Volume des pyramides

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule donne le volume de toute pyramide ? ( $B$ = aire de la base, $h$ = hauteur)
1. a) $V = \frac{1}{3}Bh$
2. b) $V = \frac{1}{2}Bh$
3. c) $V = 3Bh$
4. d) $V = Bh$
Réponse: $V = \frac{1}{3}Bh$
$V = \frac{1}{3}Bh$ . Une pyramide est exactement un tiers du prisme de même base et même hauteur, dont le volume est $Bh$ .
2.
Une pyramide a une base carrée de $3$ m de côté et une hauteur de $5$ m. Quel est son volume en m³ ?
Réponse: 15
$B = 3^2 = 9$ m², donc $V = \frac{1}{3} \times 9 \times 5 = \frac{45}{3} = 15$ m³.
3.
Calcule le volume d'une pyramide à base carrée de $5$ cm de côté et de $12$ cm de hauteur.
Réponse: 100
1. Quelle est l'aire de la base en cm² ? 25
2. Multiplie l'aire de la base par la hauteur. Qu'obtiens-tu ? 300
3. Divise par 3. Quel est le volume en cm³ ? 100
4.
Un prisme et une pyramide ont la même base et la même hauteur. Le prisme a un volume de $90$ cm³. Quel est le volume de la pyramide ?
1. a)45 cm³
2. b)90 cm³
3. c)30 cm³
4. d)270 cm³
Réponse: 30 cm³
La pyramide est un tiers du prisme : $90 \div 3 = 30$ cm³.
5.
Une pyramide a une aire de base de $24$ cm² et une hauteur de $7$ cm. Quel est son volume en cm³ ?
Réponse: 56
$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.
6.
Une pyramide a une base rectangulaire de $9$ m sur $4$ m et une hauteur de $5$ m. Calcule son volume.
Réponse: 60
1. Quelle est l'aire de la base en m² ? 36
2. Multiplie par la hauteur. Qu'obtiens-tu ? 180
3. Divise par 3. Quel est le volume en m³ ? 60
7.
Dans $V = \frac{1}{3}Bh$ , quelle longueur est $h$ ?
1. a)La distance perpendiculaire du sommet à la base
2. b)La longueur d'une arête de la base
3. c)L'apothème d'une face triangulaire
4. d)La longueur d'une arête allant du sommet à un coin
Réponse: La distance perpendiculaire du sommet à la base
$h$ est la hauteur perpendiculaire : la distance du sommet jusqu'à la base, à angle droit. L'apothème se trouve sur une face et il est plus long.
8.
Une pyramide a une base rectangulaire de $7$ cm sur $6$ cm et une hauteur de $10$ cm. Quel est son volume en cm³ ?
Réponse: 140
$B = 7 \times 6 = 42$ cm², donc $V = \frac{1}{3} \times 42 \times 10 = 14 \times 10 = 140$ cm³.
9.
La base d'une pyramide est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm. La pyramide mesure $15$ cm de haut. Calcule son volume.
Réponse: 120
1. Quelle est l'aire du triangle de base en cm² ? 24
2. Multiplie par la hauteur de la pyramide. Qu'obtiens-tu ? 360
3. Divise par 3. Quel est le volume en cm³ ? 120
10.
Une pyramide a une base carrée de $4$ cm de côté et une hauteur de $6$ cm. Quel calcul donne son volume ?
1. a) $\frac{1}{2} \times 4^2 \times 6$
2. b) $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
3. c) $\frac{1}{3} \times 4 \times 6$
4. d) $4^2 \times 6$
Réponse: $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
$B = 4^2 = 16$ , donc $V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{96}{3} = 32$ cm³. Les autres choix oublient le carré, le $\frac{1}{3}$ , ou utilisent $\frac{1}{2}$ .
11.
La base d'une pyramide est un triangle de base $10$ cm et de hauteur $6$ cm. La pyramide mesure $8$ cm de haut. Quel est son volume en cm³ ?
Réponse: 80
$B = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ cm², donc $V = \frac{1}{3} \times 30 \times 8 = 10 \times 8 = 80$ cm³.
12.
Une pyramide à base rectangulaire de $8$ cm sur $5$ cm a un volume de $120$ cm³. Quelle est sa hauteur ?
Réponse: 9
1. Quelle est l'aire de la base en cm² ? 40
2. Combien vaut $3V$ , le triple du volume ? 360
3. Divise par l'aire de la base. Quelle est la hauteur en cm ? 9
13.
Un pavé droit a une base carrée de $6$ cm sur $6$ cm et mesure $10$ cm de haut. Une pyramide creuse a la même base et la même hauteur. Combien de pyramides pleines de sable remplissent le pavé ?
Réponse: 3
1. Quel est le volume du pavé en cm³ ? 360
2. Quel est le volume de la pyramide en cm³ ? 120
3. Combien de pyramides remplissent le pavé ? 3
14.
Tu doubles le côté de la base carrée d'une pyramide et tu gardes la même hauteur. Par combien le volume est-il multiplié ?
1. a)×8
2. b)×3
3. c)×4
4. d)×2
Réponse: ×4
L'aire de la base est $s^2$ , donc doubler $s$ donne $(2s)^2 = 4s^2$ : quatre fois l'aire de la base. La hauteur ne change pas, donc le volume est multiplié par $4$ .
15.
Une pyramide à base carrée a un volume de $200$ cm³ et une hauteur de $6$ cm. Combien mesure un côté de sa base, en cm ?
Réponse: 10
$B = \frac{3V}{h} = \frac{600}{6} = 100$ cm², et $s = \sqrt{100} = 10$ cm.
16.
Une pyramide à base carrée de $16$ cm de côté a un apothème de $17$ cm. Calcule son volume.
Réponse: 1280
1. Combien vaut la moitié du côté de la base, en cm ? 8
2. Utilise Pythagore. Quelle est la hauteur $h$ en cm ? 15
3. Quelle est l'aire de la base en cm² ? 256
4. Quel est le volume en cm³ ? 1280
17.
Une grande tente de groupe est une pyramide à base carrée. Son sol a des côtés de $6$ m et l'apothème de chaque face mesure $5$ m. Quel volume d'air contient-elle ?
Réponse: 48
1. Combien vaut la moitié du côté du sol, en m ? 3
2. Utilise Pythagore. Quelle est la hauteur de la tente en m ? 4
3. Quelle est l'aire du sol en m² ? 36
4. Quel est le volume en m³ ? 48
18.
Un presse-papiers en verre est une pyramide à base carrée de volume $384$ cm³ et de hauteur $8$ cm. Combien mesure un côté de sa base, en cm ?
Réponse: 12
1. Combien vaut $3V$ ? 1152
2. Divise par la hauteur. Quelle est l'aire de la base en cm² ? 144
3. Combien mesure le côté de la base carrée en cm ? 12