Guide de l'enseignant: Problèmes de régression

Résous des problèmes complets de régression : interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine, prédire, repérer l'extrapolation, calculer des résidus, expliquer r et R².

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Quiz de classe

10 questions sur Régression. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine d'une droite de régression dans le contexte et les unités d'un problème
Utiliser une équation de régression pour faire des prédictions et les classer en interpolation ou extrapolation
Calculer et interpréter des résidus comme valeur observée moins valeur prédite
Calculer la droite des moindres carrés pour un petit jeu de données et l'utiliser dans un problème complet
Expliquer r et R² en contexte sans affirmer de causalité

Prérequis

• Nuages de points et droite d'ajustement
• Faire des prédictions avec une droite de régression
• Résidus et coefficient de détermination R²
• Coefficient de corrélation (r)

Amorces de discussion

1. Un modèle prédit une note de 120 sur 100. Qu'est-ce qui ne va pas, le calcul ou l'utilisation du modèle ?
2. Quand l'ordonnée à l'origine a-t-elle un sens, et quand n'est-elle qu'un nombre qui place la droite ?
3. Deux élèves ont tous les deux un résidu de 4 points. Ont-ils aussi bien réussi le test l'un que l'autre ?
4. Un modèle a R² = 0,9. Cela veut-il dire que la température pousse les gens à acheter moins de boissons chaudes ? Que pourrait-il se passer d'autre ?

Idées reçues courantes

La pente dit exactement de combien y augmente pour chaque x

Remédiation: Montre le nuage de points : les points sont dispersés autour de la droite. Exige les mots "prédit" ou "en moyenne" dans chaque interprétation de la pente.

Une équation de régression marche pour n'importe quelle valeur de x

Remédiation: Remplace x par une valeur très loin des données (12 heures de révision, 50 °C) et fais juger le résultat impossible par les élèves. Marque l'étendue des données sur l'axe des x avant chaque prédiction.

R² est le pourcentage de points proches de la droite

Remédiation: Calcule R² = 1 - SS_res/SS_tot avec la classe pour montrer qu'on compare la variation restante à la variation totale, sans compter de points.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Donner l'équation de régression et travailler seulement les prédictions et les phrases d'interprétation
• Utiliser des amorces de phrases : "Pour chaque ___ de plus, la valeur prédite de ___ varie de ___"
• Marquer l'étendue des données sur le nuage de points avant de prédire

Pour les élèves au niveau:

• Calculer la droite des moindres carrés pour 4 ou 5 points avec des moyennes entières
• Calculer les résidus de plusieurs points et dire lesquels sont surestimés ou sous-estimés
• Expliquer R² dans une phrase complète avec les unités du problème

Pour les élèves avancés:

• Montrer que la droite de régression passe toujours par le point moyen
• Comparer deux modèles pour les mêmes données à l'aide de R² et des résidus
• Trouver un vrai jeu de données en ligne, ajuster une droite avec un outil numérique et rédiger un rapport critique sur ses limites

Alignement aux standards

HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Représenter des données de deux variables quantitatives dans un nuage de points et décrire comment elles sont liées
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Évaluer de façon informelle l'ajustement d'une fonction en représentant et en analysant les résidus
HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)
Interpréter la pente (taux de variation) et l'ordonnée à l'origine (terme constant) d'un modèle linéaire dans le contexte des données
HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Calculer (avec un outil numérique) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguer corrélation et causalité

Ressources de la leçon

visualNuages de points interactifs
Deux jeux de données avec la droite de régression, son équation, r et le résidu du point touché
activityFiche d'identité d'un modèle
Les groupes reçoivent un jeu de données et rédigent un court rapport : pente, ordonnée à l'origine, une interpolation, un avertissement d'extrapolation, un résidu et R²
worksheetLa régression en contexte
Problèmes variés issus des sciences, du sport et de l'économie, avec réponses rédigées en phrases complètes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un problème de régression te donne des données réelles (ou une équation de régression déjà ajustée) et te demande ce que le modèle dit de la situation. Chaque problème de ce type utilise la même boîte à outils :

\hat{y} = mx + b

**Pente $m$ en contexte** : quand $x$ augmente de 1 unité, la valeur prédite de $y$ varie de $m$ unités, en moyenne.
**Ordonnée à l'origine $b$ en contexte** : la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ . Elle n'a un vrai sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données.
Prédiction : remplace $x$ dans l'équation pour obtenir la valeur prédite $\hat{y}$ .
Interpolation ou extrapolation : une prédiction pour un $x$ situé dans l'étendue des données est une interpolation (en général fiable) ; en dehors, c'est une extrapolation (risquée).
Résidu : $e = y - \hat{y}$ (valeur observée moins valeur prédite). Positif signifie que le point est au-dessus de la droite.
r et R² : $r$ donne le sens et la force de la relation linéaire ; $R^2 = r^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ .

Une bonne réponse utilise toujours les unités et les mots de l'énoncé, pas seulement des nombres.

Exemples résolus

Un café a noté pendant cinq matinées la température extérieure

x

(en °C, de

0

20

) et le nombre

y

de boissons chaudes vendues. La droite de régression est

\hat{y} = 110 - 3x

. Interprète la pente et l'ordonnée à l'origine.

Repérer la pente et l'ordonnée à l'origine

\hat{y} = -3x + 110

, donc

m = -3

b = 110

→

m = -3

b = 110

Interpréter la pente avec les unités

Pour chaque degré de plus, le nombre prédit de boissons chaudes varie de

-3

→ Environ 3 boissons chaudes de moins par degré supplémentaire, en moyenne

Interpréter l'ordonnée à l'origine avec les unités

Pour

x = 0

°C, le modèle prédit

\hat{y} = 110 - 3 \times 0 = 110

→ Environ 110 boissons chaudes par une matinée à 0 °C

Vérifier que l'ordonnée à l'origine a un sens

0

°C est une température réelle et elle est dans l'étendue des données, de

0

20

→ L'ordonnée à l'origine a ici un vrai sens

Réponse: Pente : pour chaque hausse de 1 °C, le café devrait vendre environ 3 boissons chaudes de moins. Ordonnée à l'origine : par une matinée à 0 °C, le modèle prédit environ 110 boissons chaudes, ce qui a du sens car 0 °C fait partie des données.

Erreurs courantes

Donner la pente comme un simple nombre : "la pente vaut 6"

Pourquoi c'est faux: Un nombre sans contexte ne répond pas à la question. La pente est un taux de variation : elle a besoin d'unités et du mot "prédit" ou "en moyenne", car les vrais points sont dispersés autour de la droite.

Correct: Dis : "Pour chaque heure de révision en plus par semaine, la note prédite augmente d'environ 6 points."

Faire confiance à une prédiction très loin des données (extrapolation)

Pourquoi c'est faux: La droite n'a été ajustée que sur l'étendue observée. En dehors, la tendance peut changer et la droite peut donner des valeurs impossibles, comme une note de 120 sur 100 ou un nombre de ventes négatif.

Correct: Vérifie d'abord l'étendue de $x$ . À l'intérieur : interpolation. À l'extérieur : extrapolation, donc dis que la prédiction n'est pas fiable.

Calculer le résidu à l'envers : $\hat{y} - y$

Pourquoi c'est faux: Le signe s'inverse alors, et "au-dessus de la droite" devient "au-dessous de la droite". Par convention, le résidu est la valeur observée moins la valeur prédite.

Correct: Utilise toujours $e = y - \hat{y}$ : positif signifie que le modèle a sous-estimé, négatif qu'il a surestimé.

Lire $R^2 = 0{,}9$ comme "90 % des points sont sur la droite" ou "le modèle a raison 90 % du temps"

Pourquoi c'est faux: $R^2$ mesure quelle part de la variation de $y$ la relation linéaire explique. Tous les points peuvent être en dehors de la droite et $R^2$ valoir quand même 0,9.

Correct: Dis : "90 % de la variation de $y$ est expliquée par la relation linéaire avec $x$ ."

Pourquoi c'est important

La régression permet de transformer des données en décisions :

Les commerces et les cafés prévoient les quantités à commander à partir de la météo.
Les établissements scolaires étudient le lien entre temps de travail et résultats, et repèrent les élèves qui font mieux ou moins bien que prévu.
Les médecins et les scientifiques utilisent la régression pour estimer des doses, des vitesses de croissance et des risques.
Les concessionnaires et les banques estiment de combien la valeur d'une voiture baisse chaque année.

Dans tous ces cas, la difficulté n'est pas le calcul mais l'interprétation : dire ce que signifie la pente, savoir quand une prédiction est fiable et expliquer la qualité de l'ajustement. C'est exactement ce que demandent les examens et le monde du travail, et c'est ce que cette leçon entraîne.

Applications dans le monde réel

Laboratoire de SVT : la croissance d'une plante

En SVT, les élèves mesurent une jeune pousse chaque semaine et ajustent une droite de régression de la hauteur en fonction du temps pour décrire sa vitesse de croissance.

Exemple:

Pour $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (hauteur en cm, $x$ en semaines, données de la semaine 0 à la semaine 8), la pente indique que la plante grandit d'environ 2,5 cm par semaine et l'ordonnée à l'origine qu'elle mesurait environ 4 cm au début des mesures.

1Essaie par toi-même

Le modèle de la classe est $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ , avec la hauteur $\hat{y}$ en cm et le temps $x$ en semaines (données de la semaine 0 à la semaine 8).

Quelle hauteur le modèle prédit-il à la semaine 6 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $x$ par $6$ dans l'équation :

Délais de livraison d'une boutique en ligne

Les sociétés de livraison modélisent la durée de livraison en fonction de la distance pour annoncer une heure d'arrivée et repérer les trajets plus lents que prévu.

Exemple:

Avec $\hat{y} = 12 + 3x$ (minutes, $x$ = distance en km, données de 1 à 10 km), une livraison de 4 km devrait durer $12 + 12 = 24$ minutes.

2Essaie par toi-même

Le modèle est $\hat{y} = 12 + 3x$ (durée en minutes, $x$ = distance en km). Une livraison de 6 km a en réalité duré 33 minutes.

Quel est le résidu de cette livraison ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résidu = durée réelle moins durée prédite :

Tests de batterie de smartphones

Les testeurs mettent en relation le temps d'écran et la consommation de la batterie, et indiquent la force du lien pour que les lecteurs sachent à quel point la droite de régression est fiable.

Exemple:

Si le temps d'écran et la batterie consommée ont $r = 0{,}8$ , alors $R^2 = 0{,}64$ : 64 % de la variation de la consommation est expliquée par le temps d'écran.

3Essaie par toi-même

Dans un test de batterie, la corrélation entre la température de la pièce et l'autonomie est $r = -0{,}9$ .

Quel pourcentage de la variation de l'autonomie est expliqué par la relation linéaire avec la température de la pièce ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Élève r au carré et convertis en pourcentage :

Points clés

1Interprète la pente comme un taux avec des unités : quand $x$ augmente de 1, la valeur prédite de $y$ varie de $m$ , en moyenne
2L'ordonnée à l'origine est la valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ ; elle n'a de sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données
3Pour prédire, remplace $x$ dans $\hat{y} = mx + b$ ; dans l'étendue des données c'est une interpolation, en dehors une extrapolation risquée
4Un résidu est la valeur observée moins la valeur prédite, $e = y - \hat{y}$ : positif au-dessus de la droite, négatif au-dessous
5 $r$ indique le sens et la force ; $R^2 = r^2$ est la part de la variation de $y$ expliquée par la droite
6Un bon ajustement montre un lien, pas une cause : réponds toujours avec les mots et les unités de l'énoncé

Questions fréquentes

L'ordonnée à l'origine a-t-elle toujours un sens ?

Non. C'est la valeur prédite de

y

pour

x = 0

. Si

x = 0

est impossible (une personne de 0 cm) ou très loin des données (un logement de 0 m²), l'ordonnée à l'origine n'est qu'un nombre qui place la droite, pas quelque chose à interpréter.

Jusqu'où puis-je prédire en dehors des données ?

Il n'y a pas de distance sûre. Un peu en dehors de l'étendue, cela peut encore aller si la tendance continue clairement, mais toute extrapolation doit être signalée comme incertaine, et il ne faut pas utiliser les prédictions lointaines (ou les valeurs impossibles).

Quelle est la différence entre r et R² ?

r

est compris entre

-1

1

et indique le sens (signe) et la force d'une relation linéaire.

R^2 = r^2

est compris entre

0

1

et indique quelle part de la variation de

y

la droite explique.

R^2

perd le signe : regarde la pente pour connaître le sens.

Si R² est élevé, est-ce que x cause y ?

Pas forcément. Un

R^2

élevé dit seulement que la droite s'ajuste bien aux données. Une variable confondante ou le hasard peuvent créer la tendance ; seule une expérience contrôlée peut montrer une relation de cause à effet.

Glossaire

Valeur prédite $\hat{y}$: La valeur de $y$ donnée par la droite de régression pour un $x$ choisi
Pente en contexte: La variation prédite de $y$ , dans les unités de $y$ , quand $x$ augmente de 1 unité
Ordonnée à l'origine en contexte: La valeur prédite de $y$ pour $x = 0$ , qui n'a de sens que si $x = 0$ est réaliste et proche des données
Interpolation: Prédire $y$ pour un $x$ situé dans l'étendue des données
Extrapolation: Prédire $y$ pour un $x$ situé en dehors de l'étendue des données ; souvent peu fiable
Coefficient de détermination R²: La part de la variation de $y$ expliquée par la relation linéaire avec $x$ ; égal à $r^2$ pour une droite

Carte des formules

Droite de régression

\hat{y} = mx + b

Remplace x pour obtenir la valeur prédite

Pente des moindres carrés

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Calculée à partir des écarts aux moyennes

Ordonnée à l'origine des moindres carrés

b = \bar{y} - m\bar{x}

La droite passe toujours par le point moyen

Résidu

e = y - \hat{y}

Observé moins prédit ; positif au-dessus de la droite

Coefficient de détermination

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ est la somme des carrés des résidus, $SS_{\text{tot}}$ la somme des carrés des écarts de y à sa moyenne

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Laboratoire de SVT : la croissance d'une plante

Délais de livraison d'une boutique en ligne

Tests de batterie de smartphones

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Droite de régression

Pente des moindres carrés

Ordonnée à l'origine des moindres carrés

Résidu

Coefficient de détermination

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