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Guide de l'enseignant: Divisibilité par 3 et 9

Apprends le critère de la somme des chiffres : additionne les chiffres d'un nombre pour savoir tout de suite s'il est divisible par 3 ou par 9, trouve des chiffres manquants et vérifie tes additions.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Divisibilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Calculer la somme des chiffres et la somme des chiffres répétée d'un nombre entier
  • Utiliser la somme des chiffres pour décider si un nombre est divisible par 3 et par 9
  • Expliquer pourquoi tout multiple de 9 est un multiple de 3, mais pas l'inverse
  • Expliquer le critère avec la numération : 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
  • Trouver un chiffre manquant pour qu'un nombre soit divisible par 3 ou 9, et vérifier une addition par la preuve par neuf
Prérequis
  • • Critères de divisibilité : ce que veut dire divisible par et ce qu'est un reste
  • • Divisibilité par 2, 5 et 10 : critères qui regardent le dernier chiffre
  • • Les tables de 3 et de 9
  • • La numération : unités, dizaines, centaines, milliers
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi le dernier chiffre renseigne-t-il sur 2, 5 et 10, mais pas sur 3 et 9 ?
  • 2. Si tu mélanges les chiffres d'un nombre divisible par 9, le nouveau nombre est-il encore divisible par 9 ? Pourquoi ?
  • 3. Peux-tu trouver un nombre divisible par 3 mais pas par 9 ? Et un nombre divisible par 9 mais pas par 3 ?
  • 4. Qu'y a-t-il de spécial dans 10 = 9 + 1 ? Une astuce semblable marcherait-elle pour 11 ?
  • 5. La preuve par neuf dit qu'un résultat est bon. Peut-il quand même être faux ?
Idées reçues courantes

Un nombre qui se termine par 3, 6 ou 9 est divisible par 3

Remédiation: Montre des contre-exemples côte à côte : 13, 16, 19 ne sont pas divisibles par 3, mais 12, 15, 21 le sont. Additionne ensuite les chiffres de chacun pour montrer que c'est la somme qui décide.

Divisible par 3 et divisible par 9, c'est la même chose

Remédiation: Écris les multiples de 3 jusqu'à 36 et entoure les multiples de 9 : un sur trois est entouré. Une somme de 3 ou 6 donne seulement 3, une somme de 9 donne les deux.

La somme des chiffres est le résultat de la division

Remédiation: Insiste sur le fait que la somme des chiffres répond seulement oui ou non (et donne le reste). Pour 4527, la somme est 18, mais 4527 ÷ 9 vaut 503.

Une preuve par neuf réussie veut dire que le résultat est sûrement juste

Remédiation: Donne 2345 + 1678 = 4032 (chiffres échangés). La preuve passe, mais le résultat est faux. La preuve détecte beaucoup d'erreurs, pas toutes.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer avec des nombres à 2 chiffres et les tables de 3 et de 9 sur la table
  • • Utiliser des cartes chiffres ou des jetons pour additionner les chiffres un par un
  • • Vérifier chaque réponse à la calculatrice pour que les élèves fassent confiance au critère

Pour les élèves au niveau:

  • • Travailler avec des nombres de 4 à 6 chiffres et des sommes répétées
  • • Résoudre des énigmes à chiffre manquant pour 3 et pour 9
  • • Vérifier des additions par la preuve par neuf

Pour les élèves avancés:

  • • Démontrer le critère pour un nombre à 3 chiffres abc avec 100a + 10b + c
  • • Trouver tous les nombres à 3 chiffres qui commencent par 1 et sont divisibles par 9, et expliquer la régularité
  • • Combiner des critères : quels chiffres rendent 7_2 divisible par 6 (par 2 et par 3) ?
Alignement aux standards
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Trouver toutes les paires de facteurs d'un nombre entier de 1 à 100 et déterminer si un nombre est un multiple d'un nombre à un chiffre

  • 4.NBT.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.A.1)

    Reconnaître que dans un nombre à plusieurs chiffres, un chiffre représente dix fois ce qu'il représente au rang situé à sa droite

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Trouver le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun de nombres entiers et utiliser la distributivité

Ressources de la leçon
  • visualS'entraîner à la divisibilité

    Les élèves répondent oui ou non pour 3 et 9, puis l'outil montre la somme des chiffres et la vraie division

  • visualPourquoi ça marche

    Un grand nombre découpé en multiples de 999, 99 et 9 plus la somme de ses chiffres

  • activityMélange de cartes chiffres

    Par deux, les élèves forment des nombres de 3 et 4 chiffres avec des cartes, prévoient la divisibilité par 3 et 9, puis mélangent les cartes et constatent que la réponse ne change pas

  • gameCourse au chiffre manquant

    Les équipes cherchent le plus vite possible tous les chiffres qui rendent un nombre comme 52_4 divisible par 3, puis le seul chiffre pour 9

  • worksheetVérifie les additions

    Dix additions, certaines avec des erreurs : les élèves font la preuve par neuf pour trouver les fausses

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Pour savoir si un nombre est divisible par 3 ou divisible par 9, le dernier chiffre ne sert à rien. À la place, tu additionnes tous ses chiffres. Ce total s'appelle la somme des chiffres.

Le critère pour 3

Un nombre est divisible par 33 quand la somme de ses chiffres est divisible par 33.
516:5+1+6=12,12÷3=4✓(516÷3=172)516 : \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

Le critère pour 9

Un nombre est divisible par 99 quand la somme de ses chiffres est divisible par 99.
4527:4+5+2+7=18,18÷9=2✓(4527÷9=503)4527 : \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Grands nombres : on recommence

Si la somme des chiffres est encore grande, additionne de nouveau ses chiffres jusqu'à n'avoir plus qu'un seul chiffre :
987 654→39→12→3987\,654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Le dernier chiffre obtenu dit tout : 33, 66 ou 99 veut dire divisible par 33, et seulement 99 veut dire divisible par 99.

9 est plus exigeant que 3

Tout nombre divisible par 99 est aussi divisible par 33 (car 9=3×39 = 3 \times 3). L'inverse est faux : 516516 est divisible par 33, mais la somme de ses chiffres 1212 n'est pas divisible par 99, donc 516516 n'est pas divisible par 99.

Exemples résolus

516516 est-il divisible par 33 ? Est-il divisible par 99 ?
1

Additionne tous les chiffres

5+1+6=125 + 1 + 6 = 12 → Somme des chiffres : 1212
2

Teste la somme pour 3

12÷3=412 \div 3 = 4, pas de reste → 516516 est divisible par 33 : 516÷3=172516 \div 3 = 172
3

Teste la somme pour 9

12÷9=112 \div 9 = 1 reste 33 → 516516 n'est pas divisible par 99

Erreurs courantes

Regarder le dernier chiffre, comme pour 2, 5 et 10

Pourquoi c'est faux: Le dernier chiffre ne dit rien sur 3 ou 9. 2323 se termine par 33 mais n'est pas divisible par 33, alors que 2727 se termine par 77 et est divisible par 33 et par 99.

Correct: Additionne toujours tous les chiffres : 2+7=92 + 7 = 9, donc 2727 est divisible par 33 et par 99.

Croire que tout nombre divisible par 3 est aussi divisible par 9

Pourquoi c'est faux: Le critère pour 99 est plus exigeant. Une somme des chiffres de 1212 ou 1515 est un multiple de 33 mais pas de 99.

Correct: 516516 (somme 1212) est divisible par 33 mais pas par 99. Dans l'autre sens ça marche toujours : tout multiple de 99 est un multiple de 33.

S'arrêter au premier chiffre qui convient dans une énigme à chiffre manquant

Pourquoi c'est faux: Pour 33, il y a en général trois ou quatre chiffres possibles, car les multiples de 33 ne sont espacés que de 33.

Correct: Pour 52□452\square4 et 33, teste 1212, 1515 et 1818 : la case peut contenir 11, 44 ou 77.

Croire qu'une preuve par neuf réussie prouve que le résultat est juste

Pourquoi c'est faux: La preuve par neuf ne détecte que certaines erreurs. Échanger deux chiffres ne change pas la somme des chiffres, donc 40324032 passe la même preuve que 40234023.

Correct: Si la preuve ne concorde pas, le résultat est sûrement faux. Si elle concorde, il est probablement juste, mais pas à coup sûr.

Pourquoi c'est important

Le critère de la somme des chiffres est l'un des raccourcis les plus utiles en calcul :
  • Partager équitablement : peut-on répartir 378 autocollants entre 9 amis ? 3+7+8=183 + 7 + 8 = 18, donc oui, sans même faire la division.
  • Simplifier des fractions : dans 5187\frac{51}{87}, les deux sommes de chiffres (66 et 1515) sont divisibles par 33, tu peux donc diviser les deux par 33 : 1729\frac{17}{29}.
  • Vérifier tes calculs : la somme des chiffres garde le reste de la division par 99, ce qui permet de vérifier une longue addition en quelques secondes (c'est la preuve par neuf).
  • Énigmes de nombres : les énigmes à chiffre manquant et les codes cachent souvent un nombre divisible par 33 ou par 99.
Après les critères pour 2, 5 et 10 (qui regardent le dernier chiffre), c'est le premier critère qui utilise tous les chiffres, et il te prépare aux critères pour 6 et 12.

Applications dans le monde réel

Former des équipes égales

Les entraîneurs et les enseignants doivent souvent répartir un groupe en équipes égales. La somme des chiffres leur dit tout de suite si c'est possible.

Exemple:

135135 coureurs peuvent-ils partir en 99 groupes égaux ? 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, donc oui : 135÷9=15135 \div 9 = 15 coureurs par groupe.

1Essaie par toi-même

À la journée sportive d'une école, il y a 378378 élèves. Les enseignants veulent former 99 équipes de même taille.

Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Répartis les élèves en 9 équipes :

Vérifier une facture

Avant les calculatrices, les commerçants et les comptables vérifiaient les longues additions avec les sommes des chiffres. C'est encore un moyen rapide de repérer une étourderie dans tes propres calculs.

Exemple:

1236+2458=36941236 + 2458 = 3694 : les restes sont 33 et 11, qui font 44, et 36943694 donne aussi 3+6+9+4=22→43 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4. La preuve est bonne.

2Essaie par toi-même

Un caissier additionne deux bons de livraison : 1236+2458=36941236 + 2458 = 3694. Tu veux vérifier le total avec les restes de la division par 99.

Quel est le reste de la division du total 36943694 par 99 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le reste de 3694 divisé par 9 :

Déchiffrer un code

Les livres d'énigmes et les escape games adorent les codes à chiffre manquant. Un indice de divisibilité donne souvent la réponse en une étape.

Exemple:

Un code 7□27\square2 est divisible par 99 : 7+2=97 + 2 = 9, donc la case doit contenir 00 ou 99 (702702 ou 792792).

3Essaie par toi-même

Le code d'un antivol de vélo est 4□714\square71. Un papier indique : le code est divisible par 99.

Quel chiffre manque ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le chiffre qui amène la somme des chiffres au multiple de 9 suivant :

Points clés

  • 1La somme des chiffres est le total de tous les chiffres d'un nombre : pour 45274527, c'est 4+5+2+7=184 + 5 + 2 + 7 = 18
  • 2Un nombre est divisible par 33 quand la somme de ses chiffres est divisible par 33, et par 99 quand elle est divisible par 99
  • 3Pour les grands nombres, additionne les chiffres encore et encore jusqu'à obtenir un seul chiffre : 33, 66, 99 veulent dire divisible par 33, seul 99 veut dire divisible par 99
  • 4Tout multiple de 99 est un multiple de 33, mais tout multiple de 33 n'est pas un multiple de 99
  • 5Ça marche parce que 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1 : les neufs disparaissent et il ne reste que la somme des chiffres
  • 6Un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division par 33 ou par 99, ce qui permet de trouver des chiffres manquants et de vérifier des additions (preuve par neuf)

Questions fréquentes

L'ordre des chiffres compte-t-il ?

Non. 45274527, 72547254 et 27452745 ont tous une somme des chiffres de 1818, donc les trois sont divisibles par 99. Déplacer les chiffres ne change jamais leur somme.

Et le chiffre 0 ?

Un 00 n'ajoute rien à la somme des chiffres, tu peux donc l'ignorer. 30513051 et 351351 ont la même somme des chiffres 99, et les deux sont divisibles par 99.

Pourquoi cette astuce ne marche-t-elle pas pour 7 ?

Elle marche pour 33 et 99 parce que 1010 vaut exactement 11 de plus qu'un multiple de 99. Pour 77 ce n'est pas vrai (10=7+310 = 7 + 3), donc les rangs ne disparaissent pas. Il faut un autre test pour 77.

Comment obtenir le reste à partir de la somme des chiffres ?

Réduis le nombre à un seul chiffre. Pour 99, ce chiffre est le reste, sauf que 99 veut dire reste 00. Par exemple 7654→22→47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, et en effet 7654=9×850+47654 = 9 \times 850 + 4.

Glossaire

Somme des chiffres
Le total obtenu en additionnant tous les chiffres d'un nombre, par exemple 372→3+7+2=12372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12
Somme des chiffres répétée
Additionner les chiffres encore et encore jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre, par exemple 987 654→39→12→3987\,654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Divisible par
Un nombre est divisible par 33 si sa division par 33 ne laisse pas de reste, par exemple 372÷3=124372 \div 3 = 124
Critère de divisibilité
Un raccourci qui dit si un nombre est divisible par un autre sans faire la division
Reste
Ce qui reste après une division, par exemple 23÷9=223 \div 9 = 2 reste 55
Preuve par neuf
Vérifier un calcul en remplaçant chaque nombre par son reste dans la division par 99 (sa somme des chiffres répétée)

Carte des formules

Critère pour 3

3∣n  ⟺  3∣somme des chiffres de n3 \mid n \iff 3 \mid \text{somme des chiffres de } n

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3

Critère pour 9

9∣n  ⟺  9∣somme des chiffres de n9 \mid n \iff 9 \mid \text{somme des chiffres de } n

Un nombre est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres est divisible par 9

Pourquoi ça marche

4527=4×999+5×99+2×9+(4+5+2+7)4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Les parties avec 999, 99 et 9 sont toujours des multiples de 9, donc seule la somme des chiffres décide

Même reste

7654→22→4,7654=9×850+47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres dans la division par 9 (ou par 3)

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