Guide de l'enseignant: Représenter graphiquement les fonctions exponentielles

Trace y = a·b^x à partir d'un tableau de valeurs, lis l'ordonnée à l'origine et l'asymptote, et vois comment translations, symétries et dilatations déplacent la courbe.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Tracer $y = a \cdot b^x$ à partir d'un tableau de valeurs pour $x = -2$ à $3$
Déterminer l'ordonnée à l'origine, l'asymptote horizontale, l'ensemble de définition et l'ensemble des images d'une courbe exponentielle
Décrire comment $h$ , $k$ ainsi que le signe et la taille de $a$ dans $y = a \cdot b^{x-h} + k$ déplacent et déforment la courbe
Associer des équations exponentielles à des courbes décrites ou esquissées
Trouver $a$ et $b$ de $y = a \cdot b^x$ à partir de deux points de la courbe

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$ , croissance et décroissance
• Croissance exponentielle : facteurs de croissance et calcul de $A_0 \cdot b^t$
• Exposants nuls et négatifs : $b^0 = 1$ et $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
• Placer des points dans un repère et notation des fonctions

Amorces de discussion

1. Pourquoi la courbe de $y = 2^x$ n'atteint-elle jamais l'axe des abscisses, aussi loin qu'on aille vers la gauche ?
2. Si deux courbes ont la même asymptote et la même ordonnée à l'origine, sont-elles forcément identiques ? Trouve un exemple.
3. Comment savoir, à partir d'un seul tableau, si des données sont linéaires ou exponentielles ?
4. Que change-t-on sur la courbe en remplaçant $2^x$ par $2^{x+1}$ , et pourquoi est-ce la même chose que doubler chaque valeur de $y$ ?

Idées reçues courantes

L'asymptote est toujours l'axe des abscisses

Remédiation: Fais calculer $y = 2^x + 3$ pour $x = -5$ à $0$ et observer que les valeurs s'approchent de 3, pas de 0. Énonce ensuite la règle : l'asymptote se déplace avec $k$ .

La courbe de $y = 2^{x-3}$ va vers la gauche à cause du signe moins

Remédiation: Demande : pour quel $x$ l'exposant vaut-il 0 ? Comme c'est $x = 3$ , l'ancien point $(0, 1)$ est maintenant en $(3, 1)$ , donc plus à droite.

Une courbe décroissante a forcément une base entre 0 et 1

Remédiation: Compare $y = (0{,}5)^x$ et $y = -2^x$ : les deux descendent, mais pour des raisons différentes (petite base contre $a$ négatif). L'ensemble des images permet de les distinguer.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement avec la base 2 et donner des tableaux où les valeurs de $x$ sont déjà remplies
• Utiliser une seule transformation à la fois (seulement $k$ , puis seulement $h$ ) avant de les combiner
• Tracer d'abord l'asymptote en pointillés, puis placer les points

Pour les élèves au niveau:

• Tracer des fonctions avec des transformations combinées comme $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$
• Associer des équations à des descriptions verbales de courbes
• Trouver des équations à partir de deux points, y compris des points hors de l'axe des ordonnées

Pour les élèves avancés:

• Trouver $a$ , $b$ et $k$ quand l'asymptote et deux points sont donnés
• Expliquer pourquoi $2^{x+1}$ est égal à $2 \cdot 2^x$ , donc qu'une translation horizontale équivaut à une dilatation verticale
• Trouver l'intersection de $y = a \cdot b^x + k$ avec l'axe des abscisses quand $-k/a$ est une puissance de $b$

Alignement aux standards

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Représenter des fonctions exponentielles en montrant les intersections avec les axes et le comportement aux bornes
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur la courbe du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k)
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construire des fonctions exponentielles à partir d'une courbe, d'une description ou de deux couples entrée-sortie

Ressources de la leçon

visualGraphique exponentiel avec curseurs
Les courbes $y = 2^x$ et $y = (0{,}5)^x$ avec un tableau de valeurs, et des curseurs pour $a$ , $b$ , $h$ et $k$ dans $y = a \cdot b^{x-h} + k$ qui déplacent la courbe et son asymptote
activityCartes d'association de courbes
Les élèves associent huit équations à huit esquisses en utilisant seulement le point sur l'axe des ordonnées, l'asymptote et le sens de variation
worksheetTableau des transformations
Les élèves complètent $a$ , $h$ , $k$ , l'asymptote, l'ordonnée à l'origine et l'ensemble des images pour dix fonctions transformées

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Pour tracer une fonction exponentielle

f(x) = a \cdot b^x

(avec

b > 0

b \neq 1

), dresse un tableau de valeurs, place les points et relie-les par une courbe régulière qui se rapproche d'une asymptote horizontale.

Les deux formes de base (ici avec

a = 1

) :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Si $b > 1$ , la courbe monte de gauche à droite : presque plate près de l'axe des abscisses à gauche, de plus en plus raide à droite.
Si $0 < b < 1$ , la courbe descend de gauche à droite : raide à gauche, presque plate près de l'axe des abscisses à droite.

**Caractéristiques de

y = a \cdot b^x

:**

Ordonnée à l'origine : $a$ , la courbe passe par $(0, a)$ car $b^0 = 1$
Asymptote horizontale : $y = 0$ (l'axe des abscisses) ; la courbe s'en approche de plus en plus sans jamais la toucher
Ensemble de définition : tous les nombres réels
Ensemble des images : $y > 0$ si $a > 0$ , et $y < 0$ si $a < 0$

Transformations :

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ translate la courbe de $h$ unités vers la droite (vers la gauche si $h$ est négatif)
$k$ translate la courbe de $k$ unités vers le haut (vers le bas si $k$ est négatif) et déplace l'asymptote en $y = k$
$a < 0$ applique une symétrie par rapport à l'axe des abscisses (avant la translation), donc la courbe est sous son asymptote
un facteur $a$ avec $\lvert a \rvert > 1$ étire la courbe verticalement, $0 < \lvert a \rvert < 1$ la comprime
Ensemble des images de la courbe transformée : $y > k$ si $a > 0$ , et $y < k$ si $a < 0$

Exemples résolus

Trace $y = 3 \cdot 2^x$ pour $x = -2$ à $x = 3$ . Donne l'ordonnée à l'origine, l'asymptote, l'ensemble de définition et l'ensemble des images.

Calcule les valeurs pour $x$ négatif

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ et $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Points $(-2 ; 0{,}75)$ et $(-1 ; 1{,}5)$

Calcule les valeurs pour $x = 0$ à $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Points $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Place les points et relie-les

Chaque pas vers la droite double $y$ ; chaque pas vers la gauche le divise par deux → Une courbe croissante, plate à gauche et raide à droite

Lis les caractéristiques

$a = 3$ donne l'ordonnée à l'origine ; rien n'est ajouté, donc $k = 0$ → Ordonnée à l'origine 3, point $(0, 3)$ , asymptote $y = 0$ , ensemble de définition tous les réels, ensemble des images $y > 0$

Réponse: La courbe passe par $(-2 ; 0{,}75)$ , $(-1 ; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Elle monte de gauche à droite, coupe l'axe des ordonnées en $(0, 3)$ , s'approche de l'asymptote $y = 0$ à gauche, a pour ensemble de définition tous les réels et pour ensemble des images $y > 0$ .

Erreurs courantes

Garder l'asymptote en $y = 0$ après une translation verticale, par exemple pour $y = 2^x + 3$

Pourquoi c'est faux: Ajouter $k$ fait monter chaque point de $k$ , y compris le niveau dont la courbe s'approche. La courbe de $y = 2^x + 3$ ne descend jamais sous 3.

Correct: Pour $y = a \cdot b^{x-h} + k$ , l'asymptote est $y = k$ . Pour $y = 2^x + 3$ , c'est $y = 3$ et l'ensemble des images est $y > 3$ .

Translater dans le mauvais sens : croire que $y = 2^{x-3}$ déplace la courbe de 3 vers la gauche

Pourquoi c'est faux: Avec $x - 3$ , il faut un $x$ plus grand pour obtenir le même exposant qu'avant. Le point $(0, 1)$ de $y = 2^x$ se trouve maintenant en $(3, 1)$ .

Correct: $x - h$ translate de $h$ vers la droite, $x + h$ de $h$ vers la gauche. $y = 2^{x-3}$ va 3 vers la droite, $y = 2^{x+3}$ va 3 vers la gauche.

Prendre $a$ (ou $a + k$ ) comme ordonnée à l'origine alors que la courbe est aussi translatée horizontalement

Pourquoi c'est faux: L'ordonnée à l'origine vaut $a$ seulement pour $y = a \cdot b^x$ . Après une translation horizontale, l'exposant en $x = 0$ n'est plus 0.

Correct: Remplace toujours $x$ par $0$ . Pour $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , ni 1 ni 4.

Traiter $-2^x$ comme $(-2)^x$

Pourquoi c'est faux: Les puissances se calculent avant le signe moins, donc $-2^x = -(2^x)$ . La base est 2, pas $-2$ , et $(-2)^x$ n'est même pas une fonction exponentielle.

Correct: $-2^x$ est la courbe de $2^x$ symétrisée par rapport à l'axe des abscisses : en $x = 2$ elle donne $-4$ , alors que $(-2)^2 = 4$ .

Pourquoi c'est important

Une courbe montre d'un coup d'œil ce qu'une formule cache. Quand tu sais esquisser une courbe exponentielle, tu peux :

Reconnaître des données exponentielles : quand un graphique d'abonnés, de cellules ou d'économies se courbe vers le haut de plus en plus vite, un tableau de valeurs te dit s'il est vraiment multiplié par le même facteur à chaque pas.
Lire la valeur de départ et le plancher : l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ, et l'asymptote $y = k$ est le niveau dont la grandeur s'approche sans jamais le franchir, par exemple une base qui est toujours là.
Vérifier un modèle rapidement : une esquisse montre tout de suite si une formule monte ou descend, où elle coupe les axes et quelles valeurs sont impossibles (hors de l'ensemble des images).
Construire un modèle à partir de données : deux points comme $(0, 3)$ et $(1, 6)$ suffisent pour trouver $a$ et $b$ et prévoir les valeurs suivantes.

Tu retrouveras ces compétences plus loin dans ce chapitre : décroissance, demi-vie, croissance continue et équations exponentielles, puis avec les logarithmes.

Applications dans le monde réel

Lire des données de laboratoire sur une courbe

Les biologistes représentent le nombre de cellules en fonction du temps. Si les points sont sur une courbe exponentielle, deux mesures suffisent pour écrire le modèle et prévoir les nombres suivants.

Exemple:

Une culture de 100 cellules au départ et de 200 cellules une heure plus tard suit $y = 100 \cdot 2^x$ , donc après 4 heures la courbe est à $100 \cdot 16 = 1600$ cellules.

1Essaie par toi-même

Une culture cellulaire compte 200 cellules en $x = 0$ heure et 600 cellules en $x = 1$ heure, et la courbe est exponentielle : $y = a \cdot b^x$ .

Combien de cellules le modèle prévoit-il en $x = 3$ heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve $a$ et $b$ , puis calcule $a \cdot b^3$ :

Vues d'une vidéo avec un niveau de base

Certaines grandeurs ont une partie qui croît exponentiellement en plus d'une partie constante. La partie constante est la translation verticale $k$, et sur la courbe c'est l'asymptote.

Exemple:

Une vidéo reçoit chaque jour 100 vues stables grâce à la recherche, plus une partie partagée qui double chaque jour : $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . En remontant le temps, la partie partagée tend vers 0, donc la courbe s'approche de $V = 100$ .

2Essaie par toi-même

Les vues quotidiennes suivent $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , où $t$ est le nombre de jours depuis le partage de la vidéo.

Combien de vues la vidéo reçoit-elle le jour $t = 4$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double l'épaisseur d'une feuille, donc l'épaisseur après $n$ pliages est une fonction exponentielle dont la courbe monte de plus en plus vite.

Exemple:

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur a une épaisseur $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Après 7 pliages, cela fait $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Essaie par toi-même

Une feuille de papier a une épaisseur de 0,1 mm, et son épaisseur après $n$ pliages est $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Après combien de pliages la pile dépasse-t-elle 1 mm pour la première fois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Dresse un tableau de $0{,}1 \cdot 2^n$ et cherche la première valeur au-dessus de 1 :

Points clés

1Pour tracer $y = a \cdot b^x$ , dresse un tableau de valeurs (par exemple $x = -2$ à $3$ ), place les points et relie-les par une courbe régulière
2Si $b > 1$ , la courbe monte de gauche à droite ; si $0 < b < 1$ , elle descend ; $y = b^x$ et $y = (1/b)^x$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées
3Pour $y = a \cdot b^x$ : ordonnée à l'origine $a$ , asymptote $y = 0$ , ensemble de définition tous les réels, ensemble des images $y > 0$ si $a > 0$
4Dans $y = a \cdot b^{x-h} + k$ : $h$ translate vers la droite, $k$ vers le haut et place l'asymptote en $y = k$ , et $a < 0$ met la courbe sous l'asymptote
5Après une translation, trouve l'ordonnée à l'origine en remplaçant $x$ par $0$ ; l'ensemble des images est $y > k$ ou $y < k$
6Deux points donnent l'équation : $a$ est la valeur en $x = 0$ , et le quotient des ordonnées donne une puissance de $b$

Questions fréquentes

Une courbe exponentielle touche-t-elle un jour son asymptote ?

Non. Pour

y = a \cdot b^x + k

, le terme

a \cdot b^x

n'est jamais nul, donc

y

n'est jamais égal à

k

. La courbe s'en approche autant qu'on veut, c'est pourquoi l'ensemble des images est

y > k

y < k

et ne contient jamais

k

Combien de points faut-il pour esquisser la courbe ?

Quatre ou cinq suffisent : le point sur l'axe des ordonnées, un ou deux points de chaque côté, et l'asymptote. Un tableau de

x = -2

x = 3

montre à la fois le côté plat et le côté raide.

Pourquoi $y = 2^x$ et $y = (0{,}5)^x$ semblent-elles symétriques ?

Parce que

(0{,}5)^x = 2^{-x}

. La valeur de

(0{,}5)^x

x = 3

est égale à la valeur de

2^x

x = -3

, donc chaque point

(x, y)

d'une courbe a son partenaire

(-x, y)

sur l'autre.

Une translation horizontale change-t-elle l'asymptote ?

Non. Une translation vers la gauche ou la droite fait glisser la courbe le long de l'asymptote, qui reste en

y = k

. Seule la translation verticale

k

déplace l'asymptote. En revanche, une translation horizontale change l'ordonnée à l'origine.

Glossaire

Tableau de valeurs: Une liste de valeurs de $x$ choisies avec les valeurs de $y$ correspondantes, utilisée pour placer des points d'une courbe
Asymptote horizontale: Une droite horizontale $y = k$ dont la courbe se rapproche de plus en plus sans jamais l'atteindre
Ordonnée à l'origine: La valeur de $y$ là où la courbe coupe l'axe des ordonnées, obtenue en remplaçant $x$ par $0$
Ensemble de définition: Toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie ; pour toute fonction exponentielle, ce sont tous les réels
Ensemble des images: Toutes les valeurs de $y$ atteintes par la fonction ; pour $y = a \cdot b^x + k$ , c'est $y > k$ (si $a > 0$ ) ou $y < k$ (si $a < 0$ )
Transformation: Une translation, une symétrie ou une dilatation qui déplace ou déforme une courbe, décrite par $h$ , $k$ et $a$ dans $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Carte des formules

Fonction exponentielle

y = a \cdot b^x

Passe par $(0, a)$, asymptote $y = 0$, croissante si $b > 1$, décroissante si $0 < b < 1$

Forme transformée

y = a \cdot b^{x-h} + k

Translation de $h$ vers la droite et de $k$ vers le haut ; asymptote $y = k$ ; images $y > k$ si $a > 0$, $y < k$ si $a < 0$

Courbe symétrique

(1/b)^x = b^{-x}

Les courbes de $b^x$ et de $(1/b)^x$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

Base à partir de deux points

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Divise les ordonnées de deux points de $y = a \cdot b^x$ pour obtenir une puissance de $b$

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Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Lire des données de laboratoire sur une courbe

Vues d'une vidéo avec un niveau de base

Plier une feuille de papier

Points clés

Questions fréquentes

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Carte des formules

Fonction exponentielle

Forme transformée

Courbe symétrique

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