Guide de l'enseignant: Diagrammes à tiges et feuilles

Apprends à construire et à lire un diagramme à tiges et feuilles, à y trouver la médiane, le mode et l'étendue, et à comparer deux groupes avec un diagramme dos à dos.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques Statistiques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Construire à partir d'une liste de données un diagramme à tiges et feuilles ordonné avec une légende
Lire des valeurs, le minimum, le maximum et le nombre de valeurs sur un diagramme à tiges et feuilles
Trouver la médiane, le mode et l'étendue directement sur un diagramme à tiges et feuilles
Comparer deux groupes à l'aide d'un diagramme dos à dos
Décider quand des tiges dédoublées rendent un diagramme plus lisible

Prérequis

• Valeur de position des dizaines et des unités (et des dixièmes pour les légendes décimales)
• Diagrammes à points et tableaux de fréquences (leçons Diagrammes à points et Tableaux de fréquences)
• Histogrammes et classes (leçon Histogrammes)
• Médiane, mode et étendue d'une série, et boîtes à moustaches pour comparer des groupes (leçon Diagrammes en boîte (Boîte à moustaches))

Amorces de discussion

1. À ton avis, pourquoi cette représentation s'appelle-t-elle diagramme à tiges et feuilles ?
2. Quelle information un diagramme à tiges et feuilles garde-t-il qu'un histogramme perd ?
3. Pourquoi les feuilles doivent-elles être rangées avant de chercher la médiane ?
4. Pourrais-tu faire un diagramme à tiges et feuilles de 500 valeurs ? Serait-il encore utile ?
5. Un horaire de bus écrit l'heure une fois et les minutes de départ à côté. En quoi cela ressemble-t-il à un diagramme à tiges et feuilles ?

Idées reçues courantes

La tige dont la ligne est la plus longue contient les plus grandes valeurs

Remédiation: Souligne que la longueur d'une ligne est un effectif (combien de valeurs), pas une grandeur. Couche le diagramme et compare-le à un histogramme : une barre haute signifie beaucoup de valeurs, pas de grandes valeurs.

La médiane est la tige du milieu ou la feuille du milieu d'une ligne

Remédiation: Fais compter les feuilles une par une depuis le haut, en les barrant, jusqu'au rang $\frac{n + 1}{2}$ . Compare ensuite avec la tige du milieu pour montrer qu'elles diffèrent en général.

Les feuilles de gauche d'un diagramme dos à dos se lisent de gauche à droite, donc $3 \mid 7$ devient 37

Remédiation: Demande aux élèves de réécrire quelques entrées de gauche sous forme de nombres à l'aide de la légende, toujours en partant de la tige vers l'extérieur.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner un modèle où les tiges sont déjà écrites pour que les élèves placent seulement les feuilles
• Commencer avec 8 à 10 valeurs à deux chiffres sans répétition
• Laisser les élèves barrer les feuilles en comptant jusqu'à la médiane

Pour les élèves au niveau:

• Construire des diagrammes à partir de listes non rangées de 15 à 20 valeurs et trouver la médiane, le mode et l'étendue
• Comparer deux groupes avec un diagramme dos à dos et écrire une phrase sur le centre et une sur la dispersion
• Utiliser une légende décimale comme $4 \mid 7 = 4{,}7$

Pour les élèves avancés:

• Décider quand des tiges dédoublées aident et redessiner un diagramme avec elles
• Tracer une boîte à moustaches à partir d'un diagramme à tiges et feuilles en trouvant le résumé à cinq nombres
• Recueillir des données réelles (par exemple des tailles ou des résultats sportifs) et argumenter sur la représentation qui les montre le mieux

Alignement aux standards

6.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.4)
Représenter des données numériques sur une droite graduée, notamment par des diagrammes à points, des histogrammes et des boîtes à moustaches
6.SP.B.5.C (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)
Donner des mesures de tendance centrale (médiane et/ou moyenne) et de dispersion, et décrire l'allure générale des données
7.SP.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.7.SP.B.4)
Utiliser des mesures de tendance centrale et de dispersion de données issues d'échantillons aléatoires pour comparer informellement deux populations

Ressources de la leçon

visualDiagramme à points, histogramme et boîte à moustaches des mêmes données
Comparer les notes de la leçon dans trois autres représentations et discuter de ce que le diagramme à tiges et feuilles garde et que les autres perdent
activityTemps de réaction de la classe
Les élèves mesurent leur temps de réaction en rattrapant une règle, puis construisent au tableau un diagramme à tiges et feuilles de la classe avec une légende décimale
worksheetComparaison dos à dos
Deux séries de données (par exemple les longueurs de saut de deux groupes) à placer dans un diagramme dos à dos, avec des questions sur les médianes et les étendues

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un diagramme à tiges et feuilles montre chaque valeur d'une série de données tout en montrant sa forme. Chaque nombre est séparé en deux parties :

La tige est formée de tous les chiffres sauf le dernier (pour un nombre à deux chiffres, le chiffre des dizaines)
La feuille est le dernier chiffre (le chiffre des unités)

Les tiges sont écrites une seule fois, dans une colonne, de la plus petite à la plus grande. Les feuilles de chaque tige sont écrites sur une ligne à droite, rangées de la plus petite à la plus grande. Une légende indique comment lire une entrée.

Voici les notes de 15 élèves à un contrôle : 52, 58, 61, 63, 67, 67, 70, 74, 75, 78, 81, 84, 86, 90, 95.

\begin{array}{r|l} \text{Tige} & \text{Feuilles} \\ \hline 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

Légende :

5 \mid 2 = 52

Chaque feuille est une valeur, donc le nombre de feuilles est le nombre de valeurs (ici 15). Couché sur le côté, le diagramme ressemble à un histogramme avec les classes 50-59, 60-69, etc., mais contrairement à l'histogramme, tu peux encore lire chaque note.

Exemples résolus

Construis un diagramme à tiges et feuilles de ces notes : 74, 58, 86, 61, 90, 67, 52, 78, 70, 84, 63, 95, 67, 75, 81.

Choisis les tiges

La plus petite note est 52 et la plus grande 95, donc les chiffres des dizaines vont de 5 à 9 → Tiges : 5, 6, 7, 8, 9

Écris chaque chiffre des unités comme feuille à côté de sa tige

74 donne la feuille 4 sur la tige 7, 58 donne la feuille 8 sur la tige 5, et ainsi de suite pour les 15 notes → 15 feuilles écrites

Range les feuilles de chaque ligne

\begin{array}{r|l} 5 & 2~8 \\ 6 & 1~3~7~7 \\ 7 & 0~4~5~8 \\ 8 & 1~4~6 \\ 9 & 0~5 \end{array}

→ Diagramme à tiges et feuilles ordonné

Ajoute une légende et vérifie le nombre

Légende :

5 \mid 2 = 52

. Compte les feuilles :

2 + 4 + 4 + 3 + 2 = 15

→ 15 feuilles pour 15 notes

Réponse: Le diagramme a les tiges 5 à 9 avec les feuilles rangées 2 8 / 1 3 7 7 / 0 4 5 8 / 1 4 6 / 0 5 et la légende $5 \mid 2 = 52$ .

Erreurs courantes

Écrire les feuilles dans l'ordre des données (par exemple 6 | 7 1 7 3)

Pourquoi c'est faux: Le diagramme montre encore la forme, mais compter jusqu'à la médiane ou repérer les valeurs répétées ne marche que si chaque ligne est rangée.

Correct: Réécris toujours chaque ligne avec les feuilles de la plus petite à la plus grande : 6 | 1 3 7 7.

Oublier la légende ou ne pas en tenir compte

Pourquoi c'est faux: La même entrée $4 \mid 7$ peut signifier 47, 4,7 ou 470. Sans légende, le lecteur doit deviner.

Correct: Écris toujours une légende comme $4 \mid 7 = 4{,}7$ secondes et lis chaque valeur avec elle.

Sauter une tige qui n'a pas de feuille

Pourquoi c'est faux: Si aucune valeur n'est comprise entre 30 et 39 et que la ligne de la tige 3 est supprimée, le trou dans les données disparaît et la forme paraît fausse.

Correct: Écris toutes les tiges de la plus petite à la plus grande, même si une ligne reste vide.

Lire la partie gauche d'un diagramme dos à dos dans le mauvais sens (lire $3 \mid 7$ comme 37)

Pourquoi c'est faux: À gauche, la feuille est écrite avant la tige, mais la tige reste le chiffre des dizaines.

Correct: Lis les feuilles de gauche en partant de la tige : la feuille 3 à côté de la tige 7 vaut 73. La légende d'un diagramme dos à dos le montre.

Pourquoi c'est important

Le diagramme à tiges et feuilles permet d'organiser rapidement à la main une petite ou moyenne série de données :

Aucune donnée perdue : contrairement à un histogramme ou à une boîte à moustaches, chaque valeur d'origine peut être relue sur le diagramme
La forme d'un coup d'œil : la longueur de chaque ligne montre où les données se regroupent et où elles sont rares
Le classement offert : une fois les feuilles rangées, la série est triée, donc la médiane, le mode et l'étendue se trouvent facilement
Comparer des groupes : un diagramme dos à dos place deux séries sur les mêmes tiges, par exemple les notes de deux classes ou les températures de deux villes

Les journalistes sportifs s'en servent pour les points par match, les médecins pour le pouls, et beaucoup d'horaires de bus écrivent l'heure une fois et les minutes de départ à côté, exactement l'idée des tiges et des feuilles.

Applications dans le monde réel

Points par match au basket

Les entraîneurs et les journalistes sportifs utilisent des diagrammes à tiges et feuilles pour montrer les points d'un joueur sur une saison sans perdre aucun match.

Exemple:

Les points d'un joueur sur 12 matchs :

\begin{array}{r|l} 0 & 8~9 \\ 1 & 2~4~4~7 \\ 2 & 0~1~5~6 \\ 3 & 3~8 \end{array}

Légende :

1 \mid 2 = 12

points (la tige 0 contient les valeurs à un chiffre 8 et 9).

1Essaie par toi-même

Utilise le diagramme des 12 matchs du joueur ci-dessus.

Quelle est la médiane du nombre de points par match ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul de la médiane :

Comparer les températures de deux villes

Les services météo comparent des villes avec des diagrammes dos à dos : les mêmes tiges au milieu, une ville de chaque côté.

Exemple:

Températures maximales du jour en °C :

\begin{array}{r|c|l} \text{Ville A} & \text{Tige} & \text{Ville B} \\ \hline 9~6 & 0 & \\ 8~5~3~1 & 1 & 4~7 \\ 2~0 & 2 & 0~3~5~7~8 \\ & 3 & 1~2~4 \end{array}

Légende :

6 \mid 0 = 6

°C pour la ville A,

1 \mid 4 = 14

°C pour la ville B. La ville A a 8 jours, la ville B a 10 jours.

2Essaie par toi-même

Utilise le diagramme dos à dos des deux villes ci-dessus.

De combien de degrés la médiane de la ville B dépasse-t-elle celle de la ville A ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris médiane B moins médiane A :

Pouls au repos

Les infirmières scolaires et les médecins notent le pouls dans des diagrammes à tiges et feuilles pour voir tout de suite quelles valeurs sont habituelles et lesquelles sont inhabituelles.

Exemple:

Pouls au repos de 12 élèves en battements par minute :

\begin{array}{r|l} 6 & 2~5~8 \\ 7 & 0~1~4~4~9 \\ 8 & 3~6 \\ 9 & 0~7 \end{array}

Légende :

7 \mid 4 = 74

battements par minute.

3Essaie par toi-même

Utilise le diagramme du pouls ci-dessus.

Quelle est l'étendue des pouls ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul de l'étendue :

Points clés

1Un diagramme à tiges et feuilles sépare chaque valeur en une tige (tous les chiffres sauf le dernier) et une feuille (le dernier chiffre)
2Les tiges forment une colonne de la plus petite à la plus grande, les feuilles de chaque ligne sont rangées, et chaque diagramme a besoin d'une légende comme $5 \mid 2 = 52$
3Chaque feuille est une valeur, donc le nombre de feuilles est le nombre de valeurs et chaque valeur peut être relue
4Comme les données sont rangées, on trouve la médiane en comptant les feuilles, le mode est une feuille répétée sur une ligne et l'étendue est la dernière valeur moins la première
5Un diagramme dos à dos partage les tiges entre deux groupes : les feuilles de gauche se lisent en partant de la tige
6Les tiges dédoublées (feuilles 0-4 et 5-9 sur des lignes séparées) montrent mieux la forme quand les données n'utilisent que peu de tiges

Questions fréquentes

Quelle est la tige d'un nombre à un chiffre comme 7 ?

La tige est 0 et la feuille est 7, donc 7 s'écrit

0 \mid 7

. Ainsi les valeurs à un chiffre tiennent dans le même diagramme que les valeurs à deux chiffres.

Comment représenter des nombres décimaux ou à trois chiffres ?

Le dernier chiffre reste la feuille et la légende indique ce qu'elle signifie. Pour 4,7 secondes, utilise

4 \mid 7 = 4{,}7

; pour 125 grammes,

12 \mid 5 = 125

Quelle est la différence entre un diagramme à tiges et feuilles et un histogramme ?

Les deux montrent combien de valeurs tombent dans chaque classe. Un histogramme ne montre que les effectifs, alors qu'un diagramme à tiges et feuilles garde chaque valeur, donc tu peux encore trouver exactement la médiane, le mode et l'étendue.

Quand faut-il dédoubler les tiges ?

Quand presque toutes les données n'utilisent que deux ou trois tiges, les lignes deviennent très longues. En séparant chaque tige en feuilles 0-4 et 5-9, on double le nombre de lignes et la forme apparaît plus clairement.

Glossaire

Diagramme à tiges et feuilles: Une représentation qui sépare chaque valeur en une tige et une feuille, de sorte que chaque valeur est visible et que la forme des données apparaît
Tige: Tous les chiffres d'une valeur sauf le dernier, écrits une seule fois dans la colonne de gauche (dans 74, la tige est 7)
Feuille: Le dernier chiffre d'une valeur, écrit sur la ligne de sa tige (dans 74, la feuille est 4)
Légende: Une indication qui montre comment lire une entrée, par exemple $5 \mid 2 = 52$ ou $5 \mid 2 = 5{,}2$
Diagramme dos à dos: Deux diagrammes à tiges et feuilles qui partagent une colonne de tiges, avec les feuilles d'un groupe à gauche et celles de l'autre à droite
Tiges dédoublées: Chaque tige sert pour deux lignes, la première avec les feuilles 0 à 4 et la deuxième avec les feuilles 5 à 9

Carte des formules

Lire une entrée (légende tige | feuille)

7 \mid 4 = 7 \times 10 + 4 = 74

Pour des données à deux chiffres, la valeur est la tige fois 10 plus la feuille. Vérifie toujours la légende : avec $7 \mid 4 = 7{,}4$, la feuille est le chiffre des dixièmes.

Rang de la médiane

\text{rang} = \frac{n + 1}{2}

Compte les feuilles depuis le haut jusqu'à ce rang. S'il se termine par ,5, prends la moyenne des deux valeurs de part et d'autre.

Étendue

\text{étendue} = \text{dernière valeur} - \text{première valeur}

La plus grande valeur est la dernière feuille de la dernière tige et la plus petite est la première feuille de la première tige.

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

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Pouls au repos

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Lire une entrée (légende tige | feuille)

Rang de la médiane

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