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Guide de l'enseignant: Graphiques trompeurs

Apprends à repérer les graphiques qui trompent l'œil : axes tronqués, échelles étirées, intervalles inégaux, images trop grandes et diagrammes circulaires qui ne font pas 100 %.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques Statistiques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Repérer les axes tronqués, les échelles étirées ou écrasées et les intervalles inégaux sur un graphique
  • Calculer combien de fois plus haute paraît une barre sur un axe tronqué et comparer avec le vrai rapport
  • Calculer la vraie variation en pourcentage à partir de valeurs lues sur un graphique
  • Expliquer pourquoi des images agrandies dans deux ou trois directions exagèrent les différences
  • Vérifier qu'un diagramme circulaire fait 100 % et repérer les périodes choisies à dessein
Prérequis
  • • Lire des diagrammes en barres et des graphiques linéaires (leçons Lire les diagrammes en barres et Lire les graphiques linéaires)
  • • Lire des diagrammes circulaires (leçon Lire les diagrammes circulaires)
  • • Calculer des pourcentages et des rapports
  • • Aire d'un rectangle
Amorces de discussion
  • 1. Où as-tu déjà vu un graphique qui faisait paraître quelque chose plus grand ou plus petit que la réalité ?
  • 2. Pourquoi une entreprise voudrait-elle que son axe commence à 95 au lieu de 0 ?
  • 3. Un graphique avec des nombres vrais peut-il quand même mentir ? Comment ?
  • 4. Quand serait-il honnête qu'une courbe ne commence pas à 0 ?
  • 5. Pourquoi nos yeux comparent-ils l'aire des images plutôt que leur hauteur ?
Idées reçues courantes

Si les nombres d'un graphique sont exacts, le graphique ne peut pas être trompeur

Remédiation: Montre côte à côte les deux courbes de visiteurs de cette leçon. Les nombres sont identiques, mais l'une montre une fusée et l'autre une ligne plate. Demande laquelle correspond à une variation de 5 %.

Une barre qui paraît deux fois plus haute veut dire deux fois plus

Remédiation: Cache le bas d'un diagramme en barres honnête avec une feuille pour ne laisser voir que le haut. Les élèves voient les barres paraître soudain très différentes, alors que les valeurs n'ont pas changé.

La variation en pourcentage est la différence divisée par le plus grand nombre

Remédiation: Prends le prix d'un goûter : de 2 à 3, c'est une hausse de 50 % ; de 3 à 2, une baisse de 33 %. La base est toujours la valeur de départ.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer uniquement par des diagrammes en barres et demander : où commence l'axe ?
  • • Donner dans un tableau les hauteurs dessinées et les vraies valeurs, puis les comparer
  • • Utiliser des variations entières (10 %, 20 %, 25 %, 50 %)

Pour les élèves au niveau:

  • • Calculer des rapports apparents sur des axes tronqués et de vraies variations en pourcentage
  • • Trouver l'erreur dans des diagrammes circulaires et des pictogrammes
  • • Redessiner honnêtement un graphique trompeur

Pour les élèves avancés:

  • • Retrouver où commence un axe tronqué à partir des hauteurs dessinées des barres
  • • Explorer les graphiques en 3D : un coefficient k multiplie le volume par k3k^3
  • • Analyser un vrai graphique de presse et écrire un court compte rendu sur ce qu'il cache
Alignement aux standards
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes de rapports et de pourcentages en plusieurs étapes, y compris les hausses et baisses en pourcentage

  • 6.SP.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5)

    Résumer des séries de données numériques en lien avec leur contexte

  • 7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)

    Résoudre des problèmes avec des dessins à l'échelle de figures géométriques, y compris calculer des aires réelles à partir d'un dessin

Ressources de la leçon
  • visualMêmes données, deux axes

    Deux courbes des mêmes nombres de visiteurs : un axe commence à 980, l'autre à 0

  • activityDétectives des graphiques

    Les élèves apportent un graphique tiré des informations ou d'une publicité, trouvent le piège et calculent la vraie variation

  • activityFaire paraître grand

    Des groupes reçoivent les mêmes petites données ; la moitié dessine un graphique honnête, l'autre le plus spectaculaire possible, puis on compare

  • worksheetRépare le graphique

    Redessiner honnêtement cinq graphiques trompeurs et écrire une phrase juste sur chacun

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un graphique trompeur présente des nombres exacts d'une manière qui donne une fausse impression. Les données peuvent être vraies alors que l'image ment.
Les pièges les plus fréquents :
  • Axe tronqué : l'axe vertical ne commence pas à 0, donc de petites différences paraissent énormes
  • Échelle étirée ou écrasée : la même variation paraît raide ou plate selon l'écart entre les nombres de l'axe
  • Intervalles inégaux : les pas sur un axe ne sont pas égaux (par exemple 2000, 2010, 2020, 2022), on ne peut donc pas comparer les pentes
  • Pictogrammes et graphiques en 3D : une icône deux fois plus haute *et* deux fois plus large a une aire 4 fois plus grande
  • Diagrammes circulaires faux : la somme des secteurs doit faire exactement 100 %
  • Période choisie à dessein : on ne montre que la partie des données qui soutient une affirmation
  • Légendes manquantes : pas de titre, pas d'unités ou pas d'échelle, donc impossible de vérifier
Le remède : oublie l'image un instant et calcule avec les nombres :
variation en pourcentage=nouveau−ancienancien×100 %\text{variation en pourcentage} = \frac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\,\%

Exemples résolus

Lors d'un vote à l'école, le jus A a obtenu 52 voix et le jus B 48 voix. Une affiche montre un diagramme en barres dont l'axe vertical commence à 45. Combien de fois plus haute paraît la barre A, et de combien A est-il vraiment plus grand ?
1

Trouve les hauteurs dessinées au-dessus du début de l'axe

A : 52−45=752 - 45 = 7, B : 48−45=348 - 45 = 3 → Hauteurs dessinées 7 et 3
2

Compare les hauteurs dessinées

73≈2,33\frac{7}{3} \approx 2{,}33 → La barre A paraît environ 2,3 fois plus haute
3

Compare les vraies valeurs

5248≈1,08\frac{52}{48} \approx 1{,}08 → A vaut en réalité environ 1,08 fois B
4

Écris la vraie différence en pourcentage

52−4848×100 %≈8,3 %\frac{52 - 48}{48} \times 100\,\% \approx 8{,}3\,\% → Environ 8,3 % de voix en plus

Erreurs courantes

Juger la taille d'une différence uniquement d'après la hauteur des barres

Pourquoi c'est faux: Si l'axe commence à 45 au lieu de 0, les barres ne montrent que la partie au-dessus de 45. Une barre pour 52 paraît alors plus de deux fois plus haute qu'une barre pour 48.

Correct: Regarde toujours où commence l'axe. Compare les vraies valeurs : 5248≈1,08\frac{52}{48} \approx 1{,}08, seulement environ 8 % de plus.

Diviser par la nouvelle valeur pour calculer une variation en pourcentage

Pourquoi c'est faux: Une variation en pourcentage se compare toujours au point de départ. De 1000 à 1050, diviser par 1050 donne environ 4,8 %, ce qui n'est pas la variation.

Correct: Divise la variation par l'ancienne valeur : 1050−10001000×100 %=5 %\frac{1050 - 1000}{1000} \times 100\,\% = 5\,\%.

Croire qu'une courbe raide signifie toujours une grande variation

Pourquoi c'est faux: La raideur apparente d'une courbe dépend de l'échelle. Un axe étiré fait ressembler 5 % à une fusée, un axe écrasé rend 25 % presque plat (voir le graphique du loyer ci-dessus, dont l'axe monte jusqu'à 10000).

Correct: Lis les nombres au début et à la fin de la courbe et calcule la variation toi-même.

Comparer des pictogrammes ou des graphiques en 3D seulement par la hauteur

Pourquoi c'est faux: Nos yeux jugent l'aire (ou le volume) d'une image. Une icône deux fois plus haute et deux fois plus large a une aire 4 fois plus grande ; un pavé en 3D dont toutes les arêtes doublent a un volume 8 fois plus grand.

Correct: Compare les nombres que représentent les images, pas la taille des images.

Pourquoi c'est important

Les graphiques sont partout : dans les informations, les publicités, les sondages électoraux, les rapports d'entreprise et sur les réseaux sociaux. Beaucoup sont faits pour convaincre, pas seulement pour informer.
  • Publicité : une batterie qui tient 21 heures au lieu de 20 peut être dessinée avec une barre deux fois plus haute
  • Actualité et politique : une avance de 2 points dans un sondage peut ressembler à un raz-de-marée
  • Argent : un fonds d'investissement peut ne montrer que ses deux meilleures années et cacher cinq mauvaises
  • Science et santé : un axe étiré peut rendre spectaculaire un effet minuscule, un axe écrasé peut cacher un vrai problème
Si tu connais les pièges, tu peux vérifier les nombres en quelques secondes et te faire ta propre opinion. C'est l'une des compétences mathématiques les plus utiles au quotidien.

Applications dans le monde réel

Publicités et arguments de vente

Les publicités utilisent souvent des diagrammes en barres avec un axe tronqué pour qu'un petit avantage paraisse énorme.

Exemple:

Une publicité montre 21 heures pour sa batterie et 20 heures pour une concurrente. Si l'axe commence à 19, les barres mesurent 2 et 1 unités, donc l'une paraît deux fois plus longue.

1Essaie par toi-même

La batterie A tient 21 heures et la batterie B tient 20 heures. L'axe du diagramme en barres de la publicité commence à 19.

De quel pourcentage la batterie A tient-elle vraiment plus longtemps que la batterie B ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule le pourcentage : variation divisée par la valeur de B, fois 100

Fonds d'investissement et périodes choisies

Un fonds peut se donner une belle image en ne montrant que les années où son cours a monté.

Exemple:

Le cours d'un fonds valait 80 en 2019, est tombé à 50 en 2022, puis est remonté à 60 en 2024. La publicité ne montre que 2022 à 2024 : "+20 % !"

2Essaie par toi-même

Le cours du fonds valait 80 début 2019 et 60 fin 2024. La publicité ne montre que les deux dernières années, quand le cours est passé de 50 à 60.

Quelle est la vraie variation en pourcentage sur toute la période, de 80 à 60 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : (nouveau - ancien) / ancien × 100

Infographies avec des images

Les infographies des médias montrent souvent des quantités sous forme d'images (sacs, pièces, personnages) et agrandissent les images dans les deux sens.

Exemple:

Une école a collecté 2 tonnes de papier à recycler l'an dernier et 3 tonnes cette année. L'infographie rend le deuxième sac 1,5 fois plus haut et 1,5 fois plus large.

3Essaie par toi-même

La quantité est passée de 2 à 3 tonnes, le vrai rapport est donc 1,5. L'image du sac de cette année est 1,5 fois plus haute et 1,5 fois plus large.

Combien de fois plus grande est l'aire de la nouvelle image de sac ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie les deux coefficients :

Points clés

  • 1Un graphique trompeur peut montrer des nombres vrais et donner quand même une fausse impression
  • 2Vérifie toujours où commence l'axe vertical : un axe qui ne commence pas à 0 fait paraître grandes de petites différences
  • 3Une échelle étirée ou écrasée change la raideur apparente d'une courbe, alors lis les nombres plutôt que la pente
  • 4Vérifie que les pas de chaque axe sont égaux et que la période n'a pas été choisie à dessein
  • 5Les images qui grandissent dans deux sens exagèrent : hauteur et largeur doublées donnent une aire 4 fois plus grande
  • 6Les secteurs d'un diagramme circulaire doivent faire 100 % ; calcule la vraie variation avec nouveau−ancienancien×100 %\frac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\,\%

Questions fréquentes

Un graphique dont l'axe ne commence pas à 0 est-il toujours trompeur ?

Pas toujours. Pour des courbes comme la température du corps ou le cours d'une action, commencer près des données peut aider à voir de petites variations, à condition que l'axe soit bien gradué. Pour un diagramme en barres, c'est presque toujours trompeur, car la longueur de la barre est le message.

Comment trouver la vraie variation en pourcentage sur un graphique ?

Lis la valeur de départ et la valeur finale sur l'axe, puis calcule nouveau−ancienancien×100 %\frac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\,\%. Ne tiens pas compte de la raideur ou de la hauteur de l'image.

Pourquoi un graphique en 3D est-il pire qu'un graphique plat ?

Les effets 3D ajoutent de la profondeur, donc nos yeux comparent des volumes. Un pavé dont toutes les arêtes sont deux fois plus longues a un volume 23=82^3 = 8 fois plus grand. Les diagrammes circulaires en 3D inclinent aussi le disque, et les secteurs de devant paraissent plus grands que ceux de derrière.

Un graphique trompeur peut-il ne contenir que des nombres vrais ?

Oui, et c'est justement ce qui le rend piégeux. Tous les nombres peuvent être exacts alors que l'échelle, les images ou la période choisie racontent une fausse histoire. C'est pourquoi tu dois toujours vérifier les nombres toi-même.

Glossaire

Graphique trompeur
Un graphique qui donne une fausse impression des données, même si ses nombres sont vrais
Axe tronqué
Un axe qui ne commence pas à 0, de sorte que seule la partie haute de chaque valeur est dessinée
Échelle
Les nombres d'un axe et l'écart entre eux ; elle décide de la taille apparente d'une variation
Intervalle
Le pas entre deux nombres voisins sur un axe ; un axe honnête a des intervalles égaux
Variation en pourcentage
La variation divisée par la valeur de départ, fois 100 %
Sélection biaisée
Ne montrer que la partie des données qui soutient une affirmation et cacher le reste

Carte des formules

Variation en pourcentage

nouveau−ancienancien×100 %\frac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\,\%

La vraie taille d'une variation, quelle que soit l'allure du graphique

Hauteur apparente des barres sur un axe tronqué

a−sb−s\frac{a - s}{b - s}

Barres pour les valeurs a et b sur un axe qui commence à s

Image agrandie de k dans les deux sens

aire×k2\text{aire} \times k^2

Deux fois plus haute et deux fois plus large : aire 4 fois plus grande ; en 3D le volume est multiplié par $k^3$

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