Guide de l'enseignant: Problèmes de demi-vie

Apprends à utiliser la demi-vie pour trouver la quantité restante d'une substance, le temps écoulé et la durée d'une demi-vie.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions exponentielles. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Utiliser la formule $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ pour trouver la quantité restante
Trouver la fraction et le pourcentage restants d'une substance après un certain nombre de demi-vies
Trouver le temps écoulé quand la fraction restante est une puissance de $\frac{1}{2}$
Déterminer la demi-vie d'une substance à partir de deux mesures
Appliquer la demi-vie à la datation au carbone 14, aux médicaments et à l'iode 131

Prérequis

• Introduction aux fonctions exponentielles : la forme $f(x) = a \cdot b^x$
• Croissance exponentielle : multiplier par un facteur constant sur des périodes égales
• Puissances de 2 et puissances de fractions, comme $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$
• Convertir des fractions en nombres décimaux et en pourcentages

Amorces de discussion

1. Si un médicament a une demi-vie de 6 heures, pourquoi les médecins ne disent-ils pas de le prendre toutes les 12 heures à double dose ?
2. Un échantillon radioactif atteint-il un jour exactement zéro ? Pourquoi ?
3. Pourquoi le carbone 14 permet-il de dater un os de 10000 ans mais pas un fossile de dinosaure de 10 millions d'années ?
4. En quoi diviser par deux à chaque demi-vie ressemble-t-il à doubler à chaque temps de doublement ?

Idées reçues courantes

Après deux demi-vies, tout l'échantillon a disparu

Remédiation: Construis avec la classe un tableau des moitiés : $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Demande ce qui reste après la deuxième demi-vie. Utilise la simulation avec les pièces pour montrer qu'il reste toujours des pièces.

L'exposant dans la formule est le temps $t$

Remédiation: Demande : combien de fois la quantité a-t-elle été divisée par deux en 12 heures si la demi-vie est de 4 heures ? Les élèves comptent 3 divisions, ce qui montre que l'exposant est $\frac{t}{T}$ .

Une fraction restante de $\frac{1}{16}$ signifie 16 demi-vies

Remédiation: Écris $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ et numérote-les de 1 à 4. C'est la position dans la liste, et non le dénominateur, qui donne le nombre de demi-vies.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser des tableaux de moitiés (temps, nombre de demi-vies, quantité) avant la formule
• Se limiter à des nombres entiers de demi-vies et à des quantités de départ qui sont des puissances de 2
• Utiliser le visualiseur de suites pour voir chaque division par deux sous forme de barre

Pour les élèves au niveau:

• Trouver le temps écoulé à partir de la fraction restante
• Trouver la demi-vie à partir de deux mesures
• Passer de la fraction restante au pourcentage restant et au pourcentage désintégré

Pour les élèves avancés:

• Travailler avec des nombres non entiers de demi-vies à la calculatrice
• Écrire le facteur de décroissance par unité de temps, par exemple $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/8}$ par jour pour l'iode 131
• Modéliser des prises répétées d'un médicament et trouver la quantité juste avant la troisième dose

Alignement aux standards

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconnaître les situations où une quantité croît ou décroît selon un pourcentage constant par unité de temps
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construire des fonctions linéaires et exponentielles, y compris des suites arithmétiques et géométriques, à partir d'un graphique, d'une description ou de deux couples de valeurs
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpréter les paramètres d'une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Utiliser les propriétés des puissances pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles

Ressources de la leçon

visualSuite des moitiés
Suite géométrique de premier terme 64 et de raison 0,5, qui montre les barres diminuer de moitié à chaque demi-vie
activitySimulation de désintégration avec des pièces
Les élèves lancent 100 pièces, retirent celles qui tombent sur face à chaque tour et notent combien il en reste, puis comparent avec 100 fois un demi par tour
worksheetDétective de la demi-vie
Problèmes de datation au carbone 14, de doses de médicaments et d'iode 131 avec des nombres entiers de demi-vies

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La demi-vie

T

d'une substance est le temps nécessaire pour que la moitié de cette substance disparaisse (se désintègre, se dégrade ou quitte le corps). Après chaque demi-vie, la quantité est multipliée par

\frac{1}{2}

N_0

est la quantité de départ, la quantité restante après un temps

t

est :

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

où :

$N_0$ = valeur initiale (à $t = 0$ )
$T$ = demi-vie (même unité de temps que $t$ )
$\frac{t}{T}$ = le nombre de demi-vies écoulées

Après

n

demi-vies entières, il reste

\frac{N_0}{2^n}

Demi-vies	0	1	2	3	4	5
Fraction restante	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Pourcentage restant	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

C'est une décroissance exponentielle avec un facteur de décroissance

\frac{1}{2}

par demi-vie : la quantité devient de plus en plus petite, mais n'atteint jamais exactement zéro.

Exemples résolus

Un échantillon de laboratoire contient $80$ mg d'une substance dont la demi-vie est de $4$ heures. Combien en reste-t-il après $12$ heures ?

Trouve le nombre de demi-vies

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 demi-vies

Écris la formule

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formule posée

Calcule la puissance

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Il reste $\frac{1}{8}$ de l'échantillon

Multiplie

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (ou divise trois fois par deux : $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Réponse: Après 12 heures, il reste 10 mg de la substance.

Erreurs courantes

Diviser par deux à chaque heure (ou jour, ou année) au lieu d'une fois par demi-vie

Pourquoi c'est faux: Avec une demi-vie de 4 heures, certains élèves calculent $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ après 12 heures. Mais la quantité ne diminue de moitié que toutes les 4 heures, pas toutes les heures.

Correct: L'exposant est le nombre de demi-vies $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , donc le résultat est $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Retirer la moitié de la quantité INITIALE à chaque demi-vie

Pourquoi c'est faux: Calculer $100 \to 50 \to 0$ revient à traiter la décroissance comme linéaire. Chaque demi-vie enlève la moitié de ce qui reste MAINTENANT, pas la moitié de la quantité de départ.

Correct: Divise la quantité actuelle par deux à chaque fois : $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Un échantillon n'atteint jamais exactement zéro.

Prendre le dénominateur comme nombre de demi-vies

Pourquoi c'est faux: S'il reste $\frac{1}{8}$ , certains élèves disent que 8 demi-vies se sont écoulées. Mais après 8 demi-vies, il ne resterait que $\frac{1}{256}$ .

Correct: Écris le dénominateur comme une puissance de 2 : $8 = 2^3$ , donc 3 demi-vies se sont écoulées.

Confondre la fraction restante et la fraction désintégrée

Pourquoi c'est faux: Après 3 demi-vies, il reste $\frac{1}{8}$ , donc $\frac{7}{8}$ se sont désintégrés. La question peut porter sur l'une ou l'autre.

Correct: Lis bien la question : fraction désintégrée $= 1 -$ fraction restante. Après 3 demi-vies : $12{,}5\,\%$ restant, $87{,}5\,\%$ désintégré.

Pourquoi c'est important

La demi-vie permet aux scientifiques, aux médecins et aux ingénieurs de mesurer la vitesse à laquelle quelque chose disparaît :

Archéologie : le carbone 14 a une demi-vie de $5730$ ans, donc le carbone restant dans les os et le bois indique leur âge
Médecine : la demi-vie d'un médicament indique aux médecins quand donner la dose suivante
Hôpital : l'iode 131, utilisé pour traiter les maladies de la thyroïde, a une demi-vie de $8$ jours, ce qui permet au personnel de savoir quand un patient peut rentrer chez lui sans risque
Énergie et sécurité : les déchets nucléaires doivent être stockés jusqu'à ce qu'assez de demi-vies se soient écoulées

Bonne nouvelle : quand le temps correspond à un nombre entier de demi-vies, tu peux résoudre ces problèmes en divisant par deux, sans outil avancé.

Applications dans le monde réel

Datation au carbone 14

Les êtres vivants absorbent du carbone 14. Après leur mort, il se désintègre avec une demi-vie de 5730 ans, donc la fraction restante révèle l'âge des os, du bois et du charbon de bois.

Exemple:

Un morceau de bois qui contient $\frac{1}{4}$ de son carbone 14 d'origine a $2 \times 5730 = 11460$ ans.

1Essaie par toi-même

Du charbon de bois provenant d'un ancien foyer contient $\frac{1}{16}$ de son carbone 14 d'origine. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans.

Quel âge a ce charbon de bois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le nombre de demi-vies, puis multiplie par $5730$ :

Les médicaments dans le sang

Les médecins utilisent la demi-vie d'un médicament pour décider quand donner la dose suivante, afin que la quantité dans le corps reste sûre et efficace.

Exemple:

D'une dose de $400$ mg avec une demi-vie de $6$ heures, il reste $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg après $12$ heures.

2Essaie par toi-même

Un patient prend $600$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $4$ heures.

Combien de mg reste-t-il après $16$ heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Traitement à l'iode 131

L'iode 131 sert à traiter les maladies de la thyroïde. Sa demi-vie de 8 jours indique à l'hôpital à quelle vitesse le rayonnement diminue et quand les restes peuvent être stockés ou éliminés sans danger.

Exemple:

$100$ mg d'iode 131 deviennent $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg après $16$ jours.

3Essaie par toi-même

Un hôpital stocke $160$ mg d'iode 131 (demi-vie de $8$ jours).

Combien de mg reste-t-il après $24$ jours ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Points clés

1La demi-vie $T$ est le temps nécessaire pour que la moitié d'une substance disparaisse
2La quantité restante est $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , où $\frac{t}{T}$ est le nombre de demi-vies
3Après $n$ demi-vies, la fraction restante est $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Pour trouver le temps écoulé, écris la fraction restante sous la forme $\frac{1}{2^n}$ et multiplie $n$ par la demi-vie
5Pour trouver la demi-vie, compte combien de divisions par deux apparaissent dans les données et divise le temps par ce nombre
6Chaque demi-vie enlève la moitié de ce qui reste, donc la quantité n'atteint jamais exactement zéro

Questions fréquentes

Une substance finit-elle par disparaître complètement ?

Mathématiquement, non :

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

n'est jamais nul. En pratique, après environ 10 demi-vies, il reste moins de

0{,}1\,\%

(

\frac{1}{1024}

), ce qu'on considère généralement comme disparu.

Pourquoi l'exposant est-il $\frac{t}{T}$ et pas simplement $t$ ?

Le facteur

\frac{1}{2}

s'applique une fois par demi-vie, pas une fois par unité de temps. En divisant le temps

t

par la demi-vie

T

, on compte le nombre de demi-vies écoulées.

Et si le temps n'est pas un nombre entier de demi-vies ?

La formule fonctionne quand même, par exemple

400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}

. Utilise une calculatrice (tape 400 × 0.5^1.5) ou une valeur donnée comme

\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536

. Trouver un temps inconnu dans ce cas demande les logarithmes, qui viendront dans une leçon ultérieure.

Quel lien y a-t-il entre la demi-vie et le taux de décroissance ?

Dans la leçon sur la décroissance exponentielle, une quantité est multipliée par

b = 1 - r

à chaque unité de temps. La demi-vie utilise la même idée, mais choisit l'unité de temps pour que le facteur soit exactement

\frac{1}{2}

, ce qui rend le calcul mental bien plus facile.

Glossaire

Demi-vie: Le temps $T$ nécessaire pour que la moitié d'une substance se désintègre ou disparaisse
Valeur initiale: La quantité $N_0$ au départ, quand $t = 0$
Nombre de demi-vies: Le quotient $\frac{t}{T}$ : combien de fois la quantité a été divisée par deux
Désintégration radioactive: Le processus par lequel des atomes instables se transforment en d'autres atomes, en perdant une fraction fixe à chaque période de même durée
Datation au carbone 14: Une méthode qui détermine l'âge d'une matière autrefois vivante à partir de la fraction de carbone 14 restante (demi-vie de $5730$ ans)

Carte des formules

Formule de la demi-vie

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = valeur initiale, $T$ = demi-vie, $t$ = temps écoulé (même unité que $T$).

Après n demi-vies

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Divise par 2 une fois pour chaque demi-vie. Le temps écoulé est $t = n \cdot T$.

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