Problèmes concrets sur les fonctions exponentielles : fiche d'exercices avec corrigé (gratuite, imprimable)

1.

Un téléphone perd 15% de sa valeur chaque année. Quel facteur

b

utilises-tu dans le modèle

V(t) = a \cdot b^t

?

a)0,15
b)1,15
c)0,85
d)85

Réponse: 0,85

Décroissance : $b = 1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Chaque année, 85% de la valeur reste. $0{,}15$ est le taux, pas le facteur, et $1{,}15$ serait une croissance.

2.

Le nombre de poissons dans un lac est modélisé par

P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t

, avec

t

en années. Que t'indique le nombre

1{,}04

?

a)La population augmente de 4% chaque année
b)La population augmente de 104% chaque année
c)La population augmente de 4 poissons chaque année
d)Il y a 1,04 poisson au départ

Réponse: La population augmente de 4% chaque année

$1{,}04 = 1 + 0{,}04$ , donc la population est multipliée par $1{,}04$ chaque année : elle augmente de 4% par an. La valeur initiale est $a = 1200$ poissons.

3.

Chaque liste donne les valeurs d'une grandeur pour

t = 0, 1, 2, 3

. Quelle liste suit un modèle exponentiel ?

a)5; 10; 15; 20
b)5; 8; 11; 14
c)5; 10; 20; 40
d)5; 9; 13; 17

Réponse: 5; 10; 20; 40

Dans $5 ; 10 ; 20 ; 40$ , chaque valeur vaut $2$ fois la précédente (quotient constant), donc c'est exponentiel. Les autres listes ajoutent toujours la même quantité ( $+3$ , $+5$ , $+4$ ), elles sont donc linéaires.

4.

Tu places 2000 € à 6% d'intérêts par an, composés chaque trimestre. Quel modèle donne le montant

A

après

t

années ?

a) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{t}$
b) $A = 2000 \cdot 1{,}06^{4t}$
c) $A = 2000 \cdot 1{,}24^{t}$
d) $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$

Réponse: $A = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$

$A = 2000\left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4t} = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}$ . Le premier choix applique le taux annuel à chaque trimestre, le troisième oublie qu'il y a $4t$ trimestres, et $1{,}24$ n'est pas un facteur de ce compte.

5.

Une voiture achetée 20000 € perd 10% de sa valeur chaque année. Quatre élèves ont calculé sa valeur après 4 ans. Quel résultat est correct ?

a)12000
b)29282
c)2
d)13122

Réponse: 13122

$20000 \cdot 0{,}9^4 = 20000 \cdot 0{,}6561 = 13122$ . $29282$ utilise $1{,}1$ (croissance), $12000$ retire $2000$ chaque année (linéaire), et $2$ utilise le facteur $0{,}1$ .

6.

Une vidéo a 500 vues, et le nombre de vues double chaque jour. Combien de vues a-t-elle après 6 jours ?

Réponse: 32000

$V(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$ vues.

7.

Une substance a une demi-vie de 5 heures. Un échantillon contient 80 mg au départ. Combien de mg reste-t-il après 20 heures ?

Réponse: 5

$\frac{20}{5} = 4$ demi-vies : $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{80}{16} = 5$ mg ( $80 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5$ ).

8.

Tu places 1000 € à 8% d'intérêts par an, composés chaque trimestre. Combien y a-t-il sur le compte après 5 ans ? Arrondis au centime.

Réponse: 1485.95

$A = 1000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 1000 \cdot 1{,}485947 \approx 1485{,}95$ €.

9.

On place 1500 € à 5% par an, avec des intérêts composés en continu. Utilise

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

. Combien vaut le placement après 10 ans ? Arrondis à l'euro.

Réponse: 2473

$A = 1500 \cdot e^{0{,}5} \approx 1500 \cdot 1{,}6487 = 2473{,}05$ , donc environ 2473 €.

10.

Un tableau donne

y = 80

pour

t = 0

,

y = 120

pour

t = 1

,

y = 180

pour

t = 2

et

y = 270

pour

t = 3

. Décide s'il est linéaire ou exponentiel, puis trouve la valeur exacte de

y

pour

t = 5

.

Réponse: 607.5

Les différences $40, 60, 90$ ne sont pas constantes, mais chaque quotient vaut $1{,}5$ : exponentiel, $y = 80 \cdot 1{,}5^t$ . Alors $y(5) = 80 \cdot 1{,}5^5 = 80 \cdot 7{,}59375 = 607{,}5$ .

11.

Un ordinateur portable coûte 1200 € et perd 20% de sa valeur chaque année. Combien vaut-il après 3 ans ?

Réponse: 614.4

Quel est le facteur de décroissance $b$ par an ? 0.8
Calcule $0{,}8^3$ . 0.512
Quelle est la valeur après 3 ans ? 614.4

12.

Lundi, 4 élèves connaissent un nouveau défi de danse. Chaque jour, le nombre d'élèves qui le connaissent triple. Combien le connaissent 4 jours plus tard ?

Réponse: 324

Quel est le facteur de croissance $b$ par jour ? 3
Calcule $3^4$ . 81
Combien d'élèves connaissent le défi après 4 jours ? 324

13.

Tu places 3000 € à 5% d'intérêts par an, composés chaque semestre (deux fois par an). Combien as-tu après 6 ans ? Arrondis au centime.

Réponse: 4034.67

Quel est le taux par semestre, $\frac{r}{n}$ , en écriture décimale ? 0.025
Combien y a-t-il de semestres en 6 ans ( $nt$ ) ? 12
Calcule $3000 \cdot 1{,}025^{12}$ au centime près. 4034.67

14.

Une matière radioactive a une demi-vie de 5 ans. Un échantillon pèse 640 g. Combien de grammes reste-t-il après 15 ans ?

Réponse: 80

Combien de demi-vies s'écoulent en 15 ans ( $\frac{t}{T}$ ) ? 3
Que vaut $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ en écriture décimale ? 0.125
Combien de grammes reste-t-il ? 80

15.

Un patient reçoit 500 mg d'un médicament. La quantité dans le sang décroît en continu au taux de 10% par heure, donc

A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}

. Utilise

e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187

. Combien de mg reste-t-il après 2 heures ? Arrondis au mg.

Réponse: 409

Que vaut l'exposant $rt$ pour $t = 2$ ? -0.2
Quelle valeur utilises-tu pour $e^{-0{,}2}$ (4 décimales) ? 0.8187
Combien de mg reste-t-il après 2 heures (au mg près) ? 409

16.

La banque A verse 5% par an, composés chaque année. La banque B verse 5% par an, composés chaque mois. Tu places 10000 € pendant 3 ans. Combien la banque B verse-t-elle de plus ? Arrondis chaque montant au centime.

Réponse: 38.47

Combien la banque A verse-t-elle après 3 ans ? 11576.25
Combien la banque B verse-t-elle après 3 ans ? 11614.72
Combien la banque B verse-t-elle de plus ? 38.47

17.

Un village comptait 2000 habitants. Deux ans plus tard, il en comptait 2880. On suppose une croissance exponentielle

P(t) = 2000 \cdot b^t

(

t

en années). Trouve

b

, le taux de croissance annuel et la population après 4 ans (arrondie à l'habitant près).

Réponse: 4147

Que vaut $b^2 = \frac{2880}{2000}$ ? 1.44
Que vaut $b$ (positif) ? 1.2
Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage (écris seulement le nombre) ? 20
Calcule $P(4) = 2000 \cdot 1{,}2^4$ et arrondis à l'habitant près. 4147

18.

La valeur d'une voiture est

V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t

euros,

t

années après l'achat. Interprète le modèle, puis trouve après combien d'années entières la valeur passe pour la première fois sous 10000 €.

Réponse: 5

Quel était le prix d'achat de la voiture ? 18000
De quel pourcentage la valeur baisse-t-elle chaque année (écris seulement le nombre) ? 12
Que vaut $V(2) = 18000 \cdot 0{,}88^2$ ? 13939.2
Après combien d'années entières la valeur est-elle pour la première fois sous 10000 ? 5