Problèmes de demi-vie

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une substance a une demi-vie de $10$ ans. Quelle fraction en reste-t-il après $2$ demi-vies ?
1. a) $0$
2. b) $\frac{1}{4}$
3. c) $\frac{1}{2}$
4. d) $\frac{1}{8}$
Réponse: $\frac{1}{4}$
Après $2$ demi-vies, la fraction restante est $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ . Ce n'est pas $0$ : chaque demi-vie n'enlève que la moitié de ce qui reste.
2.
Un échantillon de $60$ g a une demi-vie de $5$ jours. Combien de grammes reste-t-il après $5$ jours ?
Réponse: 30
$5$ jours correspondent à $1$ demi-vie, donc l'échantillon est divisé par deux une fois : $60 \times \frac{1}{2} = 30$ g.
3.
Un échantillon contient au départ $50$ mg et a une demi-vie de $3$ heures. Quelle fonction donne la quantité $N(t)$ après $t$ heures ?
1. a) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{3t}$
2. b) $N(t) = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/50}$
3. c) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
4. d) $N(t) = 50 - \frac{1}{2} t$
Réponse: $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
$N_0 = 50$ et $T = 3$ , donc $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$ . L'exposant $\frac{t}{3}$ compte les demi-vies. La dernière proposition est linéaire, pas exponentielle.
4.
Un échantillon de médicament contient $320$ mg et a une demi-vie de $2$ heures. Combien de mg reste-t-il après $6$ heures ?
Réponse: 40
1. Combien de demi-vies y a-t-il dans 6 heures ? 3
2. Combien vaut $2^3$ ? 8
3. Combien vaut $320 \div 8$ ? 40
5.
L'iode 131 a une demi-vie de $8$ jours. Combien de demi-vies s'écoulent en $24$ jours ?
Réponse: 3
$\frac{t}{T} = \frac{24}{8} = 3$ demi-vies.
6.
Quel pourcentage d'un échantillon radioactif reste-t-il après $3$ demi-vies ? (Donne le pourcentage sous forme de nombre, par exemple 50 pour $50\,\%$ .)
Réponse: 12.5
1. Quelle fraction reste-t-il ? (Écris-la comme 1/2.) 1/8
2. Écris 1/8 sous forme décimale. 0.125
3. Écris $0{,}125$ en pourcentage (seulement le nombre). 12.5
7.
Il reste $\frac{1}{16}$ de la quantité initiale d'un échantillon. Combien de demi-vies se sont écoulées ?
1. a)8
2. b)16
3. c)4
4. d)2
Réponse: 4
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ , donc $4$ demi-vies se sont écoulées ( $1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16}$ ). Le dénominateur 16 n'est pas le nombre de demi-vies.
8.
Un outil en bois contient $\frac{1}{4}$ de son carbone 14 d'origine. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans. Quel est l'âge de l'outil, en années ?
Réponse: 11460
Il reste $\frac{1}{4}$ , donc $2$ demi-vies se sont écoulées : l'âge est $2 \times 5730 = 11460$ ans.
9.
Un échantillon de $240$ g diminue jusqu'à $30$ g en $18$ heures. Quelle est sa demi-vie, en heures ?
Réponse: 6
1. Combien de fois l'échantillon est-il plus petit ? ( $240 \div 30$ ) 8
2. $8 = 2^n$ . Que vaut $n$ (le nombre de demi-vies) ? 3
3. Quelle est la demi-vie en heures ? 6
10.
Un hôpital possède $500$ mg d'iode 131 (demi-vie de $8$ jours). Combien de mg reste-t-il après $40$ jours ?
Réponse: 15.625
1. Combien de demi-vies y a-t-il dans 40 jours ? 5
2. Combien vaut $2^5$ ? 32
3. Combien vaut $500 \div 32$ ? (nombre décimal exact) 15.625
11.
Un élève dit : un échantillon de $100$ g perd $50$ g à chaque demi-vie, donc après $2$ demi-vies il ne reste rien. Combien reste-t-il vraiment après $2$ demi-vies ?
1. a)0 g
2. b)50 g
3. c)75 g
4. d)25 g
Réponse: 25 g
$100 \to 50 \to 25$ : la deuxième demi-vie enlève la moitié de $50$ , pas $50$ g. Il reste donc $25$ g.
12.
Un patient prend $800$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $5$ heures. Combien de mg reste-t-il après $20$ heures ?
Réponse: 50
$\frac{20}{5} = 4$ demi-vies : $800 \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{800}{16} = 50$ mg ( $800 \to 400 \to 200 \to 100 \to 50$ ).
13.
Une substance a une demi-vie de $3$ jours. Au bout de combien de jours n'en reste-t-il que $\frac{1}{32}$ ?
Réponse: 15
1. $32 = 2^n$ . Que vaut $n$ (le nombre de demi-vies) ? 5
2. Combien de jours font 5 demi-vies ? 15
14.
Quel pourcentage d'un échantillon radioactif s'est désintégré (a disparu) après $3$ demi-vies ?
1. a)37,5 %
2. b)75 %
3. c)87,5 %
4. d)12,5 %
Réponse: 87,5 %
Restant : $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Désintégré : $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 87{,}5\,\%$ . La réponse $12{,}5\,\%$ correspond à la partie encore présente.
15.
Un patient prend $800$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $4$ heures. Combien de mg reste-t-il après $6$ heures ? Utilise $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ et arrondis au mg près.
Réponse: 283
1. Combien de demi-vies font 6 heures ? ( $\frac{t}{T}$ ) 1.5
2. Calcule $800 \times 0{,}3536$ . 282.88
3. Arrondis au mg près. 283
16.
Un fossile contient $\frac{1}{64}$ de son carbone 14 d'origine. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans. Quel est l'âge du fossile, en années ?
Réponse: 34380
$64 = 2^6$ , donc $6$ demi-vies se sont écoulées : $6 \times 5730 = 34380$ ans.
17.
Un échantillon de $2000$ g diminue jusqu'à $250$ g en $21$ jours. Trouve la demi-vie, puis combien de grammes il reste après $35$ jours (depuis le début).
Réponse: 62.5
1. $2000 \div 250 = 8 = 2^n$ . Que vaut $n$ ? 3
2. Quelle est la demi-vie en jours ? 7
3. Combien de demi-vies y a-t-il dans 35 jours ? 5
4. Combien vaut $2000 \div 2^5$ ? 62.5
18.
Un patient prend $300$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $4$ heures. Le médicament est considéré comme éliminé quand il en reste moins de $10$ mg. Au bout de combien d'heures (un nombre entier de demi-vies) est-ce le cas pour la première fois ?
Réponse: 20
1. Combien de mg reste-t-il après 4 demi-vies ? ( $300 \div 16$ ) 18.75
2. Combien de mg reste-t-il après 5 demi-vies ? 9.375
3. Après combien de demi-vies reste-t-il moins de 10 mg ? 5
4. Combien d'heures cela fait-il ? 20