Problèmes de régression

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Le modèle $\hat{y} = 6x + 48$ prédit la note au test $\hat{y}$ (points) à partir des heures de révision par semaine $x$ . Que signifie la pente $6$ ?
1. a)Un élève qui révise 0 heure obtient 6 points
2. b)Chaque heure de révision en plus par semaine va avec environ 6 points de plus, en moyenne
3. c)6 élèves ont participé à l'étude
4. d)La note vaut toujours 6 fois le nombre d'heures
Réponse: Chaque heure de révision en plus par semaine va avec environ 6 points de plus, en moyenne
La pente est un taux : pour chaque heure de révision en plus par semaine, la note prédite augmente d'environ $6$ points, en moyenne. Le nombre $48$ est l'ordonnée à l'origine, pas la pente.
2.
Avec $\hat{y} = 6x + 48$ (note au test selon les heures de révision par semaine $x$ ), prédis la note d'un élève qui révise $4$ heures par semaine.
Réponse: 72
$\hat{y} = 6 \times 4 + 48 = 24 + 48 = 72$ points.
3.
Une droite de régression a été ajustée sur des données avec des valeurs de $x$ de $2$ à $10$ . Pour quelle valeur de $x$ une prédiction est-elle une extrapolation ?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
Réponse: 15
Seul $15$ est en dehors de l'intervalle de $2$ à $10$ , donc y prédire est une extrapolation. $5$ , $7{,}5$ et $9$ sont dans les données (interpolation).
4.
Un point de données a pour valeur observée $y = 80$ , et la droite de régression prédit $\hat{y} = 74$ . Quel est son résidu ?
Réponse: 6
$e = y - \hat{y} = 80 - 74 = 6$ . Le résidu est positif, donc le point est $6$ unités au-dessus de la droite.
5.
Une régression de la note d'examen en fonction du temps de révision a $R^2 = 0{,}64$ . Quelle affirmation est correcte ?
1. a)64 % des points sont exactement sur la droite
2. b)64 % de la variation des notes est expliquée par la relation linéaire avec le temps de révision
3. c)Le coefficient de corrélation vaut r = 0,64
4. d)Chaque heure de révision en plus rapporte 0,64 point
Réponse: 64 % de la variation des notes est expliquée par la relation linéaire avec le temps de révision
$R^2 = 0{,}64$ signifie que $64\,\%$ de la variation des notes est expliquée par la relation linéaire avec le temps de révision. Cela ne dit rien du nombre de points sur la droite, et $r = \pm 0{,}8$ , pas $0{,}64$ .
6.
La corrélation entre le nombre de pas par jour et les calories brûlées est $r = 0{,}7$ . Combien vaut $R^2$ ? Donne-le sous forme décimale.
Réponse: 0.49
$R^2 = r^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49$ : environ $49\,\%$ de la variation des calories brûlées est expliquée par le nombre de pas.
7.
Le modèle d'un concessionnaire pour les voitures d'occasion est $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , où $\hat{y}$ est le prix en € et $x$ l'âge en années (données pour des voitures de 0 à 8 ans). Que signifie l'ordonnée à l'origine $18000$ ?
1. a)Pour une voiture neuve (âge 0), le prix prédit est d'environ 18000 €
2. b)Une voiture neuve vaut 1500 €
3. c)Après 18000 ans, la voiture ne vaut plus rien
4. d)La voiture perd 18000 € chaque année
Réponse: Pour une voiture neuve (âge 0), le prix prédit est d'environ 18000 €
Pour $x = 0$ (une voiture neuve), le modèle prédit $\hat{y} = 18000$ €. L'âge $0$ fait partie des données, donc cette interprétation a du sens. Le $1500$ est la pente : la valeur prédite baisse d'environ $1500$ € par an.
8.
Un café utilise $\hat{y} = 110 - 3x$ pour prédire le nombre de boissons chaudes vendues à partir de la température du matin $x$ en °C (données de $0$ à $20$ °C). Combien de boissons chaudes prédit-il pour $12$ °C ?
Réponse: 74
$\hat{y} = 110 - 3 \times 12 = 110 - 36 = 74$ boissons chaudes. Comme $12$ °C est dans l'étendue des données, c'est une interpolation.
9.
Dans un modèle de durées de livraison, une livraison a un résidu de $-5$ minutes. Qu'est-ce que cela signifie ?
1. a)La livraison a duré 5 minutes de plus que prévu
2. b)Le modèle a prédit une durée de 5 minutes
3. c)La pente du modèle vaut -5
4. d)La livraison a duré 5 minutes de moins que prévu
Réponse: La livraison a duré 5 minutes de moins que prévu
$e = y - \hat{y} = -5$ signifie $y = \hat{y} - 5$ : la livraison a duré $5$ minutes de moins que prévu, donc le point est au-dessous de la droite.
10.
La hauteur d'une plante est modélisée par $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (cm, $x$ en semaines). De combien de cm la hauteur prédite augmente-t-elle en $4$ semaines de plus ?
Réponse: 10
Variation de $\hat{y}$ = pente $\times$ variation de $x$ = $2{,}5 \times 4 = 10$ cm.
11.
Le modèle du café est $\hat{y} = 110 - 3x$ (boissons chaudes, $x$ en °C). Par une matinée à $15$ °C, le café a vendu $75$ boissons chaudes. Calcule le résidu de cette matinée.
Réponse: 10
1. Combien vaut $3 \times 15$ ? 45
2. Quel est le nombre prédit de boissons chaudes $\hat{y}$ ? 65
3. Quel est le résidu $y - \hat{y}$ ? 10
12.
Pour les données des heures de révision, la somme des carrés des résidus est $SS_{\text{res}} = 40$ et la variation totale des notes est $SS_{\text{tot}} = 400$ . Calcule $R^2$ et indique quel pourcentage de la variation des notes la droite explique.
Réponse: 0.9
1. Combien vaut $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{40}{400}$ ? 0.1
2. Combien vaut $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ ? 0.9
3. Quel pourcentage de la variation la droite explique-t-elle (le nombre seulement) ? 90
13.
Le modèle $\hat{y} = 6x + 48$ a été ajusté sur des élèves qui révisent de $1$ à $5$ heures par semaine (tests sur $100$ points). Prédis la note pour $12$ heures et dis de quel type de prédiction il s'agit.
Réponse: 120
1. Combien vaut $6 \times 12$ ? 72
2. Quelle note le modèle prédit-il pour 12 heures ? 120
3. Cette prédiction est-elle une interpolation ou une extrapolation ? extrapolation
14.
Le modèle du concessionnaire est $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (prix en €, $x$ = âge en années, données de 0 à 8 ans). Une voiture de $4$ ans a été vendue 13000 €. Calcule le prix prédit et le résidu. La voiture a-t-elle été vendue au-dessus ou au-dessous du prix prédit ?
Réponse: 1000
1. Combien vaut $1500 \times 4$ ? 6000
2. Quel est le prix prédit $\hat{y}$ (le nombre seulement) ? 12000
3. Quel est le résidu (le nombre seulement) ? 1000
4. La voiture a-t-elle été vendue au-dessus ou au-dessous du prix prédit ? au-dessus
15.
Une élève compte les pompes $y$ qu'elle arrive à faire après $x$ semaines d'entraînement :
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Détermine la droite de régression $\hat{y} = mx + b$ par la méthode des moindres carrés.
Réponse: y = 2.2x + 0.5
1. Combien vaut la moyenne $\bar{x}$ ? 2.5
2. Combien vaut la moyenne $\bar{y}$ ? 6
3. Combien vaut $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ ? 11
4. Combien vaut $\sum(x-\bar{x})^2$ ? 5
5. Combien vaut la pente $m$ ? 2.2
6. Combien vaut l'ordonnée à l'origine $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 0.5
16.
Le modèle du café est $\hat{y} = 110 - 3x$ (boissons chaudes, $x$ en °C, données de $0$ à $20$ °C), avec $R^2 = 0{,}9$ . Par une matinée à $8$ °C, le café a vendu $90$ boissons chaudes. Calcule la prédiction, le résidu, le coefficient de corrélation $r$ et le pourcentage de variation expliquée.
Réponse: -0.95
1. Que prédit le modèle pour $8$ °C ? 86
2. Quel est le résidu de cette matinée ? 4
3. Combien vaut $r$ , arrondi au centième ? -0.95
4. Quel pourcentage de la variation des boissons chaudes vendues est expliqué (nombre seul) ? 90
17.
Un marchand de glaces a recueilli des données pour des températures de $10$ à $30$ °C. La droite de régression du nombre de glaces vendues par heure en fonction de la température a pour pente $1{,}5$ , et les moyennes sont $\bar{x} = 20$ °C et $\bar{y} = 50$ glaces. Calcule l'ordonnée à l'origine, prédis les ventes à $30$ °C, puis le résidu d'une heure à $30$ °C avec $61$ glaces vendues.
Réponse: -4
1. Combien vaut $1{,}5 \times 20$ ? 30
2. Combien vaut l'ordonnée à l'origine $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 20
3. Que prédit la droite à $30$ °C ? 65
4. Quel est le résidu de l'heure avec $61$ glaces ? -4
18.
Avec $\hat{y} = 6x + 48$ (note selon les heures de révision par semaine, données de $1$ à $5$ heures), combien d'heures de révision faut-il, selon le modèle, pour une note prédite de $84$ ? Peut-on faire confiance à cette réponse ?
Réponse: 6
1. Soustrais l'ordonnée à l'origine : combien vaut $84 - 48$ ? 36
2. Divise par la pente : combien vaut $x$ ? 6
3. $x = 6$ est-il une interpolation ou une extrapolation ? extrapolation