Représenter graphiquement les fonctions exponentielles

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
En quel point la courbe de $y = 5 \cdot 3^x$ coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?
1. a) $(0, 15)$
2. b) $(5, 0)$
3. c) $(0, 5)$
4. d) $(0, 3)$
Réponse: $(0, 5)$
$y = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5$ , donc la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0, 5)$ . La base 3 décide seulement de la vitesse à laquelle la courbe monte.
2.
Quelle courbe descend de gauche à droite ?
1. a) $y = 0{,}5 \cdot 3^x$
2. b) $y = 2 \cdot (1{,}1)^x$
3. c) $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
4. d) $y = 4 \cdot 2^x$
Réponse: $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
Les quatre ont $a > 0$ , c'est donc la base qui décide. Seul $0{,}3$ est entre 0 et 1, donc $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$ descend. Le facteur $0{,}5$ devant $3^x$ comprime seulement la courbe ; elle monte quand même car $3 > 1$ .
3.
Quelle est l'asymptote horizontale de $y = 2^x - 7$ ? Entre le nombre $k$ dans $y = k$ .
Réponse: -7
Soustraire 7 fait descendre toute la courbe de 7 unités, asymptote comprise : $y = 0$ devient $y = -7$ .
4.
Pour $f(x) = 3 \cdot 2^x$ , calcule $f(-1)$ . Donne ta réponse sous forme décimale ou de fraction.
Réponse: 1.5
$f(-1) = 3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ . Le point $(-1 ; 1{,}5)$ est sur la partie plate, à gauche de la courbe.
5.
Dresse un tableau de valeurs pour $y = 4 \cdot 2^x$ . Que vaut $y$ en $x = 3$ ?
Réponse: 32
1. Que vaut $y$ en $x = -2$ ? 1
2. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? 4
3. Que vaut $y$ en $x = 2$ ? 16
4. Que vaut $y$ en $x = 3$ ? 32
6.
Dresse un tableau de valeurs pour $y = 6 \cdot (0{,}5)^x$ . Que vaut $y$ en $x = 3$ ? Donne un nombre décimal.
Réponse: 0.75
1. Que vaut $y$ en $x = -2$ ? 24
2. Que vaut $y$ en $x = -1$ ? 12
3. Que vaut $y$ en $x = 1$ ? 3
4. Que vaut $y$ en $x = 3$ ? 0.75
7.
La courbe de $y = 2^x$ est translatée de 3 unités vers la gauche et de 1 unité vers le bas. Quelle équation décrit la nouvelle courbe ?
1. a) $y = 2^{x-1} + 3$
2. b) $y = 2^{x+3} + 1$
3. c) $y = 2^{x-3} - 1$
4. d) $y = 2^{x+3} - 1$
Réponse: $y = 2^{x+3} - 1$
3 vers la gauche signifie $x - h$ avec $h = -3$ , c'est-à-dire $x + 3$ ; 1 vers le bas signifie $k = -1$ . Donc $y = 2^{x+3} - 1$ , d'asymptote $y = -1$ .
8.
Quel est l'ensemble des images de $y = -4 \cdot 2^x + 1$ ?
1. a) $y > -4$
2. b) $y < 1$
3. c)tous les nombres réels
4. d) $y > 1$
Réponse: $y < 1$
L'asymptote est $y = 1$ ( $k = 1$ ). Comme $a = -4 < 0$ , le terme $-4 \cdot 2^x$ est toujours négatif, donc $y$ est toujours inférieur à 1 : l'ensemble des images est $y < 1$ .
9.
La courbe de $y = 3^{x+2} - 5$ coupe l'axe des ordonnées en $(0, ?)$ . Entre l'ordonnée.
Réponse: 4
$y = 3^{0+2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . La courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0, 4)$ , pas en $(0, 1)$ ni en $(0, -4)$ , car elle est aussi translatée de 2 vers la gauche.
10.
La courbe de $y = a \cdot b^x$ passe par $(0, 5)$ et $(2, 45)$ , avec $b > 0$ . Trouve $b$ .
Réponse: 3
$a = 5$ grâce à l'ordonnée à l'origine. Ensuite $5 \cdot b^2 = 45$ , donc $b^2 = 9$ et $b = 3$ (la base est positive). L'équation est $y = 5 \cdot 3^x$ .
11.
La courbe de $y = a \cdot b^x$ passe par $(0, 3)$ et $(1, 6)$ . Trouve l'équation et la valeur de $y$ en $x = 4$ .
Réponse: 48
1. Que vaut $a$ ? 3
2. Que vaut $b$ ? 2
3. Que vaut $y$ en $x = 4$ ? 48
12.
Pour $y = 2^{x+1} - 4$ , trouve l'asymptote, l'ordonnée à l'origine et l'intersection avec l'axe des abscisses. Où la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Entre l'abscisse de ce point.
Réponse: 1
1. L'asymptote est $y = k$ . Que vaut $k$ ? -4
2. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? -2
3. Résous $2^{x+1} = 4$ . Que vaut $x$ ? 1
13.
Dresse un tableau de valeurs pour $y = -3 \cdot 2^x + 2$ et trouve son asymptote. Donne des nombres décimaux si nécessaire.
Réponse: 2
1. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? -1
2. Que vaut $y$ en $x = -1$ ? 0.5
3. Que vaut $y$ en $x = 2$ ? -10
4. L'asymptote est $y = k$ . Que vaut $k$ ? 2
14.
Quelle description correspond à la courbe de $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$ ?
1. a)Décroissante, asymptote $y = -5$ , images $y < -5$
2. b)Croissante, asymptote $y = 1$ , images $y < 1$
3. c)Croissante, asymptote $y = 5$ , images $y > 5$
4. d)Décroissante, asymptote $y = 5$ , images $y < 5$
Réponse: Décroissante, asymptote $y = 5$ , images $y < 5$
$k = 5$ donne l'asymptote $y = 5$ . Comme $a = -2 < 0$ , la courbe est sous l'asymptote, donc l'ensemble des images est $y < 5$ . Avec $b = 3 > 1$ , le terme $3^{x-1}$ augmente, et la multiplication par $-2$ fait décroître $y$ de gauche à droite.
15.
La courbe de $y = a \cdot b^x$ passe par $(1, 6)$ et $(3, 54)$ , avec $b > 0$ . Trouve $a$ .
Réponse: 2
$b^2 = 54 \div 6 = 9$ , donc $b = 3$ . Ensuite $a \cdot 3 = 6$ donne $a = 2$ . Vérification : $2 \cdot 3^3 = 54$ . L'équation est $y = 2 \cdot 3^x$ .
16.
La courbe de $y = a \cdot b^x$ passe par $(2, 12)$ et $(4, 48)$ , avec $b > 0$ . Trouve l'équation et la valeur de $y$ en $x = 5$ .
Réponse: 96
1. Que vaut $b^2 = 48 \div 12$ ? 4
2. Que vaut $b$ ? 2
3. Que vaut $a$ ? 3
4. Que vaut $y$ en $x = 5$ ? 96
17.
Une courbe de la forme $y = a \cdot b^x + 2$ a pour asymptote $y = 2$ et passe par $(0, 5)$ et $(1, 11)$ . Trouve $a$ et $b$ , puis la valeur de $y$ en $x = 2$ .
Réponse: 29
1. Utilise $(0, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5$ . Que vaut $a$ ? 3
2. Utilise $(1, 11)$ : $3 \cdot b + 2 = 11$ . Que vaut $b$ ? 3
3. Que vaut $y$ en $x = 2$ ? 29
18.
Trouve où la courbe de $y = 3 \cdot 2^x - 24$ coupe les deux axes. Quelle est l'abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses ?
Réponse: 3
1. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? -21
2. Pose $y = 0$ : $3 \cdot 2^x = 24$ . Que vaut $2^x$ ? 8
3. Que vaut $x$ ? 3