Guide de l'enseignant: Problèmes concrets sur les fonctions exponentielles

Résous de vrais problèmes exponentiels avec une méthode en 5 étapes : intérêts composés, dépréciation, propagation virale, demi-vie et croissance continue.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Appliquer une méthode en 5 étapes pour mettre en équation et résoudre des problèmes exponentiels
Choisir le bon modèle : intérêts composés, croissance continue, demi-vie ou forme générale $a \cdot b^t$
Trouver le facteur de croissance ou de décroissance à partir d'un pourcentage ou d'un tableau de valeurs
Décider à partir d'un tableau si une évolution est linéaire ou exponentielle
Interpréter $a$ et $b$ dans le contexte et juger si un résultat est raisonnable

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$
• Croissance exponentielle : facteur de croissance $1 + r$ et intérêts composés
• Décroissance exponentielle : facteur de décroissance $1 - r$ et dépréciation
• Problèmes de demi-vie : le modèle $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
• Croissance et décroissance continues : le modèle $P \cdot e^{rt}$ avec $e \approx 2{,}71828$

Amorces de discussion

1. Une banque propose 6% composés chaque année, une autre 5,9% composés chaque mois. Comment décides-tu laquelle est la meilleure ?
2. Pourquoi une voiture perd-elle plus d'argent la première année que la cinquième, alors que le pourcentage est le même ?
3. Un post double ses partages chaque heure. Cela peut-il durer une semaine entière ? Qu'est-ce qui l'arrêterait ?
4. Quels mots dans un énoncé te disent de multiplier par un facteur au lieu d'ajouter la même quantité à chaque fois ?

Idées reçues courantes

Une baisse de 15% par an veut dire multiplier par 0,15

Remédiation: Demande : "Si tu perds 15 € sur 100 €, combien d'euros restent ?" Écris $100 - 15 = 85$ , donc le facteur est $0{,}85$ . Vérifie ensuite qu'il reste une grande partie du départ après un an.

L'exposant est toujours le nombre d'années

Remédiation: Fais compter les périodes à voix haute : "chaque mois pendant 10 ans, cela fait 120 mois", "une demi-vie de 6 heures sur 18 heures, cela fait 3 demi-vies". Écris l'exposant en périodes, pas en années.

Tout tableau croissant est exponentiel

Remédiation: Donne deux tableaux croissants, l'un avec des différences constantes et l'autre avec des quotients constants. Les élèves calculent différences et quotients et classent chaque tableau.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner la fiche en 5 étapes avec la formule déjà choisie à l'étape 3
• Commencer par des facteurs entiers (doubler, tripler, diviser par deux) avant les pourcentages
• Faire écrire à la main les 3 ou 4 premières périodes avant d'utiliser la formule

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger intérêts composés, dépréciation et demi-vie dans une même série
• Comparer une capitalisation annuelle, trimestrielle et mensuelle pour le même dépôt
• Classer des tableaux en linéaire ou exponentiel et écrire le modèle

Pour les élèves avancés:

• Trouver le facteur de croissance à partir de deux points, comme $b^2 = 1{,}44$
• Comparer une offre composée en continu à une offre composée chaque mois
• Écrire son propre problème et une solution fausse qu'un camarade doit corriger

Alignement aux standards

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguer les situations qui se modélisent par des fonctions linéaires et par des fonctions exponentielles
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construire des fonctions linéaires et exponentielles à partir d'un graphique, d'une description ou de deux couples de valeurs (y compris lus dans un tableau)
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpréter les paramètres d'une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Créer des équations à une inconnue et les utiliser pour résoudre des problèmes, y compris des équations issues de fonctions exponentielles

Ressources de la leçon

visualCalculateur d'intérêts composés
Change la période de capitalisation et vois comment le mensuel bat l'annuel sur 10 ans
activityQuel modèle ? Tri de cartes
Les élèves classent 12 courtes situations en linéaire, croissance exponentielle, décroissance exponentielle et continu
worksheetFiche d'organisation en 5 étapes
Un modèle avec une case par étape : lire, identifier, modèle, calculer, vérifier

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un problème exponentiel décrit une grandeur qui change du même facteur à chaque période de temps de même durée. Ton travail consiste à transformer l'énoncé en un modèle de la forme

y = a \cdot b^{t}

où

a

est la valeur initiale et

b

le facteur de croissance (

b > 1

) ou le facteur de décroissance (

0 < b < 1

La méthode en 5 étapes fonctionne pour tous les problèmes de cette leçon :

1.Lire : repère la valeur de départ, le taux ou le facteur, la durée et les unités.
2.Identifier : croissance ou décroissance ? Trouve le facteur $b$ (pour un taux $r$ : $b = 1 + r$ ou $b = 1 - r$ ).
3.Écrire le modèle : choisis la bonne formule et remplace par les nombres.
4.Calculer : évalue avec la calculatrice et arrondis comme le demande l'énoncé.
5.Vérifier : le résultat est-il raisonnable (plus grand ou plus petit que la valeur de départ ?) et dans la bonne unité ?

Rappel des formules (des leçons précédentes) :

Intérêts composés, $n$ fois par an : $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Croissance ou décroissance continue : $A = P \cdot e^{rt}$
Demi-vie $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Exemples résolus

Tu places 5000 € sur un compte d'épargne à 6% d'intérêts par an, composés chaque mois. Combien y a-t-il sur le compte après 10 ans ?

Lire : relever les grandeurs

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (chaque mois), $t = 10$ ans → Départ, taux, périodes par an et durée trouvés

Identifier le facteur par mois

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Croissance, facteur $1{,}005$ par mois

Écrire le modèle

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calculer

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , donc $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Vérifier

Une capitalisation annuelle donne $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Chaque mois doit donner un peu plus, et c'est le cas. → Raisonnable, en euros

Réponse: Après 10 ans, le compte contient environ 9096,98 €.

Erreurs courantes

Utiliser $r$ et $t$ au lieu de $\frac{r}{n}$ et $nt$ pour les intérêts composés

Pourquoi c'est faux: Avec une capitalisation mensuelle, la banque verse $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ chaque mois, 120 fois en 10 ans. Écrire $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ ou $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ mélange les périodes.

Correct: Taux par période $\frac{r}{n}$ , nombre de périodes $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Prendre le taux comme facteur, par exemple $b = 0{,}15$ pour une perte de 15%

Pourquoi c'est faux: Une perte de 15% signifie que 85% de la valeur reste. $24000 \cdot 0{,}15^5$ est presque nul, ce qui n'arrive à aucune voiture en 5 ans.

Correct: Décroissance : $b = 1 - r = 0{,}85$ . Croissance : $b = 1 + r$ . Le facteur est ce qui reste (ou ce que tu as) après une période.

Utiliser $t$ au lieu de $\frac{t}{T}$ quand la période ne vaut pas 1

Pourquoi c'est faux: "Triple toutes les 2 heures" ou "demi-vie de 6 heures" veut dire que le facteur s'applique une fois toutes les 2 ou 6 heures, pas chaque heure. $40 \cdot 3^{10}$ est beaucoup trop grand.

Correct: Compte d'abord les périodes : exposant $= \frac{\text{durée}}{\text{durée d'une période}}$ , par exemple $3^{10/2} = 3^5$ .

Sauter la vérification du résultat

Pourquoi c'est faux: Un résultat de décroissance plus grand que la valeur de départ, ou un résultat de croissance plus petit, signale toujours un mauvais facteur ou un mauvais exposant.

Correct: Étape 5 à chaque fois : une croissance finit au-dessus de $a$ , une décroissance finit entre $0$ et $a$ , et l'unité correspond à la question.

Pourquoi c'est important

Les modèles exponentiels sont le langage de l'argent, de la médecine, de la technologie et de la nature. Savoir les construire toi-même te permet de vérifier des affirmations au lieu de simplement les croire :

Épargne et crédits : la différence entre une capitalisation annuelle et mensuelle représente de l'argent réel sur 10 ou 20 ans
Acheter une voiture ou un téléphone : la dépréciation te dit combien il vaudra quand tu le revendras
Santé : la demi-vie indique à un médecin quelle quantité de médicament reste dans ton corps après quelques heures
Réseaux sociaux : les posts viraux sont multipliés par un facteur à chaque période, c'est pourquoi ils explosent si vite
Sciences : les populations, les matières radioactives et les objets qui refroidissent suivent des lois exponentielles

Cette leçon rassemble tout le chapitre sur les fonctions exponentielles. La méthode en 5 étapes est toujours la même ; seule la formule de l'étape 3 change.

Applications dans le monde réel

Épargner pour les études

Les banques composent les intérêts chaque année, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. La formule $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permet de comparer les offres avant de choisir.

Exemple:

1000 € à 4% composés chaque trimestre pendant 3 ans : $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Essaie par toi-même

Tu places 4000 € sur un compte à 6% d'intérêts par an, composés chaque trimestre, pendant 2 ans.

Combien d'argent y a-t-il sur le compte après 2 ans (au centime près) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ avec $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes modélisent une croissance qui se produit à chaque instant, et non par paliers, avec la croissance continue $A = P \cdot e^{rt}$.

Exemple:

Une culture de 1000 cellules qui croît en continu de 2% par heure pendant 10 heures : $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellules.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec 800 cellules et croît en continu au taux de 3% par heure. Utilise $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Combien y a-t-il de cellules environ après 10 heures (arrondi à l'unité) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $A = P \cdot e^{rt}$ avec $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

La caféine dans ton corps

Les médecins et les pharmaciens utilisent la demi-vie pour décider à quelle fréquence prendre un médicament. La caféine a une demi-vie d'environ 5 heures chez l'adulte.

Exemple:

Un café de 100 mg bu à 8 h laisse encore $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg à 13 h.

3Essaie par toi-même

Une boisson énergisante contient 160 mg de caféine. On suppose une demi-vie de 5 heures.

Quelle quantité de caféine reste-t-il après 10 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ avec $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Points clés

1Tout problème exponentiel s'écrit $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ est la valeur de départ, $b$ le facteur par période
2Suis les 5 étapes : lire, identifier croissance ou décroissance et le facteur, écrire le modèle, calculer, vérifier
3Un taux $r$ donne le facteur $b = 1 + r$ pour une croissance et $b = 1 - r$ pour une décroissance
4Intérêts composés : $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continu : $A = P \cdot e^{rt}$ ; demi-vie : $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Quand le facteur s'applique une fois toutes les $T$ unités de temps, l'exposant est $\frac{t}{T}$
6Dans un tableau, des différences constantes indiquent un modèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel

Questions fréquentes

Comment savoir si un problème est exponentiel et pas linéaire ?

Cherche des mots comme "pour cent par an", "double", "triple", "diminue de moitié" ou "demi-vie" : le changement est un facteur. Si l'énoncé dit "augmente de 50 chaque année", le changement est une quantité fixe, donc c'est linéaire. Dans un tableau, teste les quotients de valeurs consécutives.

Quand utiliser $e^{rt}$ plutôt que $(1 + r)^t$ ?

Utilise

e^{rt}

seulement si l'énoncé dit que la croissance ou la décroissance est continue (ou que les intérêts sont composés en continu). S'il parle d'année, de mois, de trimestre ou ne précise rien, utilise

(1 + r)^t

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

Ma calculatrice n'a pas de touche $e$ . Que faire ?

Utilise la valeur donnée dans l'énoncé, comme

e^{0{,}4} \approx 1{,}4918

, ou tape

2{,}71828

pour

e

. La calculatrice de cette leçon connaît

e

, tu peux donc y taper e^0.4 directement. Avec 5 décimales de

e

, ton résultat s'arrondit au même centime ou au même entier dans les problèmes de cette leçon.

Pourquoi la 5e étape compte-t-elle si le calcul est juste ?

La plupart des réponses fausses viennent de la mise en équation, pas du calcul : un facteur

0{,}15

au lieu de

0{,}85

, ou

t

au lieu de

\frac{t}{2}

. Se demander "le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que le départ ?" repère ces erreurs en quelques secondes.

Glossaire

Modèle exponentiel: Une formule $y = a \cdot b^{t}$ qui décrit une grandeur multipliée par le même facteur $b$ à chaque période de même durée
Facteur de croissance / de décroissance: Le nombre $b$ par lequel on multiplie à chaque période : $b = 1 + r$ pour une croissance, $b = 1 - r$ pour une décroissance
Intérêts composés: Intérêts ajoutés au solde $n$ fois par an, si bien que les intérêts suivants portent aussi sur les intérêts précédents
Dépréciation: La perte de valeur d'un objet (voiture, téléphone, machine) avec le temps, souvent un pourcentage fixe par an
Demi-vie: La durée $T$ nécessaire pour qu'une grandeur qui décroît soit divisée par deux
Croissance continue: Une croissance qui a lieu à chaque instant, modélisée par $A = P \cdot e^{rt}$

Carte des formules

Modèle exponentiel général

y = a \cdot b^{t}

$a$ = valeur initiale, $b$ = facteur par période ($b = 1 + r$ croissance, $b = 1 - r$ décroissance), $t$ = nombre de périodes.

Intérêts composés

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital de départ, $r$ = taux annuel en écriture décimale, $n$ = nombre de capitalisations par an, $t$ = années.

Croissance ou décroissance continue

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ pour une croissance, $r < 0$ pour une décroissance, $e \approx 2{,}71828$.

Demi-vie

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = quantité de départ, $T$ = demi-vie, $t$ = temps écoulé (même unité que $T$).

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Problèmes concrets sur les fonctions exponentielles

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Épargner pour les études

Des bactéries au laboratoire

La caféine dans ton corps

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Modèle exponentiel général

Intérêts composés

Croissance ou décroissance continue

Demi-vie

Plus sur ce sujet

Introduction aux fonctions exponentielles

Croissance exponentielle

Représenter graphiquement les fonctions exponentielles

Décroissance exponentielle