Distributions d'échantillonnage

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Un sondage auprès de 200 électeurs choisis au hasard montre que 54 % soutiennent une nouvelle loi. Ici, les 54 % sont...
1. a)erreur type
2. b)paramètre
3. c)statistique
4. d)population
Réponse: statistique
Les 54 % ont été calculés sur un échantillon de 200 électeurs, c'est donc une statistique ( $\hat{p} = 0{,}54$ ). La proportion parmi TOUS les électeurs serait le paramètre $p$ .
2.
Une population a un écart-type $\sigma = 18$ . Quelle est l'erreur type de la moyenne d'échantillon pour des échantillons de taille $n = 36$ ?
Réponse: 3
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{18}{\sqrt{36}} = \dfrac{18}{6} = 3$ .
3.
Une population a une moyenne $\mu = 40$ et un écart-type $\sigma = 8$ . Quelle est la moyenne de la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ pour des échantillons de taille $n = 25$ ?
1. a)8
2. b)40
3. c)200
4. d)1,6
Réponse: 40
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 40$ , quelle que soit la taille de l'échantillon. La taille ne change que la dispersion : l'erreur type vaut $8 / \sqrt{25} = 1{,}6$ .
4.
Les vis d'une machine ont une longueur moyenne $\mu = 50$ mm et $\sigma = 2$ mm. Un ouvrier mesure des échantillons aléatoires de 16 vis. Trouve la moyenne et l'erreur type de $\bar{x}$ .
Réponse: 0.5
1. Quelle est la moyenne de la distribution d'échantillonnage, $\mu_{\bar{x}}$ (en mm) ? 50
2. Combien vaut $\sqrt{16}$ ? 4
3. Combien vaut l'erreur type $2 / 4$ (en mm) ? 0.5
5.
Les scores de QI ont $\mu = 100$ et $\sigma = 10$ dans un groupe test. Quelle est l'erreur type du QI moyen d'échantillons aléatoires de $n = 100$ personnes ?
Réponse: 1
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = \dfrac{10}{10} = 1$ . La moyenne $\mu = 100$ ne joue aucun rôle dans l'erreur type.
6.
20 % des applications d'une boutique sont des jeux ( $p = 0{,}2$ ). Tu tires des échantillons aléatoires de $n = 100$ applications. Vérifie les conditions et trouve l'erreur type de $\hat{p}$ .
Réponse: 0.04
1. Combien vaut $np = 100 \cdot 0{,}2$ ? 20
2. Combien vaut $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}8$ ? 80
3. Les deux valent au moins 10. Combien vaut $\sqrt{\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{100}}$ ? 0.04
7.
Les prix des maisons d'une région sont fortement asymétriques vers la droite. Pour quelle taille d'échantillon la distribution d'échantillonnage du prix moyen est-elle la plus proche d'une loi normale ?
1. a)n = 5
2. b)n = 10
3. c)n = 40
4. d)n = 15
Réponse: n = 40
La population est asymétrique, donc seul un grand échantillon rend $\bar{x}$ presque normale (théorème central limite, règle pratique $n \geq 30$ ). Parmi les choix, seul $n = 40$ convient.
8.
Une population a $\mu = 80$ et $\sigma = 12$ . Un échantillon aléatoire de taille $n = 16$ a une moyenne $\bar{x} = 86$ . Quel est le score z de cette moyenne d'échantillon ?
Réponse: 2
Erreur type $= 12 / 4 = 3$ , donc $z = \dfrac{86 - 80}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$ . La moyenne de l'échantillon est 2 erreurs types au-dessus de $\mu$ .
9.
Une population a $\sigma = 20$ . Compare l'erreur type de $\bar{x}$ pour $n = 25$ et pour $n = 100$ .
Réponse: 0.5
1. Quelle est l'erreur type pour $n = 25$ ? 4
2. Quelle est l'erreur type pour $n = 100$ ? 2
3. Combien vaut (nouvelle erreur type) $\div$ (ancienne erreur type) ? 0.5
10.
Une pièce est équilibrée ( $p = 0{,}5$ ). Tu la lances $n = 100$ fois et tu notes la fréquence de face $\hat{p}$ . Quelle est l'erreur type de $\hat{p}$ ?
1. a)0,0025
2. b)0,5
3. c)0,05
4. d)0,25
Réponse: 0,05
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$ . La valeur 0,0025 est la variance (racine oubliée), 0,25 est $p(1-p)$ et 0,5 est $p$ lui-même.
11.
Les notes d'un examen suivent une loi normale avec $\mu = 70$ et $\sigma = 15$ . Pour une classe aléatoire de $n = 25$ élèves, trouve $P(\bar{x} < 67)$ . Utilise $P(Z < -1) = 0{,}1587$ .
Réponse: 0.1587
1. Combien vaut $\sqrt{25}$ ? 5
2. Combien vaut l'erreur type $15 / 5$ ? 3
3. Combien vaut $z = \dfrac{67 - 70}{3}$ ? -1
4. Combien vaut $P(\bar{x} < 67)$ ? 0.1587
12.
Des batteries de téléphone durent $\mu = 50$ heures avec $\sigma = 12$ heures. Pour un échantillon aléatoire de $n = 36$ batteries, trouve $P(\bar{x} > 54)$ . Utilise $P(Z < 2) = 0{,}9772$ et donne la réponse sous forme décimale.
Réponse: 0.0228
$n = 36 \geq 30$ , donc $\bar{x}$ suit presque une loi normale. Erreur type $= 12 / 6 = 2$ , $z = \dfrac{54 - 50}{2} = 2$ , $P(\bar{x} > 54) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .
13.
Environ 5 % des ampoules d'une usine sont défectueuses ( $p = 0{,}05$ ). Une contrôleuse prélève des échantillons aléatoires de $n = 120$ ampoules. Peut-elle utiliser le modèle normal pour $\hat{p}$ ? Sinon, quelle doit être la taille $n$ ?
Réponse: 200
1. Combien vaut $np = 120 \cdot 0{,}05$ ? 6
2. Combien vaut $n(1-p) = 120 \cdot 0{,}95$ ? 114
3. Le modèle normal convient-il ? Non
4. Quel est le plus petit $n$ tel que $n \cdot 0{,}05 \geq 10$ ? 200
14.
La masse des pommes suit une loi normale avec $\mu = 180$ g et $\sigma = 20$ g. Trouve la probabilité qu'UNE pomme pèse plus de 185 g, puis que la moyenne d'un sac de 16 pommes dépasse 185 g. Utilise $P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987$ et $P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Réponse: 0.1587
1. Score z d'une pomme de 185 g : $\dfrac{185 - 180}{20}$ ? 0.25
2. $P$ (une pomme $> 185$ g) ? 0.4013
3. Erreur type de la moyenne du sac, $20 / \sqrt{16}$ ? 5
4. Score z d'une moyenne de sac de 185 g ? 1
5. $P$ (moyenne du sac $> 185$ g) ? 0.1587
15.
Quelle affirmation sur le théorème central limite est correcte ?
1. a)L'erreur type augmente quand la taille de l'échantillon augmente
2. b)Pour n grand, la population elle-même devient normale
3. c)Il ne marche que si la population suit déjà une loi normale
4. d)Pour n grand, la moyenne d'échantillon suit presque une loi normale, quelle que soit la forme de la population
Réponse: Pour n grand, la moyenne d'échantillon suit presque une loi normale, quelle que soit la forme de la population
Le théorème central limite dit que pour $n$ grand la distribution de la MOYENNE d'échantillon est presque normale, quelle que soit la forme de la population. Il ne change pas la population, il marche aussi pour des populations non normales, et l'erreur type $\sigma / \sqrt{n}$ diminue, au lieu d'augmenter, quand $n$ grandit.
16.
Les délais de livraison ont $\sigma = 15$ minutes. Une entreprise veut que l'erreur type du délai moyen soit de 1,5 minute. Combien de livraisons doit-elle observer ? Et pour une erreur type de 0,75 minute ?
Réponse: 400
1. D'après $15 / \sqrt{n} = 1{,}5$ : combien vaut $\sqrt{n}$ ? 10
2. Combien vaut donc $n$ ? 100
3. D'après $15 / \sqrt{n} = 0{,}75$ : combien vaut $\sqrt{n}$ ? 20
4. Combien vaut $n$ maintenant ? 400
17.
40 % des foyers d'une ville ont un animal ( $p = 0{,}4$ ). Pour un échantillon aléatoire de $n = 150$ foyers, trouve $P(\hat{p} > 0{,}46)$ . Utilise $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ et donne la réponse sous forme décimale.
Réponse: 0.0668
Conditions : $np = 60$ , $n(1-p) = 90$ , tous deux au moins 10. Erreur type $= \sqrt{0{,}24 / 150} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . $z = \dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = 1{,}5$ , donc $P(\hat{p} > 0{,}46) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
18.
Des lampes LED durent $\mu = 1000$ heures avec $\sigma = 80$ heures. Pour un échantillon aléatoire de $n = 64$ lampes, trouve $P(990 < \bar{x} < 1020)$ . Utilise $P(Z < -1) = 0{,}1587$ et $P(Z < 2) = 0{,}9772$ .
Réponse: 0.8185
1. Combien vaut l'erreur type $80 / \sqrt{64}$ ? 10
2. Quel est le score z de $\bar{x} = 990$ ? -1
3. Quel est le score z de $\bar{x} = 1020$ ? 2
4. Combien vaut $P(990 < \bar{x} < 1020)$ ? 0.8185