Représenter graphiquement une fonction logarithme

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel est l'ensemble de définition de $y = \log_3 x$ ?
1. a) $x > 3$
2. b) $x \geq 0$
3. c) $x > 0$
4. d) $x < 0$
Réponse: $x > 0$
$3^y$ est toujours positif, donc $x = 3^y$ doit être positif. L'ensemble de définition est $x > 0$ ; $x = 0$ n'en fait pas partie car $\log_3 0$ n'existe pas.
2.
Le point $(8, y)$ est sur la courbe de $y = \log_2 x$ . Combien vaut $y$ ?
Réponse: 3
$2^3 = 8$ , donc $\log_2 8 = 3$ et le point est $(8, 3)$ .
3.
Complète le tableau de valeurs de $y = \log_3 x$ pour $x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9$ .
Réponse: -1, 0, 1, 2
1. Combien vaut $y$ pour $x = \frac{1}{3}$ ? -1
2. Combien vaut $y$ pour $x = 1$ ? 0
3. Combien vaut $y$ pour $x = 3$ ? 1
4. Combien vaut $y$ pour $x = 9$ ? 2
4.
Quelle est l'asymptote verticale de $y = \log_2(x + 4)$ ?
1. a) $x = -4$
2. b) $x = 4$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = -4$
Réponse: $x = -4$
L'argument $x + 4$ vaut $0$ en $x = -4$ . La courbe de $y = \log_2 x$ est décalée de 4 unités vers la gauche, donc l'asymptote est $x = -4$ .
5.
Pour quelle valeur de $x$ la courbe de $y = \log_5 x$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
Réponse: 1
$\log_5 x = 0$ signifie $x = 5^0 = 1$ . Toute courbe $y = \log_b x$ coupe l'axe des abscisses en $(1, 0)$ .
6.
Le point $(2, 9)$ est sur $y = 3^x$ . Trouve le point correspondant sur $y = \log_3 x$ .
Réponse: (9, 2)
1. Quelle est l'abscisse du point symétrique ? 9
2. Quelle est l'ordonnée du point symétrique ? 2
3. Vérification : combien vaut $\log_3 9$ ? 2
7.
Quelle fonction a une courbe décroissante ?
1. a) $y = \ln x$
2. b) $y = \log_5 x$
3. c) $y = \log_{10} x$
4. d) $y = \log_{1/3} x$
Réponse: $y = \log_{1/3} x$
$\log_{1/3} x$ a pour base $\frac{1}{3}$ , comprise entre 0 et 1, donc sa courbe est décroissante. Les bases $5$ , $10$ et $e$ sont supérieures à 1, ces courbes sont croissantes.
8.
La courbe de $y = \log_3(x - 7) + 2$ a pour asymptote verticale $x = c$ . Combien vaut $c$ ?
Réponse: 7
L'argument $x - 7$ vaut $0$ en $x = 7$ , donc l'asymptote est $x = 7$ . Le $+2$ décale seulement la courbe vers le haut et ne change pas l'asymptote.
9.
Trace $y = \log_2(x - 5)$ : trouve l'asymptote et deux points clés.
Réponse: $x = 5$ ; $(6, 0)$ , $(7, 1)$
1. L'asymptote est $x = ?$ 5
2. Pour quel $x$ a-t-on $y = 0$ ? 6
3. Pour quel $x$ a-t-on $y = 1$ ? 7
10.
Sur la courbe de $y = \log_{1/2} x$ , de combien varie $y$ quand $x$ passe de $\frac{1}{2}$ à $4$ ?
Réponse: -3
1. Combien vaut $\log_{1/2} \frac{1}{2}$ ? 1
2. Combien vaut $\log_{1/2} 4$ ? -2
3. Quelle est la variation de $y$ (fin moins début) ? -3
11.
La courbe de $y = \log_4 x$ est la symétrique de quelle courbe par rapport à la droite $y = x$ ?
1. a) $y = 4x$
2. b) $y = 4^x$
3. c) $y = x^4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$
Réponse: $y = 4^x$
$y = \log_4 x$ signifie $4^y = x$ , c'est donc la réciproque de $y = 4^x$ . Deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à $y = x$ .
12.
Combien vaut $y$ sur la courbe de $y = \log_2(x + 1) - 3$ pour $x = 7$ ?
Réponse: 0
$y = \log_2 8 - 3 = 3 - 3 = 0$ . Donc $(7, 0)$ est l'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses.
13.
La courbe de $y = \log_2 x$ est translatée en $y = \log_2(x + 3) - 4$ . Où vont les points clés $(1, 0)$ et $(2, 1)$ ?
Réponse: $(-2, -4)$ , $(-1, -3)$
1. Nouvelle abscisse de $(1, 0)$ ? -2
2. Nouvelle ordonnée de $(1, 0)$ ? -4
3. Nouvelle abscisse de $(2, 1)$ ? -1
4. Nouvelle ordonnée de $(2, 1)$ ? -3
14.
Quelle fonction a pour asymptote verticale $x = 2$ et passe par $(3, -1)$ ?
1. a) $y = \log_2(x - 2) + 1$
2. b) $y = \log_2(x - 2) - 1$
3. c) $y = \log_2(x + 2) - 1$
4. d) $y = \log_2(x - 1) - 1$
Réponse: $y = \log_2(x - 2) - 1$
L'asymptote $x = 2$ demande l'argument $x - 2$ ; il reste $\log_2(x - 2) - 1$ et $\log_2(x - 2) + 1$ . En $x = 3$ : $\log_2 1 - 1 = -1$ , mais $\log_2 1 + 1 = 1$ . La réponse est $y = \log_2(x - 2) - 1$ .
15.
Trouve l'intersection de $y = \log_3(x - 1) - 2$ avec l'axe des abscisses. Entre la valeur de $x$ .
Réponse: 10
$\log_3(x - 1) = 2$ signifie $x - 1 = 3^2 = 9$ , donc $x = 10$ . L'intersection avec l'axe des abscisses est $(10, 0)$ .
16.
Trace $y = -\log_3(x + 2)$ : trouve l'asymptote, l'intersection avec l'axe des abscisses et deux autres points.
Réponse: $x = -2$ ; $(-1, 0)$ , $(7, -2)$ , $\left(-\frac{5}{3}, 1\right)$
1. L'asymptote est $x = ?$ -2
2. Pour quel $x$ a-t-on $y = 0$ ? -1
3. Combien vaut $y$ pour $x = 7$ ? -2
4. Combien vaut $y$ pour $x = -\frac{5}{3}$ ? 1
17.
Une courbe $y = \log_b(x - h) + k$ a pour asymptote $x = 1$ et passe par $(2, 3)$ et $(6, 4)$ . Trouve $h$ , $k$ et $b$ .
Réponse: $y = \log_5(x - 1) + 3$
1. Combien vaut $h$ ? 1
2. Combien vaut $k$ ? 3
3. Combien vaut $b$ ? 5
18.
Étudie $y = \log_2(6 - 2x)$ : trouve l'asymptote, un point et l'intersection avec l'axe des abscisses.
Réponse: $x = 3$ ; $(1, 2)$ , $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
1. Résous $6 - 2x = 0$ . L'asymptote est $x = ?$ 3
2. Combien vaut $y$ pour $x = 1$ ? 2
3. Pour quel $x$ a-t-on $y = 0$ ? (Écris un nombre décimal.) 2.5