Guide de l'enseignant: Problèmes concrets avec les logarithmes

Utilise les logarithmes pour résoudre de vrais problèmes : pH, décibels, magnitude des séismes, temps de doublement, demi-vie et croissance d'un placement.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Calculer un pH, un niveau sonore en décibels et des comparaisons sur l'échelle de Richter avec le logarithme décimal
Revenir d'une échelle logarithmique à la grandeur de départ avec des puissances de 10
Résoudre des équations de croissance et de décroissance pour trouver une durée en appliquant un logarithme aux deux membres
Déterminer des temps de doublement et des durées de demi-vie et les interpréter dans le contexte
Arrondir comme demandé et décider quand une situation exige des périodes entières

Prérequis

• Logarithme décimal (base 10)
• Logarithme népérien (ln)
• Propriété de la puissance des logarithmes
• Résoudre des équations logarithmiques
• Croissance et décroissance exponentielles, y compris les intérêts composés

Amorces de discussion

1. Pourquoi les scientifiques utilisent-ils une échelle logarithmique pour le son au lieu de mesurer directement l'intensité ?
2. Un journal annonce qu'un séisme était "seulement un point plus fort". Est-ce une petite différence ?
3. Ta calculatrice affiche 14,21 ans. Pourquoi la vraie réponse pourrait-elle être 15 ans ?
4. Comment pourrais-tu vérifier un résultat de demi-vie sans logarithmes ?
5. Dans quelles autres situations une quantité augmente-t-elle du même pourcentage à chaque période ?

Idées reçues courantes

Une échelle logarithmique se comporte comme une échelle ordinaire (un pH de 4 serait "deux fois plus acide" qu'un pH de 8)

Remédiation: Construis un tableau : pH 8, 7, 6, 5, 4 avec $[H^+] = 10^{-8}, \dots, 10^{-4}$ . Les élèves voient que chaque pas est un facteur 10, donc pH 4 par rapport à pH 8, c'est $10^4 = 10\,000$ fois.

Appliquer le logarithme à un seul membre de l'équation, ou "simplifier" la base

Remédiation: Insiste sur le fait qu'une équation ne reste équilibrée que si les deux membres subissent la même opération. Écris explicitement $\ln(\text{gauche}) = \ln(\text{droite})$ avant d'utiliser la propriété de la puissance.

Le résultat décimal est toujours la réponse finale

Remédiation: Propose des contextes à périodes entières (intérêts annuels, doses quotidiennes) et demande aux élèves de tester les années juste en dessous et juste au-dessus de leur résultat décimal.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer uniquement avec des puissances de 10 (pH de $10^{-3}$ , $10^6$ fois le seuil d'audibilité) pour se passer de calculatrice
• Fournir un modèle à compléter : formule, isoler la puissance, appliquer un logarithme, arrondir
• Utiliser le graphique interactif pour lire des durées approchées avant de les calculer

Pour les élèves au niveau:

• Mélanger des problèmes de pH, de décibels, de Richter et d'intérêts avec différentes consignes d'arrondi
• Comparer la règle des 72 avec les temps de doublement exacts pour plusieurs taux
• Résoudre des problèmes de demi-vie dont la réponse n'est pas un nombre entier de demi-vies

Pour les élèves avancés:

• Démontrer la formule $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)}$ en général et expliquer pourquoi n'importe quelle base convient
• Comparer les durées pour atteindre un même objectif avec une capitalisation annuelle, mensuelle et continue
• Étudier l'énergie des séismes, qui est multipliée par environ $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ à chaque degré de magnitude

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Pour des modèles exponentiels, exprimer la solution de $ab^{ct} = d$ sous forme de logarithme et la calculer avec un outil numérique
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Écrire des équations à une inconnue et les utiliser pour résoudre des problèmes, y compris avec des fonctions exponentielles
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Choisir un niveau de précision adapté aux limites de la mesure pour donner un résultat
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre que puissances et logarithmes sont des fonctions réciproques et l'utiliser pour résoudre des problèmes

Ressources de la leçon

visualGraphique du temps de doublement
Courbes de $y = 1000 \cdot 1{,}05^x$ et $y = 2000$ : le point d'intersection montre le temps de doublement de $14{,}21$ ans
visualDroite graduée logarithmique
Les puissances de 10 régulièrement espacées, comme sur l'échelle des décibels : chaque pas vaut $10$ dB de plus
visualL'échelle de pH en puissances de 10
Les concentrations en ions hydrogène de $10^{-14}$ à $1$ mol/L régulièrement espacées : chaque pas vers la droite multiplie $[H^+]$ par $10$ et fait baisser le pH d'une unité
activityLabo pH dans la cuisine
Les élèves cherchent le pH du vinaigre, du lait, du savon et du jus de citron et calculent combien de fois l'un est plus acide que l'autre
worksheetProblèmes avec les logarithmes
Exercices variés : pH, décibels, séismes, intérêts composés et demi-vie, avec consignes d'arrondi

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un problème concret avec les logarithmes décrit une situation réelle dans laquelle l'inconnue est un exposant : une durée, une magnitude ou un niveau. Tu le résous en trois temps : écrire la formule, isoler la puissance, puis appliquer un logarithme aux deux membres.

Deux types de problèmes reviennent sans cesse :

1. Les échelles logarithmiques (la formule contient déjà un logarithme) :

pH d'une solution : $\text{pH} = -\log[H^+]$ , où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en mol/L
Niveau sonore en décibels : $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , où $I_0$ est le seuil d'audibilité
Magnitude sur l'échelle de Richter : deux séismes dont les magnitudes diffèrent de $d$ ont des amplitudes dans le rapport $10^{d}$

2. Croissance et décroissance dans le temps (l'inconnue

t

est dans l'exposant) :

A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}

Pour une croissance continue,

A = Pe^{rt}

donne

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

, et pour une demi-vie

h

, la quantité

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h}

donne

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}

Ici,

\log

désigne le logarithme décimal (base 10) et

\ln

le logarithme népérien (base

e

). La plupart des réponses sont des nombres décimaux, donc chaque problème précise comment arrondir, et tu n'arrondis qu'à la toute fin.

Exemples résolus

Un soda a une concentration en ions hydrogène $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcule son pH, arrondi à deux décimales.

Écrire la formule

$\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ → $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calculer le logarithme décimal

$\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Appliquer le signe moins

$\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$

Arrondir à deux décimales

La troisième décimale est $4$ , donc on arrondit vers le bas → $\text{pH} \approx 3{,}49$

Réponse: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (acide, car inférieur à 7)

Erreurs courantes

Dire qu'un séisme de magnitude 8 est "2 fois" ou "deux fois" plus fort qu'un séisme de magnitude 6

Pourquoi c'est faux: L'échelle de Richter est logarithmique : chaque degré entier multiplie l'amplitude par 10. Les différences de magnitude sont des exposants, pas des coefficients multiplicateurs.

Correct: Rapport des amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ fois.

Oublier le signe moins dans $\text{pH} = -\log[H^+]$ et obtenir un pH négatif comme $-3{,}49$

Pourquoi c'est faux: Des concentrations comme $0{,}00032$ sont inférieures à 1, donc leur logarithme est négatif. Le signe moins de la formule rend le pH positif.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Utiliser le taux au lieu du coefficient multiplicateur : $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Pourquoi c'est faux: Le solde est multiplié chaque année par $1 + r = 1{,}05$ , pas par $0{,}05$ . De plus, $\ln 0{,}05$ est négatif, ce qui donnerait une durée négative.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ ans. Pour une décroissance, utilise $1 - r$ , par exemple $0{,}85$ pour une baisse de $15\,\%$ .

Arrondir trop tôt, par exemple écrire $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Pourquoi c'est faux: De petits arrondis dans un quotient s'amplifient : $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ au lieu de $14{,}21$ , soit une erreur d'environ 4 mois.

Correct: Garde toute la précision de la calculatrice (ou au moins 5 chiffres significatifs) et n'arrondis que le résultat final, comme le demande l'énoncé.

Pourquoi c'est important

Les logarithmes transforment d'immenses plages de nombres en petits nombres lisibles, et ce sont les seuls outils capables de faire sortir une inconnue d'un exposant :

Chimie : le jus de citron (pH d'environ 2) contient $100\,000$ fois plus d'ions hydrogène que l'eau pure (pH 7).
Santé : un concert à 110 dB est $1000$ fois plus intense qu'une rue à 80 dB, d'où l'importance des protections auditives.
Géologie : un séisme de magnitude 7 a une amplitude $100$ fois plus grande qu'un séisme de magnitude 5.
Argent : banques, épargnants et conseillers se demandent "en combien d'années mon argent va-t-il doubler ?" et y répondent avec $\ln$ .
Médecine : les médecins utilisent la demi-vie pour savoir quand un médicament est passé sous un niveau efficace.

Chacune de ces questions porte sur un exposant, et un logarithme y répond.

Applications dans le monde réel

Les pluies acides

Les scientifiques de l'environnement comparent l'acidité des pluies grâce au pH. Comme le pH est un logarithme, une petite différence de pH signifie une grande différence d'ions hydrogène.

Exemple:

Une pluie normale a un pH d'environ $5{,}6$ . Une pluie de pH $4{,}6$ contient $10^{1} = 10$ fois plus d'ions hydrogène.

1Essaie par toi-même

Une pluie normale a un pH de $5{,}6$ . Un orage apporte une pluie acide de pH $4{,}3$ .

Combien de fois plus d'ions hydrogène la pluie acide contient-elle ? Arrondis à l'unité.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10^{5{,}6 - 4{,}3}$ et arrondis à l'unité :

Protéger son audition en concert

Les ingénieurs du son et les audioprothésistes travaillent en décibels. Les bouchons d'oreille sont classés selon la réduction d'intensité sonore qu'ils apportent.

Exemple:

Diviser l'intensité par $10$ fait baisser le niveau de $10$ dB, la diviser par $100$ le fait baisser de $20$ dB.

2Essaie par toi-même

Un concert de rock atteint $110$ dB. Des bouchons d'oreille réduisent l'intensité sonore qui arrive à ton oreille à $\frac{1}{1000}$ de sa valeur.

Quel niveau sonore, en décibels, atteint ton oreille ? (La réponse est un nombre entier, pas besoin d'arrondir.)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nouveau niveau sous la forme $10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right)$ et calcule-le :

Planifier un objectif d'épargne

Les conseillers financiers utilisent les logarithmes pour savoir combien d'années un placement met à atteindre un objectif.

Exemple:

À $4\,\%$ par an, l'argent est multiplié par $1{,}04$ chaque année, donc le nombre d'années vaut $t = \frac{\ln(\text{objectif}/\text{départ})}{\ln 1{,}04}$ .

3Essaie par toi-même

Tu places 5000 € à $4\,\%$ d'intérêts composés une fois par an. Ton objectif est 8000 €.

Combien d'années complètes dois-tu attendre pour que le solde atteigne l'objectif pour la première fois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $5000 \cdot 1{,}04^t = 8000$ , puis arrondis à l'année entière supérieure :

Points clés

1Dans un problème concret avec les logarithmes, l'inconnue est un exposant : une durée, une magnitude ou un niveau
2pH : $\text{pH} = -\log[H^+]$ ; dans l'autre sens : $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$
3Décibels : $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ ; chaque hausse de $10$ dB signifie une intensité $10$ fois plus grande
4Richter : des magnitudes qui diffèrent de $d$ correspondent à des amplitudes dans le rapport $10^{d}$
5Durée d'une croissance ou d'une décroissance : isoler la puissance, appliquer $\ln$ aux deux membres, puis $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}$ ; temps de doublement $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$
6N'arrondis qu'à la fin, exactement comme le demande l'énoncé, et vérifie si la situation exige des années entières

Questions fréquentes

Faut-il utiliser log ou ln pour trouver une durée ?

Les deux marchent, à condition d'utiliser le même en haut et en bas :

\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

. Les formules du pH et des décibels sont définies avec le logarithme décimal

\log

(base 10), utilise donc

\log

dans ces cas-là.

Pourquoi la réponse est-elle 15 ans si la calculatrice affiche 14,21 ?

L'équation traite le temps comme continu, mais la banque ne verse les intérêts qu'une fois par an. Après 14 ans, le solde est encore sous l'objectif, il faut donc le 15e versement. Demande-toi toujours si la situation autorise des fractions d'année.

Un pH peut-il être négatif ou supérieur à 14 ?

Mathématiquement oui :

[H^+] = 2

mol/L donne

\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30

. Dans la chimie de tous les jours, presque toutes les solutions ont toutefois un pH entre 0 et 14.

Existe-t-il une estimation rapide du temps de doublement ?

La "règle des 72" dit que le temps de doublement vaut environ

72 \div (\text{taux en }\%)

. À

5\,\%

72 \div 5 = 14{,}4

ans, proche de la valeur exacte

14{,}21

. Utilise les logarithmes quand l'énoncé demande une réponse exacte.

Glossaire

pH: Mesure de l'acidité : $\text{pH} = -\log[H^+]$ . En dessous de 7 c'est acide, 7 est neutre, au-dessus de 7 c'est basique.
Décibel (dB): Unité du niveau sonore : $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , où $I_0$ est le seuil d'audibilité.
Échelle de Richter: Échelle logarithmique des séismes : un degré entier de plus signifie une amplitude du mouvement du sol $10$ fois plus grande.
Temps de doublement: Durée nécessaire pour qu'une quantité en croissance double : $t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ pour une croissance de $r$ par période.
Demi-vie: Durée nécessaire pour qu'une quantité en décroissance diminue de moitié.
Coefficient multiplicateur: Nombre par lequel une quantité est multipliée à chaque période : $1 + r$ pour une hausse, $1 - r$ pour une baisse.

Carte des formules

pH

\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

L'acidité à partir de la concentration en ions hydrogène

Niveau sonore

L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Les décibels à partir du rapport d'intensités

Comparaison sur l'échelle de Richter

\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Rapport des amplitudes de deux séismes

Durée pour atteindre un objectif

t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

À partir de $A = P(1 + r)^t$ ; utilise $1 - r$ pour une décroissance

Croissance continue

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

À partir de $A = Pe^{rt}$

Demi-vie

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

À partir de $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ avec une demi-vie $h$

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Les pluies acides

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Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

pH

Niveau sonore

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Durée pour atteindre un objectif

Croissance continue

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