Limites par substitution directe

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle limite peux-tu calculer tout de suite par substitution directe ?
1. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
4. d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$
Réponse: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
En $x = 1$ , le dénominateur $x + 1$ vaut $2 \neq 0$ , donc $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Les trois autres donnent $\frac{0}{0}$ et doivent d'abord être simplifiées.
2.
Calcule $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 4)$ .
Réponse: 14
$3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 12 - 2 + 4 = 14$ .
3.
Calcule $\lim_{x \to 4} (x^2 - 3x + 1)$ par substitution directe.
Réponse: 5
1. Combien vaut $x^2$ en $x = 4$ ? 16
2. Combien vaut $-3x$ en $x = 4$ ? -12
3. Additionne tout : $16 - 12 + 1$ . Quelle est la limite ? 5
4.
La substitution directe dans $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ donne $\frac{0}{0}$ . Que dois-tu en conclure ?
1. a)La limite n'existe pas
2. b)La limite vaut 1
3. c)Simplifier d'abord, puis remplacer à nouveau
4. d)La limite vaut 0
Réponse: Simplifier d'abord, puis remplacer à nouveau
$\frac{0}{0}$ ne dit encore rien sur la limite. En factorisant, on obtient $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , donc la limite vaut $8$ .
5.
Calcule $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 6}{x + 3}$ .
Réponse: 4
Numérateur : $2 \cdot (-1)^2 + 6 = 8$ . Dénominateur : $-1 + 3 = 2$ . Limite : $\frac{8}{2} = 4$ .
6.
Calcule $\lim_{x \to 2} \frac{x + 6}{x^2 + 1}$ . Donne le résultat sous forme de fraction.
Réponse: 8/5
1. Combien vaut le dénominateur $x^2 + 1$ en $x = 2$ ? 5
2. Combien vaut le numérateur $x + 6$ en $x = 2$ ? 8
3. Le dénominateur n'est pas nul. Quelle est la limite ? (fraction) 8/5
7.
Calcule $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .
Réponse: 10
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ , et $5 + 5 = 10$ .
8.
Calcule $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .
Réponse: -6
1. Combien vaut le numérateur $x^2 - 9$ en $x = -3$ ? 0
2. Combien vaut le dénominateur $x + 3$ en $x = -3$ ? 0
3. C'est $\frac{0}{0}$ , donc factorise : $x^2 - 9 = (x + 3)(x - \square)$ . Quel nombre va dans la case ? 3
4. Après simplification par $(x + 3)$ , il reste $x - 3$ . Quelle est la limite ? -6
9.
Combien vaut $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ ?
1. a) $1$
2. b) $-1$
3. c) $0$
4. d) $5$
Réponse: $1$
La substitution donne $\frac{0}{0}$ . $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$ , et $-2 + 3 = 1$ .
10.
Calcule $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ .
Réponse: 6
1. Combien vaut le numérateur $x^2 - 2x - 8$ en $x = 4$ ? 0
2. Le dénominateur vaut aussi 0. Factorise : $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + \square)$ . Quel nombre va dans la case ? 2
3. Après simplification, il reste $x + 2$ . Quelle est la limite ? 6
11.
Pour calculer $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ , tu multiplies le numérateur et le dénominateur par :
1. a) $x + 9$
2. b) $\sqrt{x}$
3. c) $\sqrt{x} - 3$
4. d) $\sqrt{x} + 3$
Réponse: $\sqrt{x} + 3$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$ , qui se simplifie avec le dénominateur : la limite devient $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .
12.
Calcule $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ .
Réponse: 2
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$ , et $\frac{3 + 3}{3} = 2$ .
13.
Calcule $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ .
Réponse: 2
1. Combien vaut le numérateur $x^2 + 2x - 3$ en $x = 1$ ? 0
2. Combien vaut le dénominateur $x^2 - 1$ en $x = 1$ ? 0
3. Après simplification par $(x - 1)$ , il reste $\frac{x + 3}{x + 1}$ . Combien vaut le nouveau numérateur $x + 3$ en $x = 1$ ? 4
4. Combien vaut le nouveau dénominateur $x + 1$ en $x = 1$ ? 2
5. Quelle est la limite ? 2
14.
Combien vaut $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ?
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $0$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $1$
Réponse: $\frac{3}{2}$
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , et en $x = 1$ : $\frac{3}{2}$ .
15.
Calcule $\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ en utilisant la quantité conjuguée.
Réponse: 1/10
1. Combien vaut le numérateur $\sqrt{x} - 5$ en $x = 25$ ? 0
2. $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) = x - \square$ . Quel nombre va dans la case ? 25
3. Après simplification par $(x - 25)$ , il reste $\frac{1}{\sqrt{x} + 5}$ . Combien vaut $\sqrt{x} + 5$ en $x = 25$ ? 10
4. Quelle est la limite ? (fraction) 1/10
16.
Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . Donne le résultat sous forme de fraction ou de nombre décimal.
Réponse: 1/4
Avec la quantité conjuguée : $\frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ , et en $x = 0$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
17.
Calcule $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Réponse: 12
1. Combien vaut le numérateur $x^3 - 8$ en $x = 2$ ? 0
2. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + \square)$ . Quel nombre va dans la case ? 4
3. Après simplification, il reste $x^2 + 2x + 4$ . Quelle est la limite ? 12
18.
Calcule $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ .
Réponse: 1/4
1. Combien vaut le numérateur $\sqrt{x + 3} - 2$ en $x = 1$ ? 0
2. $(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2) = (x + 3) - \square$ . Quel nombre va dans la case ? 4
3. Après simplification par $(x - 1)$ , il reste $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . Combien vaut $\sqrt{x + 3} + 2$ en $x = 1$ ? 4
4. Quelle est la limite ? (fraction) 1/4