Transformations des courbes trigonométriques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est l'amplitude de $y = -4\sin(2x) + 1$ ?
1. a) $5$
2. b) $-4$
3. c) $2$
4. d) $4$
Réponse: $4$
$A = -4$ , donc l'amplitude vaut $|-4| = 4$ . Le signe moins réfléchit seulement l'onde par rapport à sa ligne médiane.
2.
Quelle est la période de $y = 3\cos(4x) - 2$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/2
$B = 4$ , donc la période vaut $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . $A = 3$ et $D = -2$ ne changent pas la période.
3.
Comment la courbe de $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ est-elle décalée par rapport à $y = \cos(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ vers le bas
2. b) $\frac{\pi}{3}$ vers la droite
3. c) $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche
4. d) $\frac{\pi}{3}$ vers le haut
Réponse: $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche
$x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , donc $C = -\frac{\pi}{3}$ : la courbe se déplace de $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche. Un décalage dans la parenthèse n'est jamais vertical.
4.
La ligne médiane de $y = 2\sin(x - \pi) + 5$ est la droite $y = D$ . Que vaut $D$ ?
Réponse: 5
La translation verticale est $D = 5$ , la ligne médiane est donc $y = 5$ et l'onde varie entre $5 - 2 = 3$ et $5 + 2 = 7$ .
5.
Trouve le maximum et le minimum de $y = 3\sin(x) + 2$ .
Réponse: 5, -1
1. Quelle est l'amplitude $|A|$ ? 3
2. Quelle est la valeur de la ligne médiane $D$ ? 2
3. Quel est le maximum $D + |A|$ ? 5
4. Quel est le minimum $D - |A|$ ? -1
6.
Pour $y = \sin(4x)$ , trouve la période, le pas des points clés et l'abscisse du premier maximum après $x = 0$ . (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: pi/8
1. Quelle est la période $\frac{2\pi}{B}$ ? pi/2
2. Quel est le pas $\frac{\text{période}}{4}$ ? pi/8
3. En quel x se trouve le premier maximum ? pi/8
7.
Quel est le déphasage de $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ ?
1. a) $\frac{\pi}{4}$ vers la gauche
2. b) $\frac{\pi}{4}$ vers la droite
3. c) $\frac{\pi}{2}$ vers la droite
4. d) $\pi$ vers la droite
Réponse: $\frac{\pi}{4}$ vers la droite
$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$ , donc $C = \frac{\pi}{4}$ : un décalage de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite, pas de $\frac{\pi}{2}$ .
8.
Pour $y = -2\cos(x) + 3$ , trouve l'amplitude, le maximum, le minimum et la valeur de y en $x = 0$ .
Réponse: 1
1. Quelle est l'amplitude ? 2
2. Quel est le maximum $D + |A|$ ? 5
3. Quel est le minimum $D - |A|$ ? 1
4. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? 1
9.
Les points clés de $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$ commencent en $x = \frac{\pi}{6}$ . Quelle est l'abscisse du maximum (le deuxième point clé) ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: 5pi/12
Période $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , pas $\frac{\pi}{4}$ . Maximum en $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ .
10.
Utilise les points clés de $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) - 1$ pour trouver son premier maximum et sa valeur minimale. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: -4
1. Où commence la période ( $x = C$ ) ? pi/2
2. Quel est le pas (période divisée par 4) ? pi/2
3. En quel x se trouve le premier maximum ? pi
4. Quelle est la valeur maximale ? 2
5. Quelle est la valeur minimale ? -4
11.
Réécris $y = \cos(3x + \pi)$ sous la forme $y = \cos(B(x - C))$ et trouve le déphasage et la période. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: 2pi/3
1. Que vaut $B$ ? 3
2. Que vaut $C$ ? (une valeur négative signifie un décalage vers la gauche) -pi/3
3. Quelle est la période ? 2pi/3
12.
Quelle équation a pour amplitude $2$ , pour période $\pi$ et pour ligne médiane $y = -1$ ?
1. a) $y = 2\sin(\frac{1}{2}x) - 1$
2. b) $y = 2\sin(\pi x) - 1$
3. c) $y = 2\sin(2x) - 1$
4. d) $y = -\sin(2x) + 2$
Réponse: $y = 2\sin(2x) - 1$
$\frac{2\pi}{B} = \pi$ donne $B = 2$ , avec $A = 2$ et $D = -1$ : $y = 2\sin(2x) - 1$ . $\sin(\pi x)$ a pour période $2$ et $\sin(\frac{1}{2}x)$ a pour période $4\pi$ .
13.
Trouve les valeurs de y des points clés de $y = -2\sin(x) + 1$ en $x = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$ .
Réponse: 3
1. Que vaut $y$ en $x = 0$ ? 1
2. Que vaut $y$ en $x = \frac{\pi}{2}$ ? -1
3. Que vaut $y$ en $x = \pi$ ? 1
4. Que vaut $y$ en $x = \frac{3\pi}{2}$ ? 3
14.
Trace $y = 4\cos(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})) - 1$ avec les points clés : trouve la période, le pas, l'abscisse du minimum et la valeur minimale. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.)
Réponse: -5
1. Quelle est la période ? 4pi
2. Quel est le pas ? pi
3. La période commence en $x = \frac{\pi}{2}$ . En quel x se trouve le minimum (deux pas plus loin) ? 5pi/2
4. Quelle est la valeur minimale ? -5
15.
Pour $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ , trouve où commence la période, le pas et le premier maximum. (Tape pi pour $\pi$ , par exemple -3pi/4.)
Réponse: 4
1. En quel x commence la période ( $C$ ) ? -pi/6
2. Quel est le pas ? pi/4
3. En quel x se trouve le premier maximum ? pi/12
4. Quelle est la valeur maximale ? 4
16.
Pour $y = -3\sin(\frac{\pi}{4}(x - 1)) + 2$ , quelle est l'abscisse du premier minimum à droite de $x = 1$ ?
Réponse: 3
Période $8$ , pas $2$ , début $x = 1$ . Le sinus est réfléchi ( $A = -3$ ), le motif est donc ligne médiane, minimum, ... : le premier minimum est en $x = 1 + 2 = 3$ , où $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2 = -1$ .
17.
La courbe de $y = \sin(x)$ est d'abord décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite, PUIS contractée horizontalement d'un facteur $2$ . Quelle équation obtient-on ?
1. a) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
2. b) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
3. c) $y = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}))$
4. d) $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$
Réponse: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
Après le décalage : $\sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Contracter remplace $x$ par $2x$ : $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$ . La contraction divise aussi le décalage par deux.
18.
Quelle est la valeur de $y = 5\cos(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$ en $x = \frac{\pi}{8}$ ?
Réponse: -2
$x = \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}$ est le deuxième point clé ; pour le cosinus, il est sur la ligne médiane, donc $y = D = -2$ . Directement : $5\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - 2 = 0 - 2 = -2$ .