Guide de l'enseignant: Représenter graphiquement une fonction logarithme

Apprends à tracer une fonction logarithme : points clés, ensemble de définition, ensemble image, asymptote verticale, symétrique de l'exponentielle et translations.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Tracer $y = \log_b x$ pour $b > 1$ et pour $0 < b < 1$ à l'aide des points clés
Donner l'ensemble de définition, l'ensemble image, l'asymptote verticale et les intersections avec les axes d'une fonction logarithme
Expliquer la courbe de $y = \log_b x$ comme la symétrique de $y = b^x$ par rapport à $y = x$
Tracer des translations et des symétries de $y = \log_b x$ , par exemple $y = -\log_3(x + 2)$
Retrouver l'équation $y = \log_b(x - h) + k$ à partir d'une asymptote et de deux points

Prérequis

• Définition du logarithme : $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Courbes des fonctions exponentielles $y = b^x$
• Translations et symétries de courbes de fonctions
• Logarithme décimal (base 10) et Logarithme népérien (ln)

Amorces de discussion

1. Pourquoi la courbe de $y = \log_2 x$ ne peut-elle jamais atteindre l'axe des ordonnées, alors qu'elle s'en approche beaucoup ?
2. Pour les grandes valeurs de x, la courbe paraît presque plate. S'arrête-t-elle un jour de monter ? Comment pourrais-tu convaincre un ami ?
3. Que deviennent les points $(1, 0)$ et $(b, 1)$ quand tu changes $h$ et $k$ ?
4. Pourquoi la symétrie par rapport à $y = x$ transforme-t-elle une asymptote horizontale en asymptote verticale ?

Idées reçues courantes

$y = \log_b(x - h)$ décale la courbe vers la gauche quand $h$ est positif

Remédiation: Fais résoudre $x - h = 1$ pour trouver où la courbe atteint $y = 0$ : pour $h = 3$ , c'est $x = 4$ , trois unités à droite de $(1, 0)$ .

La courbe du logarithme a une asymptote horizontale parce qu'elle paraît plate

Remédiation: Construis un tableau de valeurs avec $x = 2, 4, 8, \dots, 1024$ pour $y = \log_2 x$ : les valeurs $1, 2, 3, \dots, 10$ augmentent de $1$ à chaque fois.

Une base entre 0 et 1 ne donne pas de logarithme ou n'est pas définie

Remédiation: Calcule avec la définition $\log_{1/2} 4 = -2$ et $\log_{1/2} \frac{1}{2} = 1$ et place les points : la courbe est une image décroissante de $y = \log_2 x$ dans un miroir.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par $y = \log_2 x$ avec un tableau de puissances de 2 uniquement
• Utiliser les trois points clés $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(b, 1)$ comme routine fixe pour chaque courbe
• Ne déplacer qu'un élément à la fois : d'abord $k$ , puis $h$

Pour les élèves au niveau:

• Tracer des fonctions comme $y = \log_3(x + 2) - 1$ et donner l'ensemble de définition et l'asymptote
• Comparer $y = \log_2 x$ et $y = \log_{1/2} x$ dans le traceur de courbes
• Retrouver l'équation d'une courbe logarithme à partir de son asymptote et de deux points

Pour les élèves avancés:

• Tracer $y = \log_2(6 - 2x)$ et expliquer pourquoi l'ensemble de définition est $x < 3$
• Étudier $y = a \log_b x$ pour différentes valeurs de $a$ et comparer avec un changement de base
• Démontrer que $y = \log_{1/b} x$ est la symétrique de $y = \log_b x$ par rapport à l'axe des abscisses

Alignement aux standards

HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Représenter des fonctions exponentielles et logarithmes en montrant les intersections avec les axes et le comportement aux bornes
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur la courbe du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k)
HSF.BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre exponentielles et logarithmes

Ressources de la leçon

visualExplorateur de logarithmes
Les curseurs $b$ , $h$ et $k$ déplacent en direct la courbe, l'asymptote et les deux points clés
activityPliage selon y = x
Les élèves tracent $y = 2^x$ sur du papier calque, plient selon $y = x$ et décalquent la courbe du logarithme
worksheetAsymptote, ensemble de définition, points
Dix fonctions logarithmes transformées : trouver l'asymptote, l'ensemble de définition et deux points clés, puis esquisser

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fonction logarithme s'écrit

f(x) = \log_b x

avec une base

b > 0

b \neq 1

. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle

y = b^x

y = \log_b x

signifie

b^y = x

Points clés (ils viennent directement de la définition) :

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ car $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ car $b^0 = 1$
$(b, 1)$ car $b^1 = b$

**Propriétés de la courbe de

y = \log_b x

:**

Ensemble de définition : $x > 0$ (on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre positif)
Ensemble image : tous les nombres réels
Asymptote verticale : la droite $x = 0$ (l'axe des ordonnées) ; la courbe s'en rapproche de plus en plus sans jamais la toucher
Intersection avec l'axe des abscisses : $(1, 0)$ ; il n'y a pas d'intersection avec l'axe des ordonnées
Si $b > 1$ , la courbe est croissante ; si $0 < b < 1$ , elle est décroissante

La courbe de

y = \log_b x

est la symétrique de la courbe de

y = b^x

par rapport à la droite

y = x

: chaque point

(p, q)

y = b^x

devient le point

(q, p)

Transformations :

y = \log_b(x - h) + k

décale la courbe de $h$ unités vers la droite (vers la gauche si $h < 0$ ) et de $k$ unités vers le haut (vers le bas si $k < 0$ )
asymptote verticale $x = h$ , ensemble de définition $x > h$ , points clés $(1 + h, k)$ et $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ est la symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; $y = \log_b(-x)$ est la symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (ensemble de définition $x < 0$ )

Dans le graphique interactif, déplace les curseurs

b

h

k

et observe l'asymptote et les deux points clés bouger.

Exemples résolus

Trace $y = \log_2 x$ et donne son ensemble de définition, son ensemble image et son asymptote.

Choisis des valeurs de x qui sont des puissances de 2

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , car $\log_2$ d'une puissance de 2 se trouve facilement → Six valeurs de x faciles

Calcule chaque valeur de y

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Place les points et trace l'asymptote

Place $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ et trace la droite en pointillés $x = 0$ → Points et asymptote $x = 0$

Relie-les par une courbe régulière

La courbe plonge près de l'axe des ordonnées sans le toucher et monte lentement vers la droite → Courbe croissante passant par $(1, 0)$

Réponse: Ensemble de définition $x > 0$ , ensemble image tous les réels, asymptote verticale $x = 0$ , intersection avec l'axe des abscisses $(1, 0)$ .

Erreurs courantes

Décaler $y = \log_2(x - 3)$ de trois unités vers la gauche

Pourquoi c'est faux: Le signe moins fait penser à un décalage vers la gauche, mais l'argument $x - 3$ doit être positif, ce qui donne $x > 3$ : toute la courbe est à droite de $x = 3$ .

Correct: $y = \log_b(x - h)$ décale la courbe de $h$ unités vers la droite. $y = \log_2(x - 3)$ a pour asymptote $x = 3$ .

Faire toucher ou traverser l'axe des ordonnées par la courbe

Pourquoi c'est faux: $\log_b 0$ et le logarithme d'un nombre négatif n'existent pas, car $b^y$ est toujours positif.

Correct: La courbe de $y = \log_b x$ se rapproche de plus en plus de $x = 0$ sans jamais l'atteindre. L'ensemble de définition est $x > 0$ .

Penser que la courbe se stabilise à une certaine hauteur

Pourquoi c'est faux: La courbe monte lentement et paraît plate, mais elle ne s'arrête jamais de monter : $\log_2 1024 = 10$ et $\log_2 1048576 = 20$ .

Correct: Une courbe logarithme n'a pas d'asymptote horizontale. L'ensemble image est l'ensemble de tous les réels.

Garder l'ensemble de définition $x > 0$ après une translation horizontale

Pourquoi c'est faux: L'ensemble de définition vient de l'argument, pas de $x$ tout seul.

Correct: Pour $y = \log_3(x + 5)$ , l'argument $x + 5$ doit être positif, donc l'ensemble de définition est $x > -5$ .

Pourquoi c'est important

Les courbes de fonctions logarithmes montrent comment une grandeur augmente quand chaque nouveau pas demande beaucoup plus d'entrée :

Son : un sonomètre affiche $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ décibels ; multiplier l'intensité par $10$ n'ajoute que $10$ dB, c'est pour cela que la courbe est si plate.
Chimie : $\text{pH} = -\log[H^+]$ est une courbe logarithme retournée : plus d'ions hydrogène donnent un pH plus petit.
Informatique : la recherche dichotomique demande environ $\log_2 n$ étapes pour $n$ éléments ; doubler la liste n'ajoute qu'une étape.
Séismes : la magnitude sur l'échelle de Richter augmente de $1$ chaque fois que l'amplitude est multipliée par $10$ .

Lire ces courbes, c'est repérer trois choses d'un coup d'œil : où se trouve l'asymptote, quelles valeurs sont permises (ensemble de définition) et à quelle vitesse la courbe monte. Cette leçon s'appuie sur « Définition du logarithme » et te prépare à « Résoudre des équations logarithmiques ».

Applications dans le monde réel

Niveau sonore en décibels

Un sonomètre affiche $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ décibels, où $\frac{I}{I_0}$ indique combien de fois le son est plus fort que le son le plus faible que l'on puisse entendre. La courbe est une courbe logarithme étirée : très plate pour les grandes intensités.

Exemple:

Un son $100$ fois plus fort que $I_0$ donne $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un son encore $10$ fois plus fort ne donne que $30$ dB.

1Essaie par toi-même

Dans une bibliothèque calme, le son est $1000$ fois plus fort que le son audible le plus faible, donc $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

Quel est le niveau sonore $L$ en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $L = 10 \log(1000)$ :

Recherche dichotomique en informatique

La recherche dichotomique trouve un nom dans une liste triée en coupant la liste en deux encore et encore. Pour $n$ noms, il faut environ $\log_2 n$ partages, donc la courbe du nombre d'étapes est la courbe de $y = \log_2 x$.

Exemple:

Une liste de $8$ noms demande $\log_2 8 = 3$ partages : $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Essaie par toi-même

Une liste de contacts triée contient $1024$ noms. Chaque étape de la recherche dichotomique coupe la liste en deux.

Combien de partages faut-il pour arriver à un seul nom ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\log_2(1024)$ :

L'échelle de pH en chimie

On mesure l'acidité avec $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. Le signe moins retourne la courbe logarithme par rapport à l'axe des abscisses, donc le pH baisse quand la concentration augmente.

Exemple:

Le jus de citron a $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , donc $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Essaie par toi-même

Un échantillon d'eau de pluie a $[H^+] = 0{,}0001$ .

Quel est son pH ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Points clés

1 $y = \log_b x$ est la réciproque de $y = b^x$ : sa courbe est la symétrique de celle de $y = b^x$ par rapport à la droite $y = x$
2Points clés de $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ et $(b, 1)$
3Ensemble de définition $x > 0$ , ensemble image tous les réels, asymptote verticale $x = 0$ , pas d'intersection avec l'axe des ordonnées
4Pour $b > 1$ la courbe est croissante ; pour $0 < b < 1$ elle est décroissante
5 $y = \log_b(x - h) + k$ décale la courbe de $h$ vers la droite et de $k$ vers le haut : asymptote $x = h$ , ensemble de définition $x > h$
6Un signe moins devant le logarithme donne la symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; $\log_b(-x)$ donne la symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Questions fréquentes

Pourquoi la courbe ne touche-t-elle jamais l'axe des ordonnées ?

Sur l'axe des ordonnées,

x = 0

, et

\log_b 0

demanderait

b^y = 0

. Une base positive élevée à n'importe quelle puissance reste positive, donc aucun

y

ne convient. Près de

x = 0

, les valeurs deviennent de très grands nombres négatifs (pour

b > 1

), c'est pourquoi la courbe plonge le long de l'asymptote.

La courbe du logarithme a-t-elle une asymptote horizontale comme l'exponentielle ?

Non. La courbe exponentielle a l'asymptote horizontale

y = 0

; après la symétrie par rapport à

y = x

, elle devient l'asymptote verticale

x = 0

. La courbe du logarithme continue de monter (pour

b > 1

), simplement très lentement.

À quoi ressemblent les courbes de $\log x$ et de $\ln x$ ?

Les deux ont une base supérieure à 1 (

10

e \approx 2{,}718

), donc les deux sont croissantes, passent par

(1, 0)

et ont l'asymptote

x = 0

\ln x

passe par

(e, 1)

\log x

par

(10, 1)

, donc

\ln x

monte plus vite.

Comment savoir si une courbe logarithme est croissante ou décroissante ?

Regarde la base. Si

b > 1

, la courbe est croissante ; si

0 < b < 1

, elle est décroissante. Un signe moins devant, comme dans

y = -\log_2 x

, transforme aussi une courbe croissante en courbe décroissante.

Glossaire

Fonction logarithme: Une fonction $f(x) = \log_b x$ avec $b > 0$ , $b \neq 1$ ; elle donne l'exposant auquel il faut élever $b$ pour obtenir $x$
Asymptote verticale: Une droite verticale $x = h$ dont la courbe se rapproche de plus en plus sans la toucher ; pour $y = \log_b x$ , c'est $x = 0$
Ensemble de définition: Toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie ; pour $y = \log_b(x - h)$ , c'est $x > h$
Ensemble image: Toutes les valeurs de y prises par la fonction ; pour toute fonction logarithme, ce sont tous les nombres réels
Fonction réciproque: Une fonction qui défait une autre fonction ; sa courbe est la symétrique par rapport à $y = x$ , comme $y = \log_b x$ pour $y = b^x$
Points clés: Des points faciles à placer : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ et $(b, 1)$ pour $y = \log_b x$

Carte des formules

Fonction de référence

y = \log_b x \iff b^y = x

Base $b > 0$, $b \neq 1$ ; ensemble de définition $x > 0$, ensemble image tous les réels

Points clés

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Place d'abord ces trois points

Fonction transformée

y = \log_b(x - h) + k

Asymptote $x = h$, ensemble de définition $x > h$, points clés $(1 + h, k)$ et $(b + h, 1 + k)$

Symétries

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

Par rapport à l'axe des abscisses et par rapport à l'axe des ordonnées (ensemble de définition $x < 0$)

Réciproque de l'exponentielle

(p, q) \text{ sur } y = b^x \iff (q, p) \text{ sur } y = \log_b x

Symétrie par rapport à la droite $y = x$

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Niveau sonore en décibels

Recherche dichotomique en informatique

L'échelle de pH en chimie

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Fonction de référence

Points clés

Fonction transformée

Symétries

Réciproque de l'exponentielle

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