Guide de l'enseignant: Distributions d'échantillonnage

Découvre comment les moyennes et les fréquences d'échantillons varient d'un échantillon à l'autre, ce qu'est l'erreur type et pourquoi le théorème central limite les rend presque normales.

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Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Distributions de probabilité. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Distinguer un paramètre d'une statistique et utiliser correctement les symboles $\mu$ , $\sigma$ , $p$ , $\bar{x}$ , $\hat{p}$
Trouver la moyenne et l'erreur type de la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ et de $\hat{p}$
Énoncer le théorème central limite et décider quand une distribution d'échantillonnage est presque normale
Calculer des probabilités sur une moyenne ou une fréquence d'échantillon avec les scores z et la table de la loi normale
Expliquer pourquoi les grands échantillons donnent des estimations plus précises et trouver la taille d'échantillon pour une erreur type donnée

Prérequis

• Introduction à la loi normale : moyenne, écart-type et courbe en cloche
• Les scores z (cote z) : $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$
• Loi normale centrée réduite : lecture de la table
• Probabilités avec la loi normale : aires à gauche, à droite et entre deux valeurs
• Calculer l'écart-type : dispersion d'une série de données

Amorces de discussion

1. Deux sondages sur la même élection donnent 48 % et 52 %. Est-ce que l'un des deux s'est trompé ?
2. Pourquoi est-il beaucoup plus difficile pour la moyenne de 36 batteries d'être sous 47 heures que pour une seule batterie ?
3. Une entreprise dit avoir interrogé 10 clients et que 90 % étaient satisfaits. Que voudrais-tu savoir avant de croire ce chiffre ?
4. Pourquoi doubler la taille de l'échantillon ne divise-t-il pas l'erreur type par deux ?

Idées reçues courantes

Un grand échantillon rend les données normales

Remédiation: Dans le simulateur, compare l'histogramme d'UN grand échantillon (il ressemble à la population asymétrique) avec l'histogramme de nombreuses MOYENNES d'échantillons (il devient une courbe en cloche).

L'erreur type et l'écart-type sont la même chose

Remédiation: Montre le panneau de la population ( $\sigma$ ) à côté de l'écart-type des moyennes dans le simulateur. Demande aux élèves de prévoir le second avec $\sigma / \sqrt{n}$ avant d'appuyer sur le bouton.

Une plus grande population exige un plus grand échantillon

Remédiation: Montre que la formule $\sigma / \sqrt{n}$ ne contient pas la taille de la population. Compare avec la soupe : une cuillère révèle aussi bien le goût d'une petite marmite que d'une grande, si on a bien mélangé.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commence par le simulateur de dé et seulement le centre : les moyennes s'accumulent toujours autour de 3,5
• Donne un tableau avec $n$ , $\sqrt{n}$ et $\sigma / \sqrt{n}$ pour des carrés parfaits (4, 9, 16, 25, 36, 100)
• Fais trier des nombres en paramètres et statistiques avant toute formule

Pour les élèves au niveau:

• Calculer erreurs types et scores z pour des moyennes d'échantillons avec la table
• Vérifier les conditions du modèle normal pour $\hat{p}$ et calculer son erreur type
• Comparer la probabilité pour une seule valeur et pour une moyenne d'échantillon

Pour les élèves avancés:

• Trouver la taille d'échantillon nécessaire pour une erreur type ou une marge d'erreur donnée
• Explorer les populations asymétrique et bimodale pour voir à quelle vitesse agit le théorème central limite
• Démontrer $\sigma / \sqrt{n}$ à partir de la règle selon laquelle les variances de valeurs indépendantes s'additionnent

Alignement aux standards

HSS-IC.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.A.1)
Comprendre la statistique comme une démarche qui permet d'inférer des paramètres d'une population à partir d'un échantillon aléatoire
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Utiliser les données d'un sondage pour estimer une moyenne ou une proportion de la population ; construire une marge d'erreur à l'aide de simulations d'échantillonnage aléatoire
HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Utiliser la moyenne et l'écart-type d'une série pour l'ajuster à une loi normale et estimer des pourcentages de la population

Ressources de la leçon

visualSimulateur d'échantillonnage
Tire 1, 100 ou 1000 échantillons d'une population asymétrique, d'un dé ou d'une population oui/non et regarde l'histogramme des moyennes devenir normal
activityExpérience de dés en classe
Chaque élève lance 5 dés et annonce la moyenne ; la classe construit un diagramme en points des moyennes et le compare aux lancers isolés
worksheetProbabilités sur moyennes et fréquences
Exercices sur les erreurs types, les conditions et les probabilités de la table pour les moyennes et fréquences d'échantillons

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un paramètre est un nombre qui décrit toute une population, par exemple la moyenne (espérance)

\mu

, l'écart-type

\sigma

ou la proportion

p

de la population. Une statistique est un nombre calculé à partir d'un échantillon, par exemple la moyenne d'échantillon

\bar{x}

ou la fréquence observée (proportion d'échantillon)

\hat{p}

. Le paramètre est fixe (mais souvent inconnu) ; la statistique change d'un échantillon à l'autre.

La distribution d'échantillonnage d'une statistique est la distribution de ses valeurs sur tous les échantillons aléatoires possibles de même taille

n

Distribution d'échantillonnage de la moyenne $\bar{x}$

Centre : $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (les moyennes d'échantillons sont centrées sur la moyenne de la population)
Dispersion : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , appelée erreur type
Forme (théorème central limite) : si la population suit une loi normale, $\bar{x}$ suit une loi normale pour tout $n$ . Sinon, $\bar{x}$ suit quand même presque une loi normale quand $n$ est grand, en général dès $n \geq 30$ .

Une probabilité sur une moyenne d'échantillon utilise donc le score z

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribution d'échantillonnage de la fréquence $\hat{p}$

Centre : $\mu_{\hat{p}} = p$
Dispersion : $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Forme : presque normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Ces formules supposent un échantillon aléatoire de valeurs indépendantes (en pratique : l'échantillon représente moins d'environ 10 % de la population).

Exemples résolus

Un lycée compte 1200 élèves. Leur taille moyenne est de 165 cm. Un projet de classe mesure un échantillon aléatoire de 50 élèves et trouve une taille moyenne de 163,2 cm. Quel nombre est un paramètre et lequel est une statistique ?

Trouve le nombre qui décrit toute la population

165 cm est la moyenne des 1200 élèves → Paramètre :

\mu = 165

Trouve le nombre qui vient de l'échantillon

163,2 cm est la moyenne des 50 élèves mesurés → Statistique :

\bar{x} = 163{,}2

Pense à un deuxième échantillon

Un autre échantillon aléatoire de 50 élèves donnerait une moyenne un peu différente, par exemple 166,0 cm →

\bar{x}

varie,

\mu

reste fixe

Réponse: $\mu = 165$ cm est le paramètre, $\bar{x} = 163{,}2$ cm est une statistique. La statistique change d'un échantillon à l'autre, et c'est exactement ce que décrit une distribution d'échantillonnage.

Erreurs courantes

Utiliser $\sigma$ au lieu de $\sigma / \sqrt{n}$ dans une question sur une moyenne d'échantillon

Pourquoi c'est faux: $\sigma$ est la dispersion des valeurs isolées. Les moyennes varient beaucoup moins, donc avec $\sigma$ des moyennes inhabituelles paraissent bien trop probables.

Correct: Pour $\bar{x}$ , divise toujours par l'erreur type : $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Pour une seule valeur, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$

Pourquoi c'est faux: Avec $\sigma = 12$ et $n = 36$ , diviser par $n$ donne $0{,}33$ au lieu de l'erreur type correcte $2$ : chaque score z devient 6 fois trop grand.

Correct: Prends d'abord la racine carrée de $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Croire que le théorème central limite rend la population ou les données normales

Pourquoi c'est faux: Un grand échantillon tiré d'une population asymétrique reste asymétrique : son histogramme ressemble à la population. Seule la distribution des MOYENNES d'échantillons devient normale.

Correct: Le théorème central limite concerne la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ , pas les valeurs individuelles.

Utiliser la loi normale pour $\hat{p}$ sans vérifier $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Pourquoi c'est faux: Avec $p = 0{,}05$ et $n = 40$ , on a $np = 2$ : la plupart des échantillons ont 0, 1, 2 ou 3 succès, et la distribution de $\hat{p}$ est très asymétrique.

Correct: Vérifie d'abord les deux conditions. Si l'une n'est pas remplie, prends un plus grand échantillon ou utilise la loi binomiale.

Pourquoi c'est important

Presque tous les chiffres de sondage cités aux informations sont des statistiques, pas des paramètres :

Sondages : un sondage auprès de 1000 électeurs estime la proportion parmi tous les électeurs. L'erreur type indique à quelle distance de la vérité le sondage risque de se trouver.
Contrôle qualité : une usine vérifie la masse moyenne d'un échantillon de paquets au lieu de peser chaque paquet.
Médecine : un essai clinique mesure l'effet moyen sur quelques centaines de patients et en tire des conclusions pour tout le monde.
Sciences : faire la moyenne de mesures répétées réduit l'erreur aléatoire.

L'idée clé : l'erreur type

\sigma / \sqrt{n}

diminue quand l'échantillon grandit. Quatre fois plus de personnes divisent l'erreur par deux, c'est pourquoi les grands sondages sont plus précis. Le théorème central limite te permet ensuite d'utiliser la loi normale, les scores z et la table de la loi normale que tu connais déjà, même quand la population elle-même ne suit pas une loi normale.

Applications dans le monde réel

Sondages électoraux

Les instituts de sondage interrogent environ 1000 personnes et annoncent une marge d'erreur. Cette marge vient directement de l'erreur type de $\hat{p}$.

Exemple:

Si le vrai soutien est $p = 0{,}5$ , un sondage auprès de 1000 personnes a une erreur type $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , donc environ 95 % de ces sondages tombent à moins de 3 points environ de la vérité.

1Essaie par toi-même

Un sondage plus petit interroge $n = 400$ électeurs choisis au hasard. Le vrai soutien pour une candidate est $p = 0{,}5$ .

Quelle est l'erreur type de la fréquence observée $\hat{p}$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Contrôle qualité dans un café

Les machines qui remplissent les gobelets sont surveillées grâce à la moyenne de petits échantillons. Une moyenne trop éloignée de la cible, mesurée en erreurs types, déclenche une alarme.

Exemple:

Une machine remplit des gobelets avec $\mu = 250$ mL et $\sigma = 8$ mL. Un contrôleur mesure 16 gobelets, donc l'erreur type vaut $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Essaie par toi-même

Les 16 gobelets ont une moyenne $\bar{x} = 246$ mL. La machine est réglée sur $\mu = 250$ mL avec $\sigma = 8$ mL.

Quel est le score z de cette moyenne d'échantillon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Préparer une étude médicale

Avant une étude, les chercheurs choisissent la taille de l'échantillon pour que l'erreur type soit assez petite. À cause de la racine carrée, diviser l'erreur par deux demande quatre fois plus de patients.

Exemple:

La tension artérielle a $\sigma = 20$ mmHg. Avec 25 patients, l'erreur type vaut $20 / 5 = 4$ mmHg ; avec 100 patients, $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Essaie par toi-même

Des chercheurs veulent que l'erreur type de la tension moyenne soit de 2 mmHg. L'écart-type de la population est $\sigma = 20$ mmHg.

De combien de patients ont-ils besoin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

De $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ on tire $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Points clés

1Un paramètre ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) décrit la population et il est fixe ; une statistique ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) vient d'un échantillon et varie d'un échantillon à l'autre
2La distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ a pour moyenne $\mu$ et pour erreur type $\sigma / \sqrt{n}$
3Théorème central limite : pour $n \geq 30$ (environ), la moyenne d'échantillon suit presque une loi normale quelle que soit la forme de la population ; si la population suit une loi normale, pour tout $n$
4Pour une probabilité sur une moyenne d'échantillon, utilise $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ et la table de la loi normale
5La fréquence observée $\hat{p}$ a pour moyenne $p$ et pour erreur type $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; elle suit presque une loi normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$
6Les grands échantillons donnent des estimations plus précises : multiplier la taille par quatre divise l'erreur type par deux

Questions fréquentes

Pourquoi l'erreur type utilise-t-elle $\sqrt{n}$ et pas $n$ ?

La variance d'une moyenne de

n

valeurs indépendantes vaut

\sigma^2 / n

. L'erreur type en est la racine carrée :

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. C'est pourquoi il faut quatre fois plus de valeurs pour diviser l'erreur par deux.

Le nombre 30 est-il magique ?

Non, c'est une règle pratique. Pour une population déjà proche d'une loi normale, des échantillons bien plus petits suffisent ; pour une population très asymétrique (comme les revenus), il faut parfois plus de 30. Essaie dans le simulateur : la population asymétrique demande un

n

plus grand que le dé.

Quelle est la différence entre écart-type et erreur type ?

L'écart-type

\sigma

mesure à quel point les valeurs isolées varient. L'erreur type

\sigma / \sqrt{n}

mesure à quel point une statistique, comme la moyenne d'échantillon, varie d'un échantillon à l'autre. Pour

n > 1

, l'erreur type est toujours plus petite.

La taille de la population compte-t-elle ?

Très peu, tant que l'échantillon est une petite partie de la population (moins d'environ 10 %). Un échantillon aléatoire de 1000 personnes est à peu près aussi précis pour une ville que pour un pays entier. Ce qui compte, c'est la taille de l'échantillon

n

Glossaire

Paramètre: Nombre qui décrit toute une population, comme $\mu$ , $\sigma$ ou $p$ ; souvent inconnu
Statistique: Nombre calculé à partir d'un échantillon, comme $\bar{x}$ ou $\hat{p}$ ; il change d'un échantillon à l'autre
Distribution d'échantillonnage: Distribution d'une statistique sur tous les échantillons aléatoires possibles de même taille $n$
Erreur type: Écart-type d'une distribution d'échantillonnage, par exemple $\sigma / \sqrt{n}$ pour la moyenne d'échantillon
Théorème central limite: Pour $n$ grand, la distribution d'échantillonnage de la moyenne suit presque une loi normale, quelle que soit la forme de la population
Fréquence observée: Proportion de succès dans un échantillon, $\hat{p} = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$

Carte des formules

Moyenne de la moyenne d'échantillon

\mu_{\bar{x}} = \mu

Les moyennes d'échantillons sont centrées sur la moyenne de la population

Erreur type de la moyenne

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersion des moyennes d'échantillons ; diminue quand $n$ augmente

Score z d'une moyenne d'échantillon

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

À utiliser avec la table quand $n \geq 30$ ou que la population suit une loi normale

Erreur type d'une fréquence

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modèle normal si $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

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Guide de l'enseignant: Distributions d'échantillonnage

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Distribution d'échantillonnage de la moyenne xˉ\bar{x}xˉ

Distribution d'échantillonnage de la fréquence p^\hat{p}p^​

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Sondages électoraux

Contrôle qualité dans un café

Préparer une étude médicale

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Moyenne de la moyenne d'échantillon

Erreur type de la moyenne

Score z d'une moyenne d'échantillon

Erreur type d'une fréquence

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