Problèmes concrets avec les logarithmes

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
On compare un séisme de magnitude $6$ à un séisme de magnitude $4$ sur l'échelle de Richter. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ?
1. a)20
2. b)1000
3. c)2
4. d)100
Réponse: 100
Le rapport vaut $10^{6 - 4} = 10^2 = 100$ . Une différence de $2$ signifie deux facteurs $10$ , pas "2 fois".
2.
Une solution a une concentration en ions hydrogène $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L. Quel est son pH ?
1. a) $0{,}00001$
2. b) $10^5$
3. c) $-5$
4. d) $5$
Réponse: $5$
$\text{pH} = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$ . Le signe moins de la formule rend le pH positif.
3.
Tu places 1000 € à $5\,\%$ d'intérêts composés une fois par an. Quelle expression donne la durée $t$ , en années, au bout de laquelle l'argent a doublé ?
1. a) $\frac{\ln 2000}{\ln 1000}$
2. b) $\frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$
3. c) $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
4. d) $2 \cdot \ln 1{,}05$
Réponse: $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
$1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ donne $1{,}05^t = 2$ , donc $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ et $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ . Le coefficient multiplicateur est $1{,}05$ , pas le taux $0{,}05$ .
4.
Le son A a un niveau de $90$ dB et le son B un niveau de $60$ dB. Combien de fois le son A est-il plus intense que le son B ?
1. a)300
2. b)1000
3. c)3
4. d)30
Réponse: 1000
La différence est de $30$ dB, donc le rapport vaut $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ .
5.
Une substance perd $8\,\%$ de sa masse chaque année. Quelle égalité donne le nombre d'années $t$ au bout duquel il n'en reste que la moitié ?
1. a) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}08}$
2. b) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}08}$
3. c) $t = 0{,}5 \cdot \ln 0{,}92$
4. d) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Réponse: $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Chaque année il reste $92\,\%$ , donc le coefficient multiplicateur est $0{,}92$ : $0{,}92^t = 0{,}5$ , $t \ln 0{,}92 = \ln 0{,}5$ et $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92} \approx 8{,}31$ ans.
6.
Une solution a $[H^+] = 0{,}001$ mol/L. Quel est son pH ? (La réponse est un nombre entier.)
Réponse: 3
$0{,}001 = 10^{-3}$ , donc $\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3$ .
7.
Un son a une intensité $I = 10^7 \cdot I_0$ . Quel est son niveau $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ en décibels ? (La réponse est un nombre entier.)
Réponse: 70
$L = 10 \log(10^7) = 10 \times 7 = 70$ dB.
8.
Calcule le pH d'une solution telle que $[H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6}$ mol/L. Arrondis à deux décimales.
Réponse: 5.60
$\log(2{,}5 \times 10^{-6}) = \log 2{,}5 - 6 \approx 0{,}39794 - 6 = -5{,}60206$ , donc $\text{pH} \approx 5{,}60$ .
9.
On compare un séisme de magnitude $7{,}4$ à un séisme de magnitude $5{,}6$ . Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ? Arrondis à l'unité.
Réponse: 63
$10^{7{,}4 - 5{,}6} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}096$ , soit $63$ arrondi à l'unité.
10.
Une ville compte $25\,000$ habitants et sa population augmente de $3\,\%$ par an. Au bout de combien d'années atteindra-t-elle $40\,000$ habitants ? Arrondis à une décimale.
Réponse: 15.9
$1{,}03^t = \frac{40\,000}{25\,000} = 1{,}6$ , donc $t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}470004}{0{,}029559} \approx 15{,}90$ , soit $15{,}9$ ans arrondi.
11.
Le jus de citron a une concentration en ions hydrogène $[H^+] = 0{,}01$ mol/L. Calcule son pH.
Réponse: 2
1. Écris $0{,}01$ sous forme de puissance de 10 : $0{,}01 = 10^{n}$ . Que vaut $n$ ? -2
2. Combien vaut $\log(0{,}01)$ ? -2
3. Quel est le pH, $-\log(0{,}01)$ ? 2
12.
Un sèche-cheveux produit un son $1\,000\,000$ de fois plus intense que le seuil d'audibilité. Calcule son niveau en décibels.
Réponse: 60
1. Écris $1\,000\,000 = 10^{n}$ . Que vaut $n$ ? 6
2. Combien vaut $\log(1\,000\,000)$ ? 6
3. Combien vaut $L = 10 \log(1\,000\,000)$ en dB ? 60
13.
Une tasse de café a un pH de $5$ . Calcule sa concentration en ions hydrogène $[H^+]$ en mol/L, sous forme de nombre décimal.
Réponse: 0.00001
1. À partir de $-\log[H^+] = 5$ , combien vaut $\log[H^+]$ ? -5
2. Donc $[H^+] = 10^{k}$ . Que vaut $k$ ? -5
3. Écris $10^{-5}$ sous forme de nombre décimal. 0.00001
14.
Une circulation dense mesure $85$ dB et une conversation normale $60$ dB. Combien de fois le bruit de la circulation est-il plus intense ? Arrondis à l'unité.
Réponse: 316
1. Quelle est la différence en décibels ? 25
2. Le rapport d'intensités vaut $10^{x}$ avec $x = \frac{25}{10}$ . Que vaut $x$ ? 2.5
3. Calcule $10^{2{,}5}$ et arrondis à l'unité. 316
15.
On place de l'argent à $6\,\%$ d'intérêts composés une fois par an. Combien d'années complètes faut-il pour que le solde ait au moins doublé ?
Réponse: 12
1. Par quel coefficient multiplicateur le solde est-il multiplié chaque année ? 1.06
2. Calcule $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06}$ , arrondi à deux décimales. 11.90
3. Les intérêts sont versés une fois par an. Combien d'années complètes faut-il ? 12
16.
Un échantillon de laboratoire contient $200$ mg d'une substance dont la demi-vie est de $5$ heures. Au bout de combien d'heures ne restera-t-il que $20$ mg ? Arrondis à une décimale.
Réponse: 16.6
1. Dans $200 \cdot 0{,}5^{t/5} = 20$ , combien vaut $0{,}5^{t/5} = \frac{20}{200}$ ? 0.1
2. Calcule $\frac{t}{5} = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}$ , arrondi à deux décimales. 3.32
3. Multiplie par 5. Que vaut $t$ en heures, arrondi à une décimale ? 16.6
17.
Tu places 3000 € à $4\,\%$ d'intérêts composés en continu, donc $A = 3000e^{0{,}04t}$ . Au bout de combien d'années le solde atteint-il 4500 € ? Arrondis à deux décimales.
Réponse: 10.14
1. Divise les deux membres par 3000 : $e^{0{,}04t} = \frac{4500}{3000}$ . Combien vaut le membre de droite ? 1.5
2. Applique ln : $0{,}04t = \ln 1{,}5$ . Combien vaut $\ln 1{,}5$ , arrondi à quatre décimales ? 0.4055
3. Divise par $0{,}04$ . Que vaut $t$ , arrondi à deux décimales ? 10.14
18.
Une voiture achetée $24\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années complètes vaut-elle pour la première fois moins de $6000$ € ?
Réponse: 9
1. Combien vaut $\frac{6000}{24\,000}$ ? 0.25
2. Par quel coefficient la valeur est-elle multipliée chaque année ? 0.85
3. Résous $0{,}85^t = 0{,}25$ : calcule $t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85}$ , arrondi à deux décimales. 8.53
4. La valeur baisse une fois par an. Au bout de combien d'années complètes passe-t-elle pour la première fois sous la valeur cible ? 9