Guide de l'enseignant: Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

Estime une limite numériquement : construis un tableau de valeurs des deux côtés, rapproche-toi de plus en plus et lis vers quoi tendent les images.

Présenter la leçonVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Construire un tableau de valeurs qui s'approche d'un point des deux côtés
Choisir des valeurs de $x$ qui se rapprochent de $a$ de façon systématique
Estimer une limite à partir de la tendance d'un tableau, même si $f(a)$ n'est pas définie
Reconnaître dans un tableau quand une limite n'existe pas ou quand les images deviennent aussi grandes qu'on veut
Expliquer les limites des tableaux et confirmer les estimations avec des graphiques ou des calculs

Prérequis

• Introduction aux limites et Notation des limites (sens de $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Lire une limite sur un graphique
• Calculer des images à la calculatrice, y compris en mode radians
• Travailler avec des nombres décimaux et des arrondis

Amorces de discussion

1. Pourquoi laisse-t-on $x = a$ de côté quand on construit un tableau pour $\lim_{x \to a} f(x)$ ?
2. Un tableau peut-il un jour prouver qu'une limite vaut un nombre précis ? Pourquoi ?
3. Comment convaincrais-tu un ami, avec seulement un tableau, que $\frac{|x|}{x}$ n'a pas de limite en $0$ ?
4. Les valeurs $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ donnent toutes $0$ pour $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ . Qu'est-ce que cela nous apprend sur le choix des valeurs du tableau ?
5. Quand les arrondis d'un ordinateur pourraient-ils rendre un tableau trompeur ?

Idées reçues courantes

La limite est la valeur du tableau la plus proche de $a$

Remédiation: Montre que la valeur la plus proche, comme $3{,}999$ , n'est qu'une estimation. Demande vers quel nombre tend la suite $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ et insiste : on donne la cible, $4$ , pas la dernière entrée.

Un seul côté du tableau suffit

Remédiation: Utilise $\frac{|x|}{x}$ : un tableau à droite seulement donne $1$ , un tableau à gauche seulement donne $-1$ . Seuls les deux côtés ensemble révèlent que la limite n'existe pas.

Si toutes les valeurs du tableau concordent, la limite est forcément cette valeur

Remédiation: Présente $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ avec $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ (tous $0$ ), puis fais essayer $x = 0{,}4$ et $x = \frac{2}{3}$ . Discutez de la nécessité d'un graphique ou d'un calcul pour confirmer.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Fournir des tableaux partiellement remplis pour que les élèves ne calculent que quelques valeurs
• Commencer par des fonctions avec un trou, où la régularité ( $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ ) se voit facilement
• Laisser les élèves utiliser la calculatrice avec les exemples proposés avant de construire leurs propres tableaux

Pour les élèves au niveau:

• Construire des tableaux complets des deux côtés pour des fonctions comme $\frac{\sin x}{x}$ et $\frac{e^x - 1}{x}$
• Classer des limites lues dans des tableaux : existe, n'existe pas ou infinie
• Comparer les estimations du tableau avec le graphique de la même fonction

Pour les élèves avancés:

• Étudier $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ et trouver des valeurs de $x$ aussi proches de $0$ qu'on veut donnant $1$ , $0$ et $-1$
• Explorer les erreurs d'arrondi de la calculatrice pour $x - a = 10^{-10}$ et expliquer ce qui ne va pas
• Estimer $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ et faire le lien avec le nombre $e$

Alignement aux standards

AP Calculus LIM-1.D (AP.CALC.LIM-1.D)
Estimer des limites de fonctions, notamment à partir de tableaux de valeurs
HSF-IF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.2)
Utiliser la notation fonctionnelle et calculer des images pour des valeurs de l'ensemble de définition

Ressources de la leçon

visualGraphique avec tableau
Graphiques interactifs avec un trou, un saut et une asymptote verticale, chacun avec un tableau de valeurs qui s'approche du point
activityRelais de plus en plus près
Les équipes calculent $f(x)$ pour des valeurs de $x$ dix fois plus proches à chaque tour et prédisent la limite avant la dernière valeur
worksheetExercices : limites et tableaux
Compléter des tableaux des deux côtés, estimer des limites et classer chacune : existe, n'existe pas ou infinie

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Pour déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs, tu choisis des valeurs de

x

qui se rapprochent de plus en plus de

a

des deux côtés, tu calcules

f(x)

pour chacune et tu observes la valeur vers laquelle tendent les images.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Comment construire le tableau :

À gauche ( $x < a$ ) : par exemple $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
À droite ( $x > a$ ) : par exemple $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
N'utilise pas $x = a$ : la limite ne dépend pas de $f(a)$

Exemple :

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

n'est pas définie en

x = 2

, mais le tableau montre vers quoi elle tend :

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Les deux côtés tendent vers

4

, donc on estime

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Trois résultats possibles :

Les deux côtés tendent vers le même nombre $L$ : la limite vaut $L$
Les deux côtés tendent vers des nombres différents : la limite n'existe pas
Les images deviennent aussi grandes qu'on veut : on écrit $\infty$ (pas de limite finie)

Un tableau donne une estimation, pas une preuve. C'est le côté numérique de la même idée que dans la leçon Lire une limite sur un graphique.

Exemples résolus

Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Teste le point lui-même

En $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ n'est pas définie, il faut donc un tableau

Approche par la gauche

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → À gauche, les images tendent vers $4$

Approche par la droite

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → À droite, les images tendent vers $4$

Compare les deux côtés

Les deux côtés tendent vers la même valeur → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Réponse: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , même si $f(2)$ n'existe pas

Erreurs courantes

N'utiliser qu'un seul côté de $a$

Pourquoi c'est faux: Un tableau avec seulement $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ montre la limite à gauche. À droite, les images peuvent tendre ailleurs, comme pour $\frac{|x|}{x}$ .

Correct: Construis toujours les deux colonnes : des valeurs juste en dessous de $a$ et des valeurs juste au-dessus de $a$ .

Choisir des valeurs de $x$ qui ne sont pas proches de $a$

Pourquoi c'est faux: Des valeurs comme $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ sont trop éloignées. Loin du point, la fonction peut se comporter de façon très différente.

Correct: Rapproche-toi d'un facteur $10$ à chaque fois : $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

Mettre $x = a$ dans le tableau et prendre $f(a)$ comme limite

Pourquoi c'est faux: La limite décrit ce qui se passe près de $a$ , pas en $a$ . En un trou, $f(a)$ peut ne pas être définie, et en un point déplacé ce peut être un autre nombre.

Correct: Laisse $x = a$ hors du tableau et lis seulement la tendance des valeurs voisines.

Faire aveuglément confiance à quelques valeurs

Pourquoi c'est faux: Des choix particuliers de $x$ peuvent cacher une oscillation, comme pour $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , et les arrondis peuvent masquer de petites différences entre les deux côtés.

Correct: Utilise plusieurs valeurs qui ne suivent pas toutes le même schéma, garde assez de décimales et confirme avec un graphique ou un calcul.

Pourquoi c'est important

Les tableaux de valeurs sont souvent le moyen le plus simple et le plus pratique de trouver une limite :

Aucune astuce de calcul : des fonctions comme $\frac{\sin x}{x}$ ou $\frac{e^x - 1}{x}$ ne se simplifient pas par factorisation, mais un tableau trouve leur limite en quelques secondes
Les calculatrices et les ordinateurs estiment les limites exactement ainsi : ils calculent des images pour des nombres de plus en plus proches du point
Vérifier ton calcul : si ton calcul donne une limite égale à $4$ mais que le tableau tend vers $3$ , il y a une erreur quelque part
Bases de l'analyse : la vitesse instantanée et la pente d'une courbe commencent par des tableaux de vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts

Savoir quand un tableau peut te tromper (fonctions qui oscillent, arrondis) est aussi important que savoir le construire.

Applications dans le monde réel

Vitesse instantanée en physique

Un compteur de vitesse affiche la vitesse à un instant précis. Les physiciens la trouvent en calculant des vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts et en lisant la tendance dans le tableau.

Exemple:

Une balle tombe de $s(t) = 5t^2$ mètres en $t$ secondes. Vitesses moyennes à partir de $t = 2$ : sur $0{,}1$ s on obtient $20{,}5$ m/s, sur $0{,}01$ s on obtient $20{,}05$ m/s, sur $0{,}001$ s on obtient $20{,}005$ m/s.

1Essaie par toi-même

La vitesse moyenne de la balle entre $t = 2$ et $t = 2 + h$ secondes vaut $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

Quelle est la vitesse instantanée à $t = 2$ secondes, en m/s ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Rends $h$ de plus en plus petit et lis vers quoi tend la vitesse moyenne :

Taux de croissance en biologie

Une culture de bactéries qui double chaque heure ne grandit pas par sauts. Son taux de croissance instantané se trouve à l'aide d'un tableau de l'expression $\frac{2^h - 1}{h}$ pour de très petits pas de temps $h$.

Exemple:

Pour $h = 0{,}1$ heure, le tableau donne $0{,}7177$ , pour $h = 0{,}01$ il donne $0{,}6956$ , pour $h = 0{,}001$ il donne $0{,}6934$ : le taux se stabilise vers $0{,}693$ par heure.

2Essaie par toi-même

Des biologistes estiment $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ avec un tableau de valeurs. Utilise une calculatrice.

Quelle est la limite, arrondie à deux décimales ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule l'expression pour des $h$ de plus en plus petits :

Traitement du signal et audio

Les logiciels audio utilisent des fonctions comme $\frac{\sin(2x)}{x}$ pour filtrer le son. En $x = 0$, la formule donne $\frac{0}{0}$, alors les programmeurs y placent la limite obtenue avec un tableau.

Exemple:

Près de $0$ (en radians), $\frac{\sin(2x)}{x}$ donne $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ et $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$ .

3Essaie par toi-même

Un programmeur a besoin de la valeur vers laquelle tend $\frac{\sin(2x)}{x}$ quand $x \to 0$ ( $x$ en radians).

Quelle valeur le programme doit-il utiliser en $x = 0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Construis un tableau avec $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ :

Points clés

1Pour estimer $\lim_{x \to a} f(x)$ avec un tableau, utilise des valeurs de $x$ de plus en plus proches de $a$ des deux côtés
2Un bon schéma : $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; n'utilise pas $x = a$
3Si les deux côtés tendent vers le même nombre $L$ , la limite vaut $L$ , même si $f(a)$ n'est pas définie
4Si les deux côtés tendent vers des nombres différents, la limite n'existe pas
5Si les images deviennent aussi grandes qu'on veut, il n'y a pas de limite finie et on écrit $\infty$ (ou $-\infty$ )
6Un tableau est une estimation : les fonctions qui oscillent comme $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ et les arrondis peuvent le tromper, alors confirme avec un graphique ou un calcul

Questions fréquentes

Combien de valeurs me faut-il dans le tableau ?

En général, trois de chaque côté, comme

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, suffisent pour voir une tendance claire. Si la tendance n'est pas nette, ajoute des valeurs encore plus proches, comme

a \pm 0{,}0001

Pourquoi ne pas simplement remplacer $x$ par $a$ ?

Parce que la limite concerne les valeurs près de

a

, pas en

a

. Souvent

f(a)

n'est pas définie (un trou ou

\frac{0}{0}

), et parfois elle existe mais diffère de la limite. Le tableau montre la tendance que

f(a)

ne peut pas montrer.

Un tableau prouve-t-il que la limite est correcte ?

Non. Un tableau ne donne que de forts indices. Les résultats exacts viennent du calcul algébrique (Limites par substitution directe, factorisation) ou des théorèmes sur les limites. Les tableaux sont excellents pour estimer et pour vérifier un calcul.

Que signifie le fait que ma calculatrice affiche des valeurs bizarres très près de $a$ ?

Avec des écarts extrêmement petits comme

x - a = 0{,}0000000001

, une calculatrice peut perdre des chiffres en soustrayant des nombres presque égaux. Si les valeurs se mettent soudain à sauter, reviens à

a \pm 0{,}001

a \pm 0{,}0001

, où le calcul reste fiable.

Glossaire

Tableau de valeurs: Une liste de valeurs choisies de $x$ et de leurs images $f(x)$ , qui permet de repérer une tendance
Limite à gauche: La valeur vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to a$ par des valeurs inférieures à $a$ , notée $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Limite à droite: La valeur vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to a$ par des valeurs supérieures à $a$ , notée $\lim_{x \to a^+} f(x)$
N'existe pas: Les images ne tendent pas vers un seul nombre fini, par exemple parce que les deux côtés ne sont pas d'accord ou que la fonction oscille
Croissance illimitée: Les images dépassent n'importe quel nombre choisi ; on écrit alors une limite égale à $\infty$ (limite infinie)
Oscillation: Comportement où les images ne cessent d'osciller au lieu de se stabiliser, comme $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ près de $0$

Carte des formules

Schéma du tableau

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Approche $a$ des deux côtés, dix fois plus près à chaque étape, sans jamais utiliser $x = a$

La limite existe

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Les deux colonnes du tableau tendent vers le même nombre

La limite n'existe pas

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Les deux colonnes tendent vers des nombres différents, ou les valeurs oscillent

Plus sur ce sujet

Guide de l'enseignant: Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

Utiliser cette leçon en classe

Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Vitesse instantanée en physique

Taux de croissance en biologie

Traitement du signal et audio

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Schéma du tableau

La limite existe

La limite n'existe pas

Plus sur ce sujet

Introduction aux limites

Notation des limites

Lire une limite sur un graphique

Limites par substitution directe