $x$ et $y$ sont impairs" : les élèves testent des couples comme $(2, 3)$ et voient que l'énoncé est déjà faux quand un seul nombre est pair, ce qui mène à " $x$ est pair ou $y$ est pair".

Une démonstration par contraposée doit se terminer par une contradiction

Remédiation: Écris côte à côte les deux démonstrations de "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" et souligne que la version par contraposée s'arrête simplement à " $n^2$ est impair".

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner un modèle : Contraposée : ... / Supposons : ... / Alors : ... / Donc : ... / L'énoncé de départ est donc vrai
• Commencer par des phrases de la vie courante avant de passer aux nombres
• Vérifier chaque étape avec des nombres concrets comme $n = 7$ ou $n = 10$

Pour les élèves au niveau:

• Démontrer les énoncés classiques sur pair et impair sans modèle
• Nier des énoncés avec et, ou et des inégalités, puis les démontrer
• Décider pour chaque énoncé si la démonstration directe ou la contraposée est plus courte

Pour les élèves avancés:

• Démontrer : si $n^2$ est divisible par 3, alors $n$ est divisible par 3 (cas $n = 3k + 1$ et $n = 3k + 2$ )
• Utiliser " $n^2$ pair entraîne $n$ pair" pour suivre la preuve que $\sqrt{2}$ est irrationnel
• Réécrire une démonstration par contraposée en raisonnement par l'absurde et comparer les longueurs

Alignement aux standards

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construire des arguments solides et critiquer le raisonnement des autres
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Faire preuve de précision, y compris dans l'usage des connecteurs logiques et des négations
HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Expliquer chaque étape de la résolution d'une équation comme découlant de l'égalité affirmée à l'étape précédente

Ressources de la leçon

visualTable de vérité : deux colonnes identiques
Les élèves construisent les colonnes $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ et constatent qu'elles coïncident
activityDirecte ou contraposée ?
Trier 8 énoncés selon la méthode qui donne la démonstration la plus courte, puis en démontrer deux
worksheetEntraînement à la négation
Nier des énoncés avec et, ou, au moins un et des inégalités avant de rédiger des démonstrations

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une démonstration par contraposée démontre une implication

p \to q

en démontrant à sa place sa contraposée

\neg q \to \neg p

. Tu supposes que la conclusion est fausse et tu montres que l'hypothèse doit alors être fausse.

Pourquoi c'est permis (rappel de la leçon Contraposée) : une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes. Leurs colonnes dans la table de vérité sont identiques à chaque ligne (T signifie vrai et F faux ; la table interactive écrit V et F) :

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & \neg q & \neg p & \neg q \to \neg p \\ \hline F & F & T & T & T & T \\ F & T & T & F & T & T \\ T & F & F & T & F & F \\ T & T & T & F & F & T \end{array}

Donc dès que

\neg q \to \neg p

est démontrée,

p \to q

l'est aussi.

Le plan de la démonstration :

1.Écris la contraposée : nie l'hypothèse et la conclusion, puis échange-les.
2.Suppose $\neg q$ (la conclusion est fausse).
3.Avance avec les définitions et le calcul, exactement comme dans une démonstration directe.
4.Arrive à $\neg p$ (l'hypothèse est fausse).
5.Conclus : la contraposée est vraie, donc l'énoncé de départ est vrai.

Quand la choisir : quand l'hypothèse

p

donne peu de prise ("

n^2

est pair" ne dit rien de simple sur

n

), mais que la conclusion niée

\neg q

est concrète ("

n

est impair" signifie

n = 2k + 1

Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde : dans l'absurde, tu supposes à la fois

p

\neg q

et tu cherches *n'importe quelle* contradiction. Ici, tu supposes seulement

\neg q

et tu vises une cible fixe :

\neg p

Exemples résolus

Démontre : pour tout entier $n$ , si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Écris la contraposée

Nie les deux parties et échange-les : "si $n$ n'est pas pair, alors $n^2$ n'est pas pair" → Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair

Suppose la conclusion niée

Suppose que $n$ est impair, donc $n = 2k + 1$ pour un entier $k$ → $n = 2k + 1$

Élève au carré et développe

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ → $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Mets-le sous la forme 2m + 1

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , et $m = 2k^2 + 2k$ est un entier → $n^2$ est impair

Conclus

Nous avons démontré " $n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair", la contraposée de l'énoncé → Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair

Réponse: La contraposée (si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair) est vraie, donc l'énoncé de départ est vrai. CQFD

Erreurs courantes

Démontrer la réciproque au lieu de la contraposée : pour "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair", supposer $n$ pair et montrer que $n^2$ est pair

Pourquoi c'est faux: Cela démontre $q \to p$ , la réciproque, qui est un autre énoncé. Une implication et sa réciproque ne sont pas équivalentes.

Correct: Nie les deux parties et échange-les : suppose $n$ impair ( $\neg q$ ) et montre que $n^2$ est impair ( $\neg p$ ).

Nier " $x$ et $y$ sont impairs" en " $x$ et $y$ sont pairs"

Pourquoi c'est faux: La conclusion est déjà fausse dès qu'un seul des nombres est pair. "Tous les deux pairs" ne couvre qu'une partie des cas, la démonstration serait incomplète.

Correct: "Non ( $a$ et $b$ )" signifie "non $a$ ou non $b$ " : $x$ est pair ou $y$ est pair. Démontre ensuite chaque cas.

Nier $x \geq 5$ en $x \leq 5$

Pourquoi c'est faux: La valeur $x = 5$ vérifie à la fois $x \geq 5$ et $x \leq 5$ , donc $x \leq 5$ n'est pas le contraire de $x \geq 5$ .

Correct: La négation de $x \geq 5$ est $x < 5$ , et la négation de $x > 5$ est $x \leq 5$ .

Supposer $\neg q$ puis chercher "une contradiction quelconque"

Pourquoi c'est faux: C'est mélanger deux méthodes. Dans une démonstration par contraposée il n'y a pas de contradiction : tu as une cible claire.

Correct: Suppose $\neg q$ et avance jusqu'à obtenir exactement $\neg p$ . Chercher une contradiction quelconque, c'est le raisonnement par l'absurde.

Pourquoi c'est important

La démonstration par contraposée est l'un des outils les plus utiles des mathématiques :

Elle rend concrètes des hypothèses vagues : " $n^2$ est pair" est difficile à exploiter, " $n$ est impair, donc $n = 2k + 1$ " est facile à exploiter
Elle simplifie les conclusions avec "ou" : la négation de " $x \geq 5$ ou $y \geq 5$ " est le très pratique " $x < 5$ et $y < 5$ "
Elle est au cœur de résultats classiques : la preuve que $\sqrt{2}$ est irrationnel utilise le fait que $n^2$ pair entraîne $n$ pair, ce qu'on démontre par contraposée
C'est un raisonnement de tous les jours : "si le détecteur de fumée marche, il sonne au test" signifie "pas de bip, donc le détecteur est en panne"
Elle te prépare au raisonnement par l'absurde, la leçon suivante de ce thème, en t'entraînant à nier correctement les énoncés

Quand tu sais nier un énoncé et changer de point de vue, beaucoup de démonstrations qui semblent impossibles en direct ne font plus que quelques lignes.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Les contrôleurs utilisent la contraposée pour écarter des cas sans peser chaque article deux fois.

Exemple:

Règle : si un lot de 4 boîtes pèse au moins 2000 g, alors au moins une boîte pèse au moins 500 g. Contraposée : si chaque boîte pèse moins de 500 g, le lot pèse moins de 2000 g.

1Essaie par toi-même

Une machine remplit 4 boîtes, et aucune ne peut contenir plus de 495 g.

Montre avec la contraposée que le lot ne peut pas atteindre 2000 g.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Plus grand total possible des 4 boîtes :

Tester un logiciel

Les programmeurs testent le code avec la contraposée : si le code est correct, un test donne le bon résultat, donc un mauvais résultat prouve un bug.

Exemple:

Une fonction doit calculer $f(n) = 3n + 2$ . Nous avons démontré : si $f(n)$ est impair, alors $n$ est impair. Contraposée : un $n$ pair doit donner un résultat pair.

2Essaie par toi-même

Un test appelle la fonction avec $n = 8$ et le programme renvoie 27.

Quel devrait être le bon résultat, et que t'apprend le 27 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule la bonne valeur $f(8)$ :

Chiffres de contrôle dans les codes

Beaucoup de codes utilisent une règle simple pour repérer les fautes de frappe. La contraposée te dit quand un code est forcément faux.

Exemple:

Règle : si un code est valide, alors la somme de ses chiffres est divisible par 9. Contraposée : si la somme des chiffres n'est pas divisible par 9, le code n'est pas valide.

3Essaie par toi-même

Quelqu'un tape le code 4726.

Utilise la contraposée pour décider si le code peut être valide.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Somme des chiffres :

Points clés

1Une démonstration par contraposée démontre $p \to q$ en démontrant $\neg q \to \neg p$
2Cela marche parce qu'une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes (mêmes colonnes dans la table de vérité)
3Plan : suppose la conclusion fausse, avance, et montre que l'hypothèse est fausse
4Choisis-la quand la conclusion niée est concrète, par exemple " $n$ est impair" donne $n = 2k + 1$
5Nie avec soin : "et" devient "ou", "ou" devient "et", $\geq$ devient $<$
6Contrairement au raisonnement par l'absurde, tu supposes seulement $\neg q$ et tu vises une seule cible, $\neg p$

Questions fréquentes

Pourquoi démontrer la contraposée démontre-t-il l'énoncé de départ ?

Parce qu'elles sont logiquement équivalentes : dans la table de vérité,

p \to q

\neg q \to \neg p

sont fausses exactement à la même ligne (

p

vraie,

q

fausse) et vraies partout ailleurs. Démontrer l'une, c'est démontrer l'autre.

Comment savoir s'il vaut mieux utiliser la contraposée qu'une démonstration directe ?

Regarde l'hypothèse. Si elle est difficile à exploiter (un énoncé sur

n^2

, un produit, une somme) alors que la conclusion niée te donne une formule (

n = 2k

n = 2k + 1

x < 5

y < 5

), la contraposée est en général plus courte.

Quelle est la différence avec le raisonnement par l'absurde ?

Dans le raisonnement par l'absurde, tu supposes

p

\neg q

et tu cherches n'importe quelle situation impossible. Dans la démonstration par contraposée, tu supposes seulement

\neg q

et tu dois arriver à l'énoncé précis

\neg p

. Toute démonstration par contraposée peut se réécrire par l'absurde, mais une démonstration par l'absurde n'est pas toujours une contraposée.

Si je démontre la contraposée, la réciproque est-elle vraie aussi ?

Pas automatiquement. La réciproque

q \to p

est un énoncé à part. Par exemple, "si

n^2

est pair, alors

n

est pair" et sa réciproque "si

n

est pair, alors

n^2

est pair" sont vraies toutes les deux, mais chacune demande sa propre démonstration.

Glossaire

Contraposée: L'implication $\neg q \to \neg p$ obtenue à partir de $p \to q$ en niant les deux parties et en les échangeant
Démonstration par contraposée: Une démonstration de $p \to q$ qui suppose $\neg q$ et en déduit $\neg p$
Logiquement équivalents: Deux énoncés qui ont la même valeur de vérité à chaque ligne de la table de vérité
Négation: L'énoncé "non $p$ " ( $\neg p$ ), vrai exactement quand $p$ est faux
Réciproque: L'implication $q \to p$ ; elle n'est pas équivalente à $p \to q$
Entier pair / impair: Un entier de la forme $2k$ (pair) ou $2k + 1$ (impair), où $k$ est un entier

Carte des formules

Équivalence avec la contraposée

p \to q \;\equiv\; \neg q \to \neg p

Démontrer le membre de droite démontre celui de gauche

Nier "et"

\neg(a \land b) \equiv \neg a \lor \neg b

Pas les deux : au moins un est faux

Nier "ou"

\neg(a \lor b) \equiv \neg a \land \neg b

Ni l'un ni l'autre : les deux sont faux

Pair et impair

n = 2k

(pair),

\; n = 2k + 1

(impair)

Les formes concrètes obtenues après avoir nié "pair" ou "impair"

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Pour les élèves au niveau:

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Tester un logiciel

Chiffres de contrôle dans les codes

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Équivalence avec la contraposée

Nier "et"

Nier "ou"

Pair et impair

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