Guide de l'enseignant: Résoudre des équations logarithmiques

Résous des équations où l'inconnue est dans un logarithme, élimine les solutions parasites et utilise les logarithmes pour résoudre des équations comme 3^x = 20.

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10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Résoudre des équations logarithmiques en passant à la forme exponentielle
Résoudre des équations avec des logarithmes dans les deux membres grâce à l'égalité des logarithmes
Regrouper sommes et différences de logarithmes avant de résoudre, puis repérer et rejeter les solutions parasites
Résoudre des équations exponentielles à bases différentes en prenant le logarithme, et donner une valeur exacte et une valeur arrondie

Prérequis

• Définition du logarithme (passage entre forme logarithmique et forme exponentielle)
• Propriétés du produit, du quotient et de la puissance pour les logarithmes
• Formule de changement de base
• Résoudre des équations exponentielles (méthode de la même base)
• Résolution d'équations du premier et du second degré par factorisation

Amorces de discussion

1. Pourquoi peut-on enlever les logarithmes dans $\log_5 A = \log_5 B$ , mais pas dans $\log_5 A + \log_5 B = 2$ ?
2. L'équation $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ donne les candidats $4$ et $-2$ . D'où vient le second ?
3. L'équation $\log_3 x = -2$ peut-elle avoir une solution alors que le membre de droite est négatif ? Et $\log_3 x = 0$ ?
4. Avant d'utiliser la calculatrice, comment sais-tu que la solution de $3^x = 20$ est entre $2$ et $3$ ?

Idées reçues courantes

Tout nombre trouvé pendant la résolution est une solution

Remédiation: Faire de la vérification de l'ensemble de définition une dernière étape obligatoire. Montrer les graphiques de $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ et de $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ : ils coïncident pour $x > 2$ , mais seul le second existe pour $x < 0$ .

Une valeur négative de $x$ est toujours une solution parasite

Remédiation: Utiliser $\log_2(x + 5) = 1$ , où $x = -3$ est une solution valable. Insister sur le fait que ce sont les arguments qui doivent être positifs, pas $x$ lui-même.

$\frac{\log 20}{\log 3}$ est égal à $\log \frac{20}{3}$

Remédiation: Faire calculer les deux à la calculatrice : $2{,}73$ contre environ $0{,}82$ . La propriété du quotient concerne le logarithme d'un quotient, pas un quotient de logarithmes.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des équations directes comme $\log_2 x = 5$ et travailler uniquement le passage à la forme exponentielle
• Donner une liste d'étapes fixe : regrouper, réécrire, résoudre, vérifier l'ensemble de définition
• Fournir un tableau des puissances de 2, 3, 5 et 10 pour reconnaître des valeurs comme $81 = 3^4$

Pour les élèves au niveau:

• Résoudre des équations avec des logarithmes dans les deux membres et avec une expression dans le logarithme
• Résoudre des équations qui se ramènent au second degré et rejeter le candidat parasite
• Résoudre des équations exponentielles comme $5^x = 40$ et arrondir le résultat au centième

Pour les élèves avancés:

• Résoudre des équations avec des logarithmes de bases différentes en appliquant d'abord la formule de changement de base
• Résoudre des équations exponentielles avec l'inconnue dans les deux membres, comme $2^{x+1} = 3^x$ , en prenant le logarithme
• Construire une équation dont les deux candidats sont parasites et expliquer pourquoi elle n'a pas de solution

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Pour des modèles exponentiels, exprimer comme un logarithme la solution de ab^(ct) = d où a, c et d sont des nombres et la base b vaut 2, 10 ou e ; évaluer le logarithme avec un outil numérique
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre exposants et logarithmes et l'utiliser pour résoudre des problèmes avec des logarithmes et des exposants
HSA-REI.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.2)
Résoudre des équations simples à une inconnue et donner des exemples montrant comment des solutions parasites peuvent apparaître
HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Expliquer pourquoi les abscisses des points d'intersection des courbes de y = f(x) et y = g(x) sont les solutions de l'équation f(x) = g(x)

Ressources de la leçon

visualDeux graphiques, une équation
Les élèves comparent les graphiques de l'équation de départ et de l'équation regroupée et voient d'où vient la solution parasite
activityAccepter ou rejeter
Des cartes avec une équation et un candidat : les élèves remplacent et décident si tous les arguments restent positifs
worksheetEntraînement aux équations logarithmiques
Des équations allant de la forme exponentielle au regroupement avec solutions parasites, avec une colonne pour vérifier l'ensemble de définition

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'argument d'un logarithme, par exemple

\log_2 x = 3

\log_3(2x + 1) = 2

Deux outils permettent de résoudre presque toutes les équations logarithmiques :

1. Passer à la forme exponentielle. Un logarithme est un exposant, donc

\log_b A = c \iff A = b^c

Par exemple,

\log_2 x = 3

signifie

x = 2^3 = 8

. Sur le graphique, la droite

y = 3

coupe la courbe

y = \log_2 x

exactement en

x = 8

2. Utiliser l'égalité des logarithmes. Si deux logarithmes de même base sont égaux, leurs arguments sont égaux :

\log_b M = \log_b N \implies M = N

La méthode :

1.Regrouper chaque membre en un seul logarithme grâce aux propriétés du produit, du quotient et de la puissance.
2.Réécrire sous forme exponentielle, ou égaler les arguments.
3.Résoudre l'équation obtenue (le plus souvent du premier ou du second degré).
4.Vérifier l'ensemble de définition : chaque argument de l'équation DE DÉPART doit être strictement positif. Une valeur candidate qui rend un argument nul ou négatif est une solution parasite et doit être rejetée.

Équations exponentielles avec des bases différentes. Quand les deux membres d'une équation exponentielle ne peuvent pas s'écrire avec la même base, on prend le logarithme des deux membres et on applique la propriété de la puissance :

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Ici,

\log

est le logarithme décimal (base 10). Le logarithme népérien

\ln

donne le même résultat.

Exemples résolus

Résous $\log_2 x = 3$ .

Repérer les éléments

Base $2$ , argument $x$ , valeur du logarithme $3$ → $\log_2 x = 3$

Écrire sous forme exponentielle

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Calculer la puissance

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Vérifier

$\log_2 8 = 3$ car $2^3 = 8$ ✓, et l'argument $8$ est positif → La solution est valable

Réponse: $x = 8$

Erreurs courantes

Garder les deux candidats : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ ou $x = -2$

Pourquoi c'est faux: Après le regroupement en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ , les valeurs négatives de $x$ semblent permises, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Mais l'équation de départ contient $\log_2 x$ , qui n'est pas défini pour $x = -2$ .

Correct: Teste chaque candidat dans l'équation DE DÉPART. Seul $x = 4$ convient, $x = -2$ est une solution parasite.

Supprimer les logarithmes : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Pourquoi c'est faux: On ne peut enlever les logarithmes que si chaque membre est un seul logarithme de même base (égalité des logarithmes). Ici, le membre de gauche est une somme de logarithmes et celui de droite est un nombre.

Correct: Regroupe d'abord, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , puis passe à la forme exponentielle : $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Inverser la base et l'exposant : $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Pourquoi c'est faux: Dans $\log_b A = c$ , c'est la base $b$ qui est élevée à la puissance $c$ . La base du logarithme reste la base de la puissance.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , donc $x = 4$ . Vérification : $\log_3 9 = 2$ ✓

Diviser au lieu de prendre le logarithme : $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Pourquoi c'est faux: $3^x$ est une puissance, pas le produit $3 \cdot x$ . Une vérification rapide montre l'erreur : $3^{6{,}67}$ vaut environ $1500$ , bien plus que $20$ .

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Attention : $\frac{\log 20}{\log 3}$ n'est PAS égal à $\log \frac{20}{3}$ .

Pourquoi c'est important

Les équations logarithmiques répondent aux questions combien de temps ? et quelle intensité ? dès que quelque chose augmente ou diminue d'un facteur constant :

Finance : au bout de combien d'années une épargne placée à 8 % double-t-elle ? Résous $1{,}08^t = 2$ .
Biologie : quand une culture de bactéries atteint-elle une taille qui n'est pas une puissance de 2 ?
Acoustique : une tondeuse à gazon à 90 dB est-elle combien de fois plus intense que le son le plus faible que tu peux entendre ?
Chimie et géologie : le pH et l'échelle de Richter sont des logarithmes. Retrouver la concentration ou l'énergie qui se cache derrière, c'est résoudre une équation logarithmique.

Dans la leçon Résoudre des équations exponentielles, tu pouvais seulement dire que la solution de

2^x = 20

se trouve entre

4

5

. Avec les logarithmes, tu obtiens la valeur exacte

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Et la vérification de l'ensemble de définition te servira pour toute équation avec des racines, des fractions ou des logarithmes.

Applications dans le monde réel

Doubler son épargne

Une somme qui augmente chaque année d'un pourcentage fixe suit $A = P \cdot (1 + r)^t$. En isolant l'exposant $t$ avec les logarithmes, tu sais quand un objectif d'épargne est atteint.

Exemple:

À 6 % d'intérêts par an, une somme double quand $1{,}06^t = 2$ , donc au bout de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ ans.

1Essaie par toi-même

Tu places 1000 € sur un compte d'épargne rémunéré à 8 % par an. Au bout de $t$ années, tu as $1000 \cdot 1{,}08^t$ euros.

Au bout de combien d'années la somme a-t-elle doublé pour atteindre 2000 € ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ et écris la valeur exacte de $t$ comme quotient de deux logarithmes, sous la forme ln(a)/ln(b) (sans arrondir pour l'instant) :

Le niveau sonore en décibels

Le niveau sonore en décibels vaut $L = 10 \log r$, où $r = \frac{I}{I_0}$ compare l'intensité d'un son à celle du son le plus faible que l'oreille humaine perçoit.

Exemple:

Une conversation normale fait environ 60 dB : $10 \log r = 60$ donne $\log r = 6$ , donc $r = 10^6$ , un million de fois le seuil d'audition.

2Essaie par toi-même

Une tondeuse à gazon atteint 90 dB. Son rapport d'intensité $r$ vérifie $10 \log r = 90$ .

Quel est le rapport d'intensité $r$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $r$ comme une puissance de 10 :

Des bactéries qui se multiplient

Une colonie qui double toutes les heures suit $N = N_0 \cdot 2^t$. Quand la taille visée n'est pas une puissance de 2, les logarithmes donnent le temps exact.

Exemple:

Une colonie de 200 cellules atteint 1000 cellules quand $2^t = 5$ , donc au bout de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ heures.

3Essaie par toi-même

Une culture commence avec 500 bactéries et double toutes les heures.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 6000 bactéries ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $500 \cdot 2^t = 6000$ et écris la valeur exacte de $t$ comme quotient de deux logarithmes, sous la forme ln(a)/ln(b) (sans arrondir pour l'instant) :

Points clés

1Dans une équation logarithmique, l'inconnue est dans un logarithme, comme dans $\log_2 x = 3$
2Forme exponentielle : $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Injectivité du logarithme : $\log_b M = \log_b N$ donne $M = N$
4Regroupe les sommes et différences de logarithmes en un seul logarithme avant de résoudre
5Teste chaque candidat dans l'équation DE DÉPART : tous les arguments doivent être positifs, sinon c'est une solution parasite
6Pour une équation exponentielle avec des bases différentes, prends le logarithme : $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Questions fréquentes

Pourquoi des solutions parasites apparaissent-elles ?

Le regroupement change l'ensemble de définition.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

exige

x > 2

, mais

\log_2\big(x(x - 2)\big)

exige seulement

x(x - 2) > 0

, ce qui est aussi vrai pour

x < 0

. L'équation regroupée peut donc avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas. C'est pourquoi on vérifie toujours dans l'équation de départ.

Une solution négative est-elle toujours parasite ?

Non. Ce qui compte, c'est le signe de chaque argument, pas celui de

x

. Pour

\log_2(x + 5) = 1

, on obtient

x + 5 = 2

, donc

x = -3

, et l'argument

-3 + 5 = 2

est positif. La solution

x = -3

est valable.

Faut-il utiliser log ou ln pour résoudre $3^x = 20$ ?

Les deux conviennent.

\frac{\log 20}{\log 3}

\frac{\ln 20}{\ln 3}

donnent le même nombre, environ

2{,}73

. C'est exactement la formule de changement de base : les deux sont égaux à

\log_3 20

Une équation logarithmique peut-elle n'avoir aucune solution ?

Oui. Pour

\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)

, les arguments donnent

x - 4 = 2x - 1

, donc

x = -3

. Mais alors les deux arguments valent

-7

, ce qui est interdit. Le seul candidat est rejeté, donc l'équation n'a pas de solution.

Glossaire

Équation logarithmique: Une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'argument d'un logarithme, comme $\log_3(2x + 1) = 2$
Forme exponentielle: L'écriture d'un logarithme sous forme de puissance : $\log_b A = c$ s'écrit $A = b^c$
Injectivité du logarithme: Si $\log_b M = \log_b N$ , alors $M = N$ (pour $M, N > 0$ )
Candidat: Une valeur trouvée pendant la résolution, qu'il faut encore tester dans l'équation de départ
Solution parasite: Un candidat qui rend un argument de l'équation de départ nul ou négatif et qui est donc rejeté
Ensemble de définition d'un logarithme: Les valeurs pour lesquelles $\log_b A$ est défini : l'argument doit être strictement positif, $A > 0$

Carte des formules

Forme exponentielle

\log_b A = c \iff A = b^c

Valable pour $b > 0$, $b \neq 1$. À utiliser quand un membre est un seul logarithme et l'autre un nombre.

Injectivité du logarithme

\log_b M = \log_b N \implies M = N

À utiliser quand chaque membre est un seul logarithme de même base.

Vérification de l'ensemble de définition

A > 0

Chaque argument $A$ d'un logarithme de l'équation de départ doit être positif. Sinon, le candidat est une solution parasite.

Logarithme des deux membres

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Résout les équations exponentielles dont les membres ne s'écrivent pas avec la même base, par exemple $3^x = 20$.

Plus sur ce sujet

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Doubler son épargne

Le niveau sonore en décibels

Des bactéries qui se multiplient

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Forme exponentielle

Injectivité du logarithme

Vérification de l'ensemble de définition

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