Résoudre des équations logarithmiques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle équation est la forme exponentielle de $\log_4 x = 3$ ?
1. a) $x = 4^3$
2. b) $x = 3^4$
3. c) $x = \frac{4}{3}$
4. d) $x = 3 \cdot 4$
Réponse: $x = 4^3$
$\log_b A = c \iff A = b^c$ . Ici $b = 4$ et $c = 3$ , donc $x = 4^3 = 64$ .
2.
Résous $\log_5 x = 3$ .
Réponse: 125
$x = 5^3 = 125$ . Vérification : $\log_5 125 = 3$ car $5^3 = 125$ .
3.
Résous $\log_4(x - 3) = 2$ .
Réponse: 19
1. Passe à la forme exponentielle : $x - 3 = 4^2$ . Combien vaut $4^2$ ? 16
2. Résous $x - 3 = 16$ . Combien vaut $x$ ? 19
3. Vérification : combien vaut l'argument $x - 3$ pour ton $x$ ? (Il doit être positif.) 16
4.
Quelle valeur ne peut PAS être solution d'une équation qui contient $\log_3(x - 5)$ ?
1. a) $x = 32$
2. b) $x = 14$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 6$
Réponse: $x = 4$
L'argument doit être positif : $x - 5 > 0$ , donc $x > 5$ . Pour $x = 4$ , l'argument vaut $4 - 5 = -1$ , et $\log_3(-1)$ n'est pas défini.
5.
Résous $\log_2(3x - 1) = 3$ .
Réponse: 3
$3x - 1 = 2^3 = 8$ , donc $3x = 9$ et $x = 3$ . Vérification : l'argument $3 \cdot 3 - 1 = 8$ est positif et $\log_2 8 = 3$ .
6.
Résous $\ln x = 2$ . Arrondis au centième.
Réponse: 7.39
1. Passe à la forme exponentielle : $x = e^{\square}$ . Quel est l'exposant ? 2
2. Calcule $e^2$ et arrondis au centième. 7.39
7.
Résous $\log_3(5x - 4) = \log_3(2x + 11)$ .
Réponse: 5
1. Égale les arguments : $5x - 4 = 2x + 11$ . Regroupe : $3x = \square$ 15
2. Combien vaut $x$ ? 5
3. Vérification : combien vaut l'argument $5x - 4$ pour ce $x$ ? 21
8.
Résous $2 \log_5 x = \log_5 36$ .
Réponse: 6
Propriété de la puissance : $\log_5(x^2) = \log_5 36$ , donc $x^2 = 36$ et $x = 6$ ou $x = -6$ . Dans l'équation de départ, $\log_5(-6)$ n'est pas défini, donc $x = -6$ est une solution parasite. La solution est $x = 6$ .
9.
Quelle expression est la solution exacte de $7^x = 50$ ?
1. a) $\log 50 - \log 7$
2. b) $\frac{\log 50}{\log 7}$
3. c) $\frac{50}{7}$
4. d) $\log \frac{50}{7}$
Réponse: $\frac{\log 50}{\log 7}$
$\log(7^x) = \log 50$ donne $x \log 7 = \log 50$ , donc $x = \frac{\log 50}{\log 7} \approx 2{,}01$ . Remarque : $\log \frac{50}{7}$ et $\log 50 - \log 7$ sont le même nombre (environ $0{,}85$ ) et sont faux.
10.
Résous $5^x = 40$ en prenant le logarithme décimal des deux membres. Arrondis au centième.
Réponse: 2.29
1. Après la propriété de la puissance, tu as $x \log 5 = \log 40$ . Combien vaut $\log 40$ , arrondi au millième ? 1.602
2. Combien vaut $\log 5$ , arrondi au millième ? 0.699
3. Divise : $x = \frac{\log 40}{\log 5}$ . Arrondis $x$ au centième. 2.29
11.
Résous $2^x = 20$ . Arrondis au centième.
Réponse: 4.32
$x \log 2 = \log 20$ , donc $x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32$ . Cela correspond à l'estimation $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$ .
12.
Résous $\log_2(x + 6) - \log_2(x - 1) = 3$ .
Réponse: 2
1. Regroupe : $\log_2 \frac{x + 6}{x - 1} = 3$ . Passe à la forme exponentielle : $\frac{x + 6}{x - 1} = \square$ 8
2. Multiplie par $(x - 1)$ : $x + 6 = 8x - 8$ . Regroupe : $7x = \square$ 14
3. Combien vaut $x$ ? (Vérifie que $x - 1$ est positif.) 2
13.
Résous $\log_6 x + \log_6(x + 1) = 1$ .
Réponse: 2
1. Regroupe : $\log_6\big(x(x + 1)\big) = 1$ . Forme exponentielle : $x(x + 1) = \square$ 6
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ . Quel est le candidat positif ? 2
3. Quel est l'autre candidat ? -3
4. Quel candidat est la solution ? (Tous les arguments doivent être positifs.) 2
14.
Résous $\log_2 x + \log_2(x - 6) = 4$ .
1. a)seulement $x = 8$
2. b) $x = 8$ et $x = -2$
3. c)aucune solution
4. d)seulement $x = -2$
Réponse: seulement $x = 8$
$\log_2\big(x(x - 6)\big) = 4$ , donc $x^2 - 6x = 16$ , $x^2 - 6x - 16 = 0$ , $(x - 8)(x + 2) = 0$ . Pour $x = -2$ , $\log_2(-2)$ n'est pas défini, il reste donc seulement $x = 8$ : $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ ✓
15.
Résous $\log_3 x + \log_3(x - 8) = 2$ .
Réponse: 9
1. Regroupe et réécris : $x(x - 8) = 3^2 = \square$ 9
2. $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$ . Quel est le candidat positif ? 9
3. Quel est l'autre candidat ? -1
4. Quel candidat est la solution ? (Vérifie les arguments $x$ et $x - 8$ .) 9
16.
Résous $\log(x + 9) - \log x = 1$ , où $\log$ est le logarithme décimal (base 10).
Réponse: 1
$\log \frac{x + 9}{x} = 1$ , donc $\frac{x + 9}{x} = 10$ , $x + 9 = 10x$ , $9x = 9$ , $x = 1$ . Vérification : $\log 10 - \log 1 = 1 - 0 = 1$ ✓
17.
Résous $\log(x + 3) + \log x = 1$ (logarithme décimal, base 10).
1. a)seulement $x = 2$
2. b) $x = 2$ et $x = -5$
3. c)aucune solution
4. d)seulement $x = -5$
Réponse: seulement $x = 2$
$\log\big(x(x + 3)\big) = 1$ , donc $x^2 + 3x = 10$ , $(x + 5)(x - 2) = 0$ . Pour $x = -5$ , $\log(-2)$ et $\log(-5)$ ne sont pas définis : c'est une solution parasite. La solution est $x = 2$ : $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓
18.
Résous $4 \cdot 3^{x - 1} = 100$ . Arrondis au centième.
Réponse: 3.93
1. Divise les deux membres par 4. $3^{x - 1} = \square$ 25
2. Prends le logarithme : $x - 1 = \frac{\log 25}{\log 3}$ . Arrondis $x - 1$ au centième. 2.93
3. Combien vaut $x$ , arrondi au centième ? 3.93