Croissance et décroissance continues

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Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une substance se désintègre en continu au taux de 4% par an. Quelle formule modélise la quantité $A$ après $t$ années, en partant de $P$ ?
1. a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
2. b) $A = P(1{,}04)^t$
3. c) $A = Pe^{0{,}04t}$
4. d) $A = Pe^{-4t}$
2.
Dans le modèle $A = 250e^{0{,}07t}$ , quelle est la valeur initiale ?
1. a) $0{,}07$
2. b) $e$
3. c) $250$
4. d) $267{,}5$
3.
Utilise $A = Pe^{rt}$ avec $P = 1000$ , $r = 0{,}04$ et $t = 5$ . Utilise $e^{0{,}2} \approx 1{,}2214$ . Combien vaut $A$ ? Arrondis à une décimale.
4.
Une population suit $N = 300e^{0{,}12t}$ , avec $t$ en années. Quel est le taux de croissance continu en pourcentage ? Écris seulement le nombre, sans le signe %.
5.
Tu places 1500 € à 3% d'intérêts composés en continu pendant 10 ans. Utilise $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ . Combien as-tu à la fin ? Arrondis à l'euro.
6.
Une culture de 400 bactéries augmente en continu de 25% par heure. Combien y a-t-il de bactéries après 4 heures ? Utilise $e \approx 2{,}71828$ et arrondis à l'unité.
7.
Que décrit le modèle $N = 50e^{-0{,}3t}$ ?
1. a)Croissance continue de 0,3%
2. b)Décroissance continue de 30%
3. c)Décroissance continue de 3%
4. d)Croissance continue de 30%
8.
Deux comptes partent du même montant, avec le même taux et la même durée. L'un compose annuellement, l'autre en continu. Lequel finit avec le plus d'argent ?
1. a)Celui en annuel
2. b)Celui en continu
3. c)Ils finissent avec le même montant
4. d)Cela dépend du montant de départ
9.
200 grammes d'une substance radioactive se désintègrent en continu au taux de 5% par an. Utilise $e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065$ . Combien de grammes reste-t-il après 10 ans ? Arrondis à une décimale.
10.
Combien dois-tu déposer maintenant, à 5% d'intérêts composés en continu, pour avoir 10000 € dans 10 ans ? Utilise $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ et arrondis à l'euro.
11.
Un patient reçoit 60 mg d'un médicament. Le corps l'élimine en continu au taux de 20% par heure. Utilise $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ . Combien de mg ont été éliminés après 3 heures ? Arrondis à une décimale.
12.
Tu places 3000 € à 4% pendant 5 ans. Utilise $1{,}04^{5} \approx 1{,}2167$ et $e^{0{,}2} \approx 1{,}2214$ . Compare la capitalisation annuelle et continue. Arrondis chaque montant à l'euro.
13.
Combien dois-tu déposer aujourd'hui, à 4% d'intérêts composés en continu, pour avoir 6000 € dans 5 ans ? Utilise la calculatrice ( $e \approx 2{,}71828$ ) et arrondis le résultat final à l'euro.
14.
Offre A : 6% composés annuellement. Offre B : 5,85% composés en continu. Utilise $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Quelle offre rapporte le plus après un an ?
1. a)On ne peut pas décider sans le dépôt
2. b)Les deux rapportent autant
3. c)L'offre B
4. d)L'offre A
15.
5000 € sont placés à 8% pendant 10 ans. Utilise $1{,}08^{10} \approx 2{,}158925$ et $e^{0{,}8} \approx 2{,}225541$ . Combien d'euros de plus rapporte la capitalisation continue par rapport à la capitalisation annuelle ? Arrondis à l'euro.
16.
Tu veux placer 2000 € pendant 10 ans. La banque A paie 5% composés annuellement, la banque B 4,9% composés en continu. Utilise $1{,}05^{10} \approx 1{,}6289$ et $e^{0{,}49} \approx 1{,}6323$ . Arrondis chaque montant à l'euro. Combien d'euros de plus rapporte la meilleure banque ?
17.
Un échantillon de 500 grammes d'une substance radioactive se désintègre en continu à 2% par an. Utilise $e^{-1} \approx 0{,}3679$ . Combien de grammes reste-t-il après 50 ans ? Arrondis au gramme.
18.
Une culture commence avec 1000 bactéries et augmente en continu de 30% par heure. Utilise $e^{0{,}6} \approx 1{,}8221$ et $e^{1{,}2} \approx 3{,}3201$ . Par quel facteur la culture est-elle multipliée entre l'heure 2 et l'heure 4 ? Trouve d'abord le nombre de bactéries après 2 heures et après 4 heures (à l'unité), puis donne le facteur avec deux décimales.