Guide de l'enseignant: Révision des fonctions

Maîtrisez les fondamentaux des fonctions, y compris la notation, le domaine, l'image et les opérations avant d'aborder la pré-analyse.

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Quiz de classe

10 questions sur Fonctions Avancées. Les élèves participent avec un prénom, tu vois tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Évaluer des fonctions en utilisant la notation fonctionnelle pour diverses entrées
Déterminer le domaine et l'image des fonctions à partir d'équations et de graphiques
Effectuer des opérations sur les fonctions : addition, soustraction, multiplication et division
Calculer des fonctions composées et comprendre l'ordre de composition
Évaluer des fonctions par morceaux en identifiant le bon morceau pour chaque entrée
Appliquer le test de la droite verticale pour déterminer si une relation est une fonction

Prérequis

• Compréhension des expressions et équations algébriques
• Familiarité avec la notation d'intervalle
• Connaissance des types de fonctions de base (linéaire, quadratique, valeur absolue)
• Compétences en représentation graphique dans le plan cartésien

Amorces de discussion

1. Pourquoi les mathématiciens utilisent-ils la notation fonctionnelle au lieu d'écrire simplement des équations ?
2. Pouvez-vous penser à des processus du monde réel qui NE SONT PAS des fonctions ? (Où une entrée pourrait avoir plusieurs sorties)
3. Si vous composez une fonction avec son inverse, que se passe-t-il ? Pouvez-vous expliquer pourquoi ?
4. Comment expliqueriez-vous le test de la droite verticale à quelqu'un qui n'a jamais entendu parler des fonctions ?

Idées reçues courantes

Penser que signifie fois 2

Croire que toutes les équations avec et sont des fonctions

Confondre les restrictions de domaine avec la règle de la fonction

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utilisez des machines à fonctions avec des manipulations physiques
• Commencez par des fonctions linéaires simples avant les quadratiques
• Fournissez le domaine et l'image sur les graphiques avant les expressions algébriques
• Utilisez des tableaux de valeurs pour renforcer les relations entrée-sortie

Pour les élèves au niveau:

• Pratiquez avec des fonctions polynomiales, rationnelles et radicales
• Trouvez les domaines algébriquement pour différents types de fonctions
• Composez deux fonctions et vérifiez avec des valeurs spécifiques
• Analysez des fonctions par morceaux avec deux ou trois morceaux

Pour les élèves avancés:

• Explorez les fonctions inverses et leurs compositions
• Trouvez les domaines des fonctions composées
• Analysez des fonctions avec plusieurs restrictions de domaine
• Créez des modèles du monde réel en utilisant la composition de fonctions

Alignement aux standards

F-IF.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.1)
Comprendre qu'une fonction d'un ensemble vers un autre ensemble assigne à chaque élément du domaine exactement un élément de l'image
F-IF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.2)
Utiliser la notation fonctionnelle, évaluer des fonctions pour des entrées dans leur domaine, et interpréter des énoncés qui utilisent la notation fonctionnelle
F-IF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.5)
Relier le domaine d'une fonction à son graphique et à la relation quantitative qu'elle décrit
F-BF.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1)
Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux quantités

Ressources de la leçon

visualTraceur de fonctions interactif
Tracez et explorez différents types de fonctions
activityChaîne de composition
Enchaînez plusieurs fonctions et suivez les transformations
worksheetDétective du domaine
Pratiquez la recherche de domaines de différents types de fonctions

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fonction est une relation où chaque entrée a exactement une sortie. On écrit pour désigner la sortie de la fonction quand l'entrée est .

Concepts clés des fonctions :

Notation fonctionnelle :

Par exemple, si , alors :

Domaine et image :

Domaine : Toutes les valeurs d'entrée possibles (valeurs de )
Image : Toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs de ou )

Test de la droite verticale : Un graphique représente une fonction si et seulement si toute droite verticale coupe le graphique au plus une fois.

Exemples résolus

Soit . Calculez et .

Trouvez en substituant

→

Trouvez en substituant

→

Vérifiez les calculs

Les deux entrées donnent la sortie 6, ce qui est valide → et

Réponse: et . Note : Différentes entrées peuvent produire la même sortie dans une fonction.

Erreurs courantes

Confondre avec

Pourquoi c'est faux: signifie substituer dans la fonction, tandis que signifie ajouter 2 à la sortie.

Correct: Pour : , mais . Très différent !

Inverser l'ordre de composition : penser que

Pourquoi c'est faux: La notation peut être déroutante. La fonction à droite est appliquée en premier.

Correct: : Appliquez d'abord, puis appliquez au résultat.

Oublier de vérifier les restrictions du domaine lors de la recherche de l'image

Pourquoi c'est faux: L'image dépend des entrées autorisées. Un domaine restreint limite souvent aussi l'image.

Correct: Pour avec domaine , l'image est , pas .

Supposer que toutes les relations sont des fonctions

Pourquoi c'est faux: Toute équation ou tout graphique ne représente pas une fonction. Le test de la droite verticale doit être réussi.

Correct: (un cercle) N'EST PAS une fonction car les droites verticales peuvent le couper deux fois.

Pourquoi c'est important

Les fonctions sont le fondement de toutes les mathématiques avancées :

Physique : Les équations du mouvement comme décrivent la position en fonction du temps
Économie : Les courbes d'offre et de demande modélisent les relations de prix
Informatique : Chaque programme est essentiellement une collection de fonctions transformant des entrées en sorties
Ingénierie : Les fonctions de transfert décrivent comment les systèmes répondent aux entrées
Biologie : Les modèles de population utilisent des fonctions pour prédire la croissance au fil du temps

Maîtriser les fonctions est essentiel pour le calcul différentiel, où vous étudierez comment les fonctions changent et s'accumulent.

Applications dans le monde réel

Conversion de température

La conversion entre Celsius et Fahrenheit est une application de la composition de fonctions.

Exemple:

Si convertit Fahrenheit en Celsius, alors degrés Celsius.

1Essayez vous-même

Une application météo convertit Kelvin en Celsius avec et Celsius en Fahrenheit avec .

Trouvez la température en Fahrenheit quand il fait 300 Kelvin.

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

D'abord convertir 300K en Celsius, puis en Fahrenheit :

Calculateur de frais d'expédition

De nombreuses entreprises utilisent des fonctions par morceaux pour calculer les frais d'expédition en fonction du poids.

Exemple:

Une entreprise facture selon le poids : 5 euros pour les colis jusqu'à 1 kg, puis 3 euros par kg supplémentaire.

2Essayez vous-même

Fonction de coût d'expédition : pour , pour .

Quel est le coût pour expédier un colis de 4 kg ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Puisque 4 > 1, utilisez la seconde formule :

Points clés

1Une fonction assigne exactement une sortie à chaque entrée :
2Le domaine est l'ensemble de toutes les entrées valides ; l'image est l'ensemble de toutes les sorties possibles
3Opérations sur les fonctions : ,
4Composition : - appliquez la fonction intérieure en premier
5Le test de la droite verticale détermine si un graphique représente une fonction

Questions fréquentes

Une fonction peut-elle avoir la même sortie pour différentes entrées ?

Oui ! Par exemple, donne . La règle est que chaque entrée a UNE sortie, mais différentes entrées peuvent partager la même sortie.

Quelle est la différence entre et ?

est la fonction elle-même (une règle ou un processus), tandis que est la valeur de sortie quand vous entrez . Pensez à comme une machine et à comme ce qui sort quand vous y mettez .

Pourquoi l'ordre compte-t-il dans la composition ?

Parce que vous appliquez des transformations en séquence. Si double et ajoute 3 : , mais . Des processus différents donnent des résultats différents.

Glossaire

Fonction: Une relation où chaque entrée a exactement une sortie
Domaine: L'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles pour une fonction
Image: L'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles d'une fonction
Notation fonctionnelle: Écrire pour représenter la sortie de la fonction pour l'entrée
Composition: Appliquer une fonction à la sortie d'une autre :
Fonction par morceaux: Une fonction définie par différentes expressions pour différentes parties de son domaine
Test de la droite verticale: Un test graphique : si une droite verticale coupe un graphique plus d'une fois, ce n'est pas une fonction