Divisibilité par 3 et 9

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel nombre est divisible par $3$ ?
1. a)535
2. b)770
3. c)421
4. d)612
Réponse: 612
Les sommes des chiffres sont $7$ , $13$ , $9$ et $14$ . Seul $6 + 1 + 2 = 9$ est un multiple de $3$ , donc $612$ est divisible par $3$ : $612 \div 3 = 204$ .
2.
Quel nombre est divisible par $9$ ?
1. a)6303
2. b)8120
3. c)2346
4. d)5013
Réponse: 5013
Les sommes des chiffres sont $15$ , $11$ , $12$ et $9$ . Seul $5 + 0 + 1 + 3 = 9$ est un multiple de $9$ , donc $5013 \div 9 = 557$ . Attention : $2346$ et $6303$ sont divisibles par $3$ , mais pas par $9$ .
3.
Quelle affirmation est vraie ?
1. a)Tout nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3
2. b)Tout nombre divisible par 3 est aussi divisible par 9
3. c)Tout nombre qui se termine par 3 est divisible par 3
4. d)Un nombre est divisible par 9 si son dernier chiffre est 9
Réponse: Tout nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3
Comme $9 = 3 \times 3$ , tout multiple de $9$ est aussi un multiple de $3$ . Les autres sont fausses : $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ , $13$ se termine par $3$ mais n'est pas divisible par $3$ , et $19$ se termine par $9$ mais n'est pas divisible par $9$ .
4.
Quel est le reste de la division de $5237$ par $9$ ?
1. a)0
2. b)7
3. c)8
4. d)2
Réponse: 8
$5 + 2 + 3 + 7 = 17$ et $1 + 7 = 8$ , donc le reste est $8$ . Vérification : $9 \times 581 = 5229$ et $5237 - 5229 = 8$ .
5.
Léo a écrit $3456 + 2789 = 6235$ . Que t'apprend la preuve par neuf ?
1. a)Le résultat est faux : les deux côtés donnent le reste 0
2. b)Le résultat passe la preuve, donc il est juste
3. c)Le résultat est faux : à gauche on obtient le reste 8, mais 6235 donne 7
4. d)La preuve par neuf ne marche pas pour l'addition
Réponse: Le résultat est faux : à gauche on obtient le reste 8, mais 6235 donne 7
$3456 \rightarrow 18 \rightarrow 9$ (reste $0$ ) et $2789 \rightarrow 26 \rightarrow 8$ , donc la somme devrait avoir pour reste $0 + 8 = 8$ . Mais $6235 \rightarrow 16 \rightarrow 7$ . La preuve ne concorde pas, donc le résultat est faux (la bonne somme est $6245$ ).
6.
Quelle est la somme des chiffres de $8457$ ?
Réponse: 24
$8 + 4 + 5 + 7 = 24$ . Comme $24$ est un multiple de $3$ mais pas de $9$ , $8457$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ .
7.
Additionne les chiffres de $98\,765$ encore et encore jusqu'à n'avoir plus qu'un chiffre. Quel chiffre obtiens-tu ?
Réponse: 8
$9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35$ et $3 + 5 = 8$ . Donc $98\,765$ n'est divisible ni par $3$ ni par $9$ ; dans la division par $9$ , le reste est $8$ .
8.
Le nombre $6\square51$ est divisible par $9$ . Quel chiffre va dans la case ?
Réponse: 6
$6 + 5 + 1 = 12$ . Le multiple de $9$ suivant est $18$ , donc la case contient $18 - 12 = 6$ . Vérification : $6651 = 9 \times 739$ .
9.
Quel est le reste de la division de $6014$ par $3$ ?
Réponse: 2
$6 + 0 + 1 + 4 = 11$ et $11 = 3 \times 3 + 2$ , donc le reste est $2$ . Vérification : $6014 = 3 \times 2004 + 2$ .
10.
Combien de chiffres différents (0 à 9) peut-on mettre dans la case pour que $3\square5$ soit divisible par $3$ ?
Réponse: 3
$3 + 5 = 8$ , et avec un chiffre la somme vaut au plus $17$ . Les multiples de $3$ atteignables sont $9$ , $12$ et $15$ , donc la case peut contenir $1$ , $4$ ou $7$ ( $315$ , $345$ , $375$ ) : $3$ chiffres.
11.
Utilise la somme des chiffres pour montrer que $741$ est divisible par $3$ , puis calcule $741 \div 3$ .
Réponse: 247
1. Quelle est la somme des chiffres de $741$ ? 12
2. Combien fait $12 \div 3$ ? 4
3. Calcule maintenant $741 \div 3$ . 247
12.
Utilise la somme des chiffres pour montrer que $2358$ est divisible par $9$ , puis calcule $2358 \div 9$ .
Réponse: 262
1. Quelle est la somme des chiffres de $2358$ ? 18
2. Combien fait $18 \div 9$ ? 2
3. Calcule maintenant $2358 \div 9$ . 262
13.
Utilise la somme des chiffres pour trouver le reste de la division de $1234$ par $3$ .
Réponse: 1
1. Quelle est la somme des chiffres de $1234$ ? 10
2. Quel est le reste de $10 \div 3$ ? 1
3. Vérification : combien fait $1233 \div 3$ ? 411
14.
Utilise des sommes des chiffres répétées pour trouver le reste de la division de $879\,999$ par $9$ .
Réponse: 6
1. Quelle est la somme des chiffres de $879\,999$ ? 51
2. Additionne les chiffres de $51$ . 6
3. Quel est le reste de la division par $9$ ? 6
4. $879\,999$ est-il divisible par $3$ ? oui
15.
Le nombre $4\square8$ est divisible par $9$ . Trouve le chiffre manquant, puis calcule la division.
Réponse: 6
1. Additionne les chiffres connus $4 + 8$ . 12
2. Quel multiple de $9$ peux-tu atteindre en ajoutant un chiffre ? 18
3. Quel chiffre va dans la case ? 6
4. Calcule maintenant $468 \div 9$ . 52
16.
Découpe $372$ en $3 \times 99 + 7 \times 9 + (3 + 7 + 2)$ et utilise-le pour trouver le reste de la division de $372$ par $9$ .
Réponse: 3
1. Combien fait $3 \times 99$ ? 297
2. Combien fait $7 \times 9$ ? 63
3. Quelle est la somme des chiffres $3 + 7 + 2$ ? 12
4. $297$ et $63$ sont des multiples de $9$ . Quel est le reste de la division de $372$ par $9$ ? 3
17.
Vérifie $4782 + 3569 = 8351$ par la preuve par neuf.
Réponse: 8
1. Réduis $4782$ à un chiffre. 3
2. Réduis $3569$ à un chiffre. 5
3. Additionne les deux résultats. 8
4. Réduis le résultat $8351$ à un chiffre. 8
18.
Regarde $25\square8$ . Combien de chiffres le rendent divisible par $3$ ? Quel chiffre le rend divisible par $9$ ?
Réponse: 3
1. Additionne les chiffres connus $2 + 5 + 8$ . 15
2. Combien de chiffres (0 à 9) rendent le nombre divisible par $3$ ? 4
3. Quel chiffre le rend divisible par $9$ ? 3
4. Calcule $2538 \div 9$ . 282