Guide de l'enseignant: Limites par substitution directe

Calcule des limites algébriquement : remplace x par la valeur quand c'est possible, et si tu obtiens 0/0, factorise et simplifie ou multiplie par la quantité conjuguée.

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Quiz de classe

10 questions sur Limites. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer des limites de polynômes et de fonctions rationnelles par substitution directe
Expliquer quelles opérations sur les limites justifient la substitution directe et quand la règle du quotient ne s'applique pas
Reconnaître la forme indéterminée 0/0 et la distinguer de non nul sur 0
Lever la forme 0/0 en factorisant et en simplifiant par un facteur commun
Lever la forme 0/0 avec une racine en multipliant par la quantité conjuguée

Prérequis

• « Introduction aux limites » et « Notation des limites »
• « Lire une limite sur un graphique » et « Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs »
• Factoriser des trinômes et utiliser l'identité $a^2 - b^2$
• Simplifier des expressions rationnelles et calculer avec des racines carrées

Amorces de discussion

1. Pourquoi la méthode du tableau de la leçon précédente et la substitution directe donnent-elles le même nombre pour un polynôme ?
2. Si la substitution donne $\frac{0}{0}$ , que peux-tu dire du numérateur et du dénominateur en tant que polynômes ?
3. Peux-tu inventer deux limites différentes qui donnent toutes deux $\frac{0}{0}$ mais ont des résultats différents ?
4. Pourquoi a-t-on le droit de multiplier une fraction par $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ ?

Idées reçues courantes

$\frac{0}{0}$ vaut 0, vaut 1, ou signifie que la limite n'existe pas

Remédiation: Montre $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$ , $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$ et $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2}$ (pas de limite finie) : les trois commencent par $\frac{0}{0}$ . Fais vérifier chacune par les élèves avec un tableau de valeurs.

Simplifier par $(x - a)$ , c'est diviser par zéro

Remédiation: Insiste sur le fait que la limite n'utilise jamais $x = a$ . Trace $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$ et $x + 2$ : c'est la même droite, sauf le trou en $x = 3$ .

Tout 0 au dénominateur veut dire factoriser et simplifier

Remédiation: Donne $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}$ : la substitution donne $\frac{3}{0}$ , rien ne se simplifie, et la courbe montre une asymptote verticale au lieu d'un trou.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des limites de polynômes, puis des fonctions rationnelles à dénominateur non nul
• Donner un organigramme : remplacer, puis nombre / non nul sur 0 / 0 sur 0
• Revoir la factorisation des trinômes par un court échauffement avant les exemples 0/0

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger les trois résultats possibles de la substitution dans une même série
• Vérifier chaque réponse à la calculatrice en remplaçant par des valeurs comme 2,99 et 3,01
• Utiliser les graphiques pour repérer le trou dont la hauteur est la limite

Pour les élèves avancés:

• Calculer $\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h}$ et faire le lien avec les dérivées
• Factoriser des sommes et différences de cubes, comme $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$
• Utiliser la quantité conjuguée avec une racine au dénominateur, comme $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$

Alignement aux standards

HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Utiliser la structure d'une expression pour trouver des façons de la réécrire
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Réécrire des expressions rationnelles simples sous différentes formes
HSN-RN.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2)
Réécrire des expressions avec des radicaux et des exposants rationnels à l'aide des propriétés des puissances

Ressources de la leçon

visualExplorateur de trous
Courbes de $(x^2 - x - 6)/(x - 3)$ et $(\sqrt{x} - 2)/(x - 4)$ avec le trou marqué et un tableau de valeurs proches
activityRemplacer, trier, résoudre
Les élèves remplacent dans 12 cartes de limites, les trient en nombre, non nul sur 0 et 0/0, puis résolvent les cartes 0/0
worksheetFactoriser ou conjuguer ?
Limites 0/0 variées où les élèves choisissent d'abord la méthode, puis calculent

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La substitution directe consiste à trouver une limite en remplaçant simplement

x

par la valeur dans la fonction :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Cela fonctionne pour toute fonction polynôme et pour toute fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas en

x = a

. Leur courbe n'a pas de trou à cet endroit, donc la valeur dont la fonction s'approche est celle qu'elle prend réellement.

Pourquoi cela marche : les opérations sur les limites. Si

\lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} g(x)

existent, on peut découper les limites :

somme et différence : $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
multiplication par une constante : $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$
produit : $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
quotient : $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , seulement si $\lim g \neq 0$
puissance : $\lim f^n = (\lim f)^n$

Ce que t'apprend la substitution :

un nombre, par exemple $\frac{5}{5} = 1$ : ce nombre est la limite
$\frac{\text{non nul}}{0}$ , par exemple $\frac{3}{0}$ : pas de limite finie (la courbe a une asymptote verticale, voir la leçon « Limites infinies »)
$\frac{0}{0}$ : la forme indéterminée 0/0. Ce n'est PAS une réponse. Elle t'indique qu'il faut d'abord transformer l'expression.

Lever la forme 0/0 :

1.Factoriser et simplifier : le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun $(x - a)$ . Simplifie-le, puis remplace à nouveau.
2.Multiplier par la quantité conjuguée : avec une racine comme $\sqrt{x} - 2$ , multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{x} + 2$ , simplifie, puis remplace à nouveau.

Simplifier est permis car la limite ne regarde que des valeurs de

x

proches de

a

, jamais

x = a

lui-même, donc

x - a \neq 0

Exemples résolus

Calcule $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$ .

Identifie le type de fonction

$x^2 - 2x + 3$ est un polynôme, défini pour tout $x$ → La substitution directe fonctionne

Remplace $x$ par $3$

$3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ → $6$

Écris la limite

$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ → La limite vaut $6$

Réponse: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ . Sur le premier graphique, le point $(3, 6)$ est sur la courbe et les valeurs du tableau se rapprochent de $6$ .

Erreurs courantes

S'arrêter à $\frac{0}{0}$ et répondre "la limite vaut 0", "1" ou "n'existe pas"

Pourquoi c'est faux: $\frac{0}{0}$ n'est pas un nombre ni une réponse finale. Cela dit seulement que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun qui cache la vraie valeur.

Correct: Vois $\frac{0}{0}$ comme un signal : factorise et simplifie (ou utilise la quantité conjuguée), puis remplace à nouveau. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$ .

Simplifier des termes au lieu de facteurs, comme $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Pourquoi c'est faux: Tu ne peux simplifier que par un facteur qui multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. Un $x$ dans une somme n'est pas un tel facteur.

Correct: Factorise d'abord : $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , donc la limite quand $x \to 3$ vaut $6$ .

Traiter $\frac{3}{0}$ comme $\frac{0}{0}$ et essayer de factoriser

Pourquoi c'est faux: Quand seul le dénominateur est nul, il n'y a pas de facteur commun à simplifier. Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut près de ce $x$ .

Correct: $\frac{\text{non nul}}{0}$ signifie pas de limite finie (asymptote verticale). Seul $\frac{0}{0}$ demande de factoriser ou d'utiliser la quantité conjuguée.

Multiplier seulement le numérateur par la quantité conjuguée

Pourquoi c'est faux: Multiplier une seule partie change la valeur de la fraction. On a le droit de multiplier par $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ , qui vaut 1.

Correct: Multiplie le numérateur ET le dénominateur par la quantité conjuguée, et laisse le dénominateur factorisé pour pouvoir simplifier par $(x - 4)$ .

Pourquoi c'est important

Dans les leçons « Lire une limite sur un graphique » et « Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs », tu as estimé des limites à l'œil. La substitution directe donne la valeur exacte en quelques secondes, et c'est la méthode que tu utiliseras le plus souvent en analyse.

Dérivées : toute dérivée commence par une limite de la forme $\frac{0}{0}$ , par exemple $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ . Factoriser et simplifier est exactement la façon de la calculer.
Physique : la vitesse instantanée est la limite de vitesses moyennes, obtenue en factorisant un taux d'accroissement.
Continuité : une fonction est continue en $a$ exactement quand la substitution directe y fonctionne (leçon « Continuité »).
Trous dans les courbes : le facteur simplifié montre où une fonction rationnelle a un trou, et la limite donne sa hauteur.

Savoir quand tu peux remplacer, et que faire quand tu obtiens

\frac{0}{0}

, t'évite des réponses fausses comme "la limite vaut 0" ou "la limite n'existe pas".

Applications dans le monde réel

Vitesse instantanée

Un compteur de vitesse affiche la vitesse à un instant. En physique, on l'obtient comme limite de vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts, et cette limite commence toujours par 0/0.

Exemple:

Un chariot se déplace de sorte que sa position est $s(t) = t^2 + 3t$ mètres après $t$ secondes. Sa vitesse moyenne entre la seconde 2 et l'instant $t$ est $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ . En factorisant, on obtient $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ .

1Essaie par toi-même

La position du chariot est $s(t) = t^2 + 3t$ mètres. Sa vitesse à l'instant $t = 2$ secondes est $\lim_{t \to 2} \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ .

Quelle est la vitesse du chariot à $t = 2$ secondes, en mètres par seconde ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Factorise, simplifie et remplace : la vitesse est

Carreaux carrés qui grandissent

Les designers et les ingénieurs se demandent à quelle vitesse une aire change quand une longueur change. Pour un carré de côté $x$, l'aire est $x^2$, et le taux de variation pour une taille donnée est une limite de la forme 0/0.

Exemple:

Un carreau carré de côté $x$ cm a une aire $A(x) = x^2$ cm². Quand le côté passe de 5 cm à $x$ cm, l'aire varie en moyenne de $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² par cm de côté.

2Essaie par toi-même

La vitesse à laquelle l'aire du carreau augmente quand le côté mesure exactement 5 cm est $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

De combien de cm² par cm l'aire augmente-t-elle pour un côté de 5 cm ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Factorise $x^2 - 25$ , simplifie et remplace : le taux est

Vitesse de croissance d'une plante

Les biologistes modélisent la croissance avec des fonctions racine carrée. La vitesse de croissance un jour donné est une limite qui demande la quantité conjuguée.

Exemple:

Une jeune pousse mesure $h(t) = \sqrt{t}$ dm après $t$ jours. Sa croissance moyenne entre le jour 9 et le jour $t$ est $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm par jour.

3Essaie par toi-même

La vitesse de croissance le jour 9 est $\lim_{t \to 9} \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ . En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{t} + 3$ , elle devient $\lim_{t \to 9} \frac{1}{\sqrt{t} + 3}$ .

Quelle est la vitesse de croissance le jour 9, en dm par jour ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace dans l'expression simplifiée : la vitesse est

Points clés

1Pour les polynômes, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : il suffit de remplacer
2Pour les fonctions rationnelles, remplace quand le dénominateur ne s'annule pas en $x = a$
3Les opérations sur les limites permettent de découper une limite en sommes, produits, quotients (limite du dénominateur non nulle) et puissances
4 $\frac{0}{0}$ est une forme indéterminée, jamais la réponse : transforme d'abord l'expression
5Factorise et simplifie par le facteur commun $(x - a)$ , ou multiplie par la quantité conjuguée s'il y a une racine, puis remplace à nouveau
6 $\frac{\text{non nul}}{0}$ signifie pas de limite finie (asymptote verticale), pas un trou

Questions fréquentes

Pourquoi puis-je simplifier par $(x - 3)$ alors qu'il vaut 0 en $x = 3$ ?

Une limite quand

x \to 3

n'utilise que des valeurs de

x

proches de 3, jamais

x = 3

lui-même. Pour toutes ces valeurs,

x - 3 \neq 0

, donc simplifier est permis. Les deux expressions sont égales partout sauf en

x = 3

, et ce point isolé ne compte pas pour la limite.

Si j'obtiens $\frac{0}{0}$ , la limite existe-t-elle ?

Tu ne peux pas encore le dire.

\frac{0}{0}

peut cacher n'importe quelle valeur :

\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2

\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0

. Simplifie d'abord, décide ensuite.

Quand dois-je utiliser la quantité conjuguée plutôt que factoriser ?

Quand le 0 vient d'une différence avec une racine carrée, comme

\sqrt{x} - 2

\sqrt{x + 4} - 2

. Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée (mêmes termes, signe opposé au milieu), car

(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4

ne contient plus de racine.

La limite est-elle la même chose que la valeur de la fonction ?

Pour les polynômes et pour les fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas, oui : c'est exactement ce que dit la substitution directe. En un trou, la valeur de la fonction n'existe pas, mais la limite si (les leçons « Continuité » et « Types de discontinuités » approfondissent ce point).

Glossaire

Substitution directe: Trouver $\lim_{x \to a} f(x)$ en calculant $f(a)$ ; fonctionne pour les polynômes et pour les fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas en $a$
Opérations sur les limites: Règles qui découpent la limite d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance en limites de ses parties
Forme indéterminée 0/0: Le résultat $\frac{0}{0}$ après substitution ; il ne donne pas de valeur et signifie qu'il faut transformer l'expression
Quantité conjuguée: La quantité conjuguée de $\sqrt{x} - b$ est $\sqrt{x} + b$ ; leur produit $x - b^2$ ne contient pas de racine
Multiplier par la quantité conjuguée: Multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée pour faire disparaître une racine d'une différence

Carte des formules

Substitution directe

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Pour les polynômes, et pour les fonctions rationnelles quand le dénominateur ne s'annule pas en $a$

Limite d'un quotient

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

Seulement si $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Factoriser et simplifier

\frac{(x - a) \cdot p(x)}{(x - a) \cdot q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

À utiliser quand la substitution donne $\frac{0}{0}$, puis remplacer à nouveau

Produit par la quantité conjuguée

(\sqrt{x} - b)(\sqrt{x} + b) = x - b^2

Pour lever une forme 0/0 avec une racine carrée

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Erreurs courantes

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Vitesse de croissance d'une plante

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Factoriser et simplifier

Produit par la quantité conjuguée

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