Guide de l'enseignant: Lire une limite sur un graphique

Lis les limites directement sur un graphique, distingue la limite de la valeur de la fonction et repère quand une limite n'existe pas.

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Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Lire $\lim_{x \to a} f(x)$ sur un graphique en suivant la courbe des deux côtés
Distinguer la limite en $a$ et la valeur $f(a)$ grâce aux cercles vides et aux points pleins
Reconnaître qu'une limite peut exister là où $f(a)$ n'est pas défini ou est différent de la limite
Décider sur un graphique quand une limite n'existe pas parce que les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes
Lire plusieurs limites et valeurs sur le graphique d'une fonction définie par morceaux

Prérequis

• Introduction aux limites : l'idée d'une valeur dont une fonction s'approche
• Notation des limites : lire $\lim_{x \to a} f(x) = L$
• Lire des points et des hauteurs dans un repère
• Fonctions définies par morceaux simples et sens des cercles vides et des points pleins

Amorces de discussion

1. Si tu effaçais un seul point d'un graphique, est-ce que cela pourrait changer la limite à cet endroit ? Pourquoi ?
2. Comment une fonction peut-elle avoir une valeur en $x = a$ mais pas de limite en ce point ?
3. Pourquoi faut-il regarder les deux côtés de $x = a$ avant de donner la limite ?
4. Dans la vie réelle, où un graphique fait-il un saut soudain ? Que signifierait la limite au niveau du saut ?

Idées reçues courantes

La limite en $a$ est toujours $f(a)$

Remédiation: Montre une droite avec un trou en $(2, 3)$ et un point en $(2, 5)$ . Demande où va la droite, puis où est le point. Deux questions différentes, deux réponses différentes.

Un trou signifie que la limite n'existe pas

Remédiation: Fais marcher deux doigts vers le trou depuis les deux côtés. Ils se rejoignent au trou, donc la limite existe. Seul un saut, où les doigts s'arrêtent à des hauteurs différentes, empêche la limite d'exister.

La réponse d'une limite est le nombre vers lequel tend $x$

Remédiation: Insiste pour lire les réponses sur l'axe des $y$ . Fais dire aux élèves 'quand $x$ tend vers $2$ , la hauteur tend vers ...' avant d'écrire quoi que ce soit.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des graphiques avec un seul point particulier et des hauteurs sur le quadrillage
• Utiliser deux feutres de couleur pour suivre le côté gauche et le côté droit avant de donner la limite
• Tenir un tableau à deux colonnes pour chaque point : limite (suivre la courbe) et valeur (point plein)

Pour les élèves au niveau:

• Lire limites et valeurs en plusieurs points d'un même graphique par morceaux
• Trier des cartes de graphiques : limite égale à la valeur, limite différente de la valeur, limite qui n'existe pas
• Esquisser un graphique qui correspond à des limites et des valeurs données

Pour les élèves avancés:

• Inventer une fonction dont la limite existe en $x = 1$ mais diffère de $f(1)$ , et écrire son expression par morceaux
• Trouver une constante qui raccorde deux morceaux pour que la limite existe
• Préparer la notation des limites à gauche et à droite en décrivant les hauteurs de chaque côté d'un saut

Alignement aux standards

HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpréter les caractéristiques principales de la courbe d'une fonction et esquisser des courbes qui les montrent
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Tracer des fonctions définies par morceaux, y compris des fonctions en escalier
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Estimer des limites de fonctions à partir de graphiques

Ressources de la leçon

visualGraphique avec trou et point
Graphique interactif de $y = x + 1$ avec un trou en $(2, 3)$ et un point plein en $(2, 5)$ pour comparer la limite et $f(2)$
visualGraphique par morceaux avec limites
Graphique interactif d'une fonction définie par morceaux avec un saut et un trou, qui indique les deux côtés et la valeur à chaque coupure
activityLa marche des doigts
Les élèves suivent des graphiques imprimés avec deux doigts depuis les deux côtés vers chaque $x$ marqué et notent les hauteurs atteintes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Pour lire une limite sur un graphique, tu lis

\lim_{x \to a} f(x)

directement sur la courbe de

f

. Pose un doigt sur la courbe de chaque côté de

x = a

, glisse vers

x = a

et observe vers quelle hauteur (valeur de

y

) la courbe se dirige.

Si les deux côtés se dirigent vers la même hauteur $L$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Si les deux côtés se dirigent vers des hauteurs différentes, la limite n'existe pas.

Limite et valeur de la fonction. Ce sont deux questions différentes :

$\lim_{x \to a} f(x)$ demande où va la courbe près de $x = a$ .
$f(a)$ demande où se trouve réellement le point plein en $x = a$ .

Un cercle vide (un trou) marque un point qui manque sur le graphique. Un point plein marque la vraie valeur de la fonction. La limite ignore ce qui se passe exactement en

x = a

: un trou, ou un point placé ailleurs, ne change donc pas la limite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{quand les deux côtés de la courbe tendent vers la hauteur } L

Exemples résolus

La courbe de $f$ est la droite $y = x + 1$ avec un cercle vide en $(2, 3)$ et un point plein en $(2, 5)$ (le premier graphique de cette leçon). Détermine $\lim_{x \to 2} f(x)$ et $f(2)$ .

Suis la courbe depuis la gauche

Pour $x = 1{,}9 ;\ 1{,}99 ;\ 1{,}999$ , la droite monte vers le cercle vide → La hauteur tend vers $3$

Suis la courbe depuis la droite

Pour $x = 2{,}1 ;\ 2{,}01 ;\ 2{,}001$ , la droite descend vers le même cercle vide → La hauteur tend vers $3$

Compare les deux côtés

Les deux côtés vont vers la même hauteur → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trouve le point plein en $x = 2$

Le point plein est en $(2, 5)$ , hors de la droite → $f(2) = 5$

Réponse: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ mais $f(2) = 5$ . La limite suit la courbe, la valeur de la fonction est le point plein.

Erreurs courantes

Prendre le point plein pour la limite : répondre $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ parce qu'il y a un point en $(2, 5)$

Pourquoi c'est faux: La limite décrit où va la courbe près de $x = 2$ . Un point isolé hors de la courbe ne change pas la direction de la courbe.

Correct: Suis la courbe des deux côtés : elle va vers le cercle vide à la hauteur $3$ , donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , alors que $f(2) = 5$ .

Dire que la limite n'existe pas parce qu'il y a un trou

Pourquoi c'est faux: Un trou signifie seulement que $f(a)$ manque. La limite ne regarde jamais $x = a$ lui-même, seulement les valeurs autour.

Correct: Si les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite existe et vaut cette hauteur, même quand $f(a)$ n'est pas défini.

En cas de saut, donner comme limite la hauteur du point plein (ou d'un seul côté)

Pourquoi c'est faux: Une limite des deux côtés exige que les deux côtés soient d'accord. Lors d'un saut, le côté gauche et le côté droit tendent vers des hauteurs différentes.

Correct: Vérifie les deux côtés. S'ils tendent vers des hauteurs différentes, écris que la limite n'existe pas, quoi que montre le point plein.

Répondre avec la valeur de $x$ : écrire $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Pourquoi c'est faux: Le $2$ sous le symbole limite est l'endroit vers lequel va $x$ . La limite elle-même est une hauteur, une valeur de $y$ .

Correct: Lis la réponse sur l'axe des $y$ : la hauteur vers laquelle tend la courbe quand $x$ s'approche de $2$ .

Pourquoi c'est important

Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de voir ce que fait une fonction près d'un point :

L'analyse commence ici : la dérivée (pente d'une tangente) est une limite, et tu la découvres d'abord sous forme d'image.
Les vraies données ont des trous et des erreurs : la courbe d'un capteur peut avoir une mesure manquante ou un pic faux. La limite donne la vraie tendance autour de cet instant.
Les prix et les tarifs font des sauts : frais d'envoi, tarifs de taxi et tranches d'impôt ont des graphiques avec des sauts, où la valeur juste avant et juste après une limite de tranche est différente.
La continuité s'appuie dessus : plus tard, tu diras qu'une fonction est continue en $a$ exactement quand la limite existe et vaut $f(a)$ , ce que tu peux vérifier à l'œil sur un graphique.

Lire des limites sur un graphique entraîne le réflexe le plus important de l'analyse : regarder ce qui se passe près d'un point, pas seulement en ce point.

Applications dans le monde réel

Frais d'envoi avec une limite de poids

Les transporteurs facturent par tranche de poids : le graphique du prix en fonction du poids est donc un escalier avec des sauts aux limites des tranches.

Exemple:

Un transporteur facture 5 € jusqu'à 2 kg et 8 € au-delà de 2 kg. Juste sous 2 kg, le graphique est à 5, juste au-dessus il est à 8 : la limite du prix quand le poids tend vers 2 kg n'existe donc pas.

1Essaie par toi-même

Un transporteur facture 5 € pour les colis jusqu'à 2 kg (2 kg compris) et 8 € pour les colis de juste plus de 2 kg jusqu'à 5 kg. Le graphique du prix $C(w)$ a un point plein en $(2, 5)$ et un cercle vide en $(2, 8)$ .

Quelle est la hauteur du saut en $w = 2$ (la hauteur vers laquelle tend le côté droit moins celle vers laquelle tend le côté gauche) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Hauteur à droite moins hauteur à gauche :

Une erreur dans les données d'un capteur

Les stations météo et les montres de sport tracent des mesures au cours du temps. Quand une mesure est perdue ou fausse, la courbe a un trou ou un point égaré, et la limite retrouve la vraie tendance.

Exemple:

Une courbe de fréquence cardiaque qui tend vers 120 battements par minute des deux côtés d'un instant, avec une seule mesure fausse de 0 à cet instant, a quand même une limite de 120 en ce point.

2Essaie par toi-même

Une station météo trace la température $T(t)$ en °C, avec $t$ en heures. Autour de $t = 3$ , la courbe tend vers $18$ °C des deux côtés, mais une erreur a enregistré la valeur isolée $T(3) = 0$ .

Que vaut $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur vers laquelle tendent les deux côtés :

Les trous sur une calculatrice graphique

Un logiciel graphique trace $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ comme ce qui ressemble à une droite, mais la fonction trace affiche une erreur en $x = 3$. La courbe a un trou à cet endroit, et sa hauteur est la limite.

Exemple:

Pour $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ , la courbe ressemble à $y = x + 2$ avec un trou en $(2, 4)$ : donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ alors que $f(2)$ n'est pas défini.

3Essaie par toi-même

Tu traces $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . La fonction trace affiche ERROR en $x = 3$ , et la courbe ressemble à la droite $y = x + 3$ avec un trou.

Que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur du trou :

Points clés

1Pour lire $\lim_{x \to a} f(x)$ sur un graphique, suis la courbe des deux côtés vers $x = a$ et lis la hauteur vers laquelle elle tend
2La limite est une valeur de $y$ (une hauteur), pas la valeur $a$ de $x$
3Un cercle vide (trou) marque un point manquant, un point plein marque la vraie valeur $f(a)$
4La limite ignore le point en $x = a$ : un trou ou un point placé ailleurs ne la change pas
5Si les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes (un saut), la limite n'existe pas, quelle que soit la valeur de $f(a)$
6Là où la courbe n'a pas de coupure, la limite est simplement égale à $f(a)$

Questions fréquentes

La limite peut-elle exister si $f(a)$ n'est pas défini ?

Oui. Si la courbe a un trou en

x = a

et que les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite vaut cette hauteur. Par exemple,

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

n'est pas défini en

x = 2

, mais sa limite en ce point est

4

S'il y a un point plein en $x = a$ , la limite existe-t-elle forcément ?

Non. Le point donne seulement

f(a)

. Lors d'un saut, la courbe a un point plein, mais les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes, donc la limite n'existe pas.

Qu'est-ce que j'écris quand une limite n'existe pas ?

Écris :

\lim_{x \to a} f(x)

n'existe pas, et donne la raison, par exemple : le côté gauche tend vers

2

et le côté droit vers

4

Lire une limite sur un graphique, est-ce précis ?

Seulement autant que le graphique. Utilise le quadrillage et les points indiqués, et quand la hauteur ne tombe pas clairement sur une ligne du quadrillage, confirme-la avec un tableau de valeurs ou par le calcul (les leçons suivantes).

Glossaire

Limite: La hauteur $L$ vers laquelle tend la courbe de $f$ des deux côtés quand $x$ tend vers $a$ , notée $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valeur de la fonction $f(a)$: La vraie hauteur de la courbe en $x = a$ , donnée par un point plein ou par la courbe qui passe par $x = a$
Cercle vide (trou): Un point dessiné comme un cercle vide : la courbe s'en approche, mais il ne fait pas partie de la courbe
Point plein: Un point rempli qui fait partie de la courbe et donne la valeur de la fonction à cet endroit
Saut: Un endroit où la courbe s'interrompt et reprend à une autre hauteur, de sorte que les deux côtés tendent vers des valeurs différentes
N'existe pas: Ce qu'on dit d'une limite quand les deux côtés de la courbe ne tendent pas vers la même hauteur

Carte des formules

Lire une limite sur un graphique

\lim_{x \to a} f(x) = L

Les deux côtés de la courbe tendent vers la hauteur $L$ quand $x$ tend vers $a$

Quand la limite n'existe pas

\text{hauteur à gauche} \neq \text{hauteur à droite} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ n'existe pas}

Si les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes, $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas

Limite et valeur

\lim_{x \to a} f(x) \text{ et } f(a) \text{ peuvent être différents}

La limite suit la courbe près de $a$, la valeur est le point plein en $a$. Elles peuvent être différentes

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Frais d'envoi avec une limite de poids

Une erreur dans les données d'un capteur

Les trous sur une calculatrice graphique

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Lire une limite sur un graphique

Quand la limite n'existe pas

Limite et valeur

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Notation des limites

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

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