Guide de l'enseignant: Transformations des courbes trigonométriques

Trace toute fonction sinus ou cosinus de la forme y = A sin(B(x - C)) + D : le rôle de chaque paramètre, le bon ordre des transformations et la méthode des cinq points clés.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Lire l'amplitude, la période, le déphasage et la ligne médiane dans $y = A\sin(B(x - C)) + D$ et la forme cosinus
Mettre $B$ en facteur pour trouver le bon déphasage
Appliquer les transformations dans le bon ordre : d'abord dilater, ensuite translater
Tracer un sinus ou un cosinus transformé avec la méthode des cinq points clés, y compris quand $A < 0$
Donner l'ensemble de définition et l'ensemble image d'une fonction sinus ou cosinus transformée

Prérequis

• Tracer la fonction sinus et tracer la fonction cosinus (courbes de référence et leurs points clés)
• Amplitude et période ( $|A|$ et $\frac{2\pi}{B}$ )
• Les radians et les multiples de $\pi$ sur l'axe des abscisses
• Mettre un nombre en facteur dans une parenthèse, par exemple $2x - \pi = 2(x - \frac{\pi}{2})$

Amorces de discussion

1. Pourquoi un signe plus dans $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ déplace-t-il la courbe vers la gauche ?
2. Si tu translates d'abord et que tu contractes ensuite, que devient la taille du décalage ?
3. Comment transformer une courbe sinus en courbe cosinus avec seulement un déphasage ?
4. Une grande roue et une courbe de marée sont deux ondes. Que signifient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ dans chaque cas ?

Idées reçues courantes

Lire directement le décalage de $\sin(Bx - k)$ comme $k$

Remédiation: Fais égaler la parenthèse à $0$ et résoudre : $2x - \pi = 0$ donne $x = \frac{\pi}{2}$ . Montre ensuite que cela correspond à la mise en facteur de $B$ .

Penser que le maximum est égal à l'amplitude

Remédiation: Trace $y = 2\sin(x) + 3$ : amplitude $2$ , mais le maximum vaut $5$ . L'amplitude se mesure depuis la ligne médiane, pas depuis l'axe des abscisses.

Croire qu'un $A$ négatif rend l'amplitude négative

Remédiation: Compare $y = 2\sin(x)$ et $y = -2\sin(x)$ dans le même repère : même hauteur, courbes symétriques. L'amplitude est une distance, donc $|A|$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Modifier un seul paramètre à la fois, en commençant par $D$ et $A$
• Donner un tableau des points clés avec les valeurs de x déjà remplies
• Réussir les trois premières cibles de l'animation à curseurs avant tout croquis

Pour les élèves au niveau:

• Tracer des équations avec les quatre paramètres, y compris la mise en facteur de $B$
• Esquisser la même onde en version sinus et en version cosinus
• Donner l'ensemble de définition et l'ensemble image pour chaque courbe

Pour les élèves avancés:

• Réécrire $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{3})) + 1$ comme un sinus avec un autre déphasage
• Traiter un $B$ négatif grâce à la parité des fonctions
• Construire un modèle pour des données réelles (marées, durée du jour) et le tracer

Alignement aux standards

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur la courbe du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k)
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Tracer des fonctions trigonométriques en montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques d'amplitude, de fréquence et de ligne médiane données

Ressources de la leçon

visualAtteins la cible
Déplace les curseurs A, B, C et D jusqu'à ce que l'onde recouvre six courbes cibles en pointillés de difficulté croissante
activityRelais des points clés
En équipes, chaque élève remplit une étape : paramètres, période, valeurs de x, valeurs de y, croquis
worksheetDe l'équation à la courbe
Douze équations à tracer avec cinq points clés, avec des réflexions et la mise en facteur de B

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une courbe sinus ou cosinus transformée a la forme générale

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{ou} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

Chacun des quatre paramètres modifie la courbe de référence

y = \sin(x)

y = \cos(x)

d'une seule façon (dans cette leçon

B > 0

) :

Paramètre	Effet	Caractéristique
$A$	dilatation ou contraction verticale ; si $A < 0$ , la courbe est aussi réfléchie par rapport à sa ligne médiane	amplitude $= \lvert A \rvert$
$B$	contraction ( $B > 1$ ) ou dilatation ( $B < 1$ ) horizontale	période $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	translation horizontale : vers la droite si $C > 0$ , vers la gauche si $C < 0$	déphasage $= C$
$D$	translation verticale	ligne médiane $y = D$

L'ordre : d'abord dilater, ensuite translater

Dans la parenthèse, on contracte ou dilate d'abord avec

B

, puis on translate de

C

. À l'extérieur, on dilate d'abord avec

A

(et on réfléchit si

A < 0

), puis on translate de

D

. **Mets toujours

B

en facteur** avant de lire le déphasage :

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, donc le décalage vaut

\frac{\pi}{2}

, pas

\pi

La méthode des cinq points clés

1.Une période commence en $x = C$ et se termine en $x = C + \text{période}$ .
2.Partage-la en quatre pas égaux : $\text{pas} = \frac{\text{période}}{4}$ .
3.Place les valeurs de y. Sinus : ligne médiane, maximum, ligne médiane, minimum, ligne médiane. Cosinus : maximum, ligne médiane, minimum, ligne médiane, maximum. Si $A < 0$ , échange maximum et minimum.
4.Maximum $= D + |A|$ , minimum $= D - |A|$ , valeur sur la ligne médiane $= D$ .

Ensemble de définition : tous les nombres réels. Ensemble image :

[D - |A|,\ D + |A|]

Exemples résolus

Pour

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

, trouve l'amplitude, la période, le déphasage, la ligne médiane et l'ensemble image.

Comparer avec la forme générale

Compare avec

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Amplitude et période

Amplitude

= |3| = 3

, période

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Amplitude

3

, période

\pi

Déphasage et ligne médiane

C = \frac{\pi}{6} > 0

, donc décalage vers la droite ;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

vers la droite, ligne médiane

y = -1

Ensemble image

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Réponse: Amplitude $3$ , période $\pi$ , déphasage $\frac{\pi}{6}$ vers la droite, ligne médiane $y = -1$ , ensemble image $[-4, 2]$ .

Erreurs courantes

Lire le déphasage de $y = \sin(2x - \pi)$ comme $\pi$

Pourquoi c'est faux: Le décalage est le nombre soustrait à $x$ lui-même, pas à $2x$ . $B$ multiplie toute la parenthèse, il comprime donc aussi le décalage.

Correct: Mets d'abord $B$ en facteur : $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , le décalage est donc $\frac{\pi}{2}$ vers la droite.

Décaler $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ vers la droite

Pourquoi c'est faux: La forme générale contient $x - C$ . Ici $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , donc $C = -\frac{\pi}{3}$ est négatif.

Correct: Un signe plus dans la parenthèse signifie un décalage vers la gauche : $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche.

Commencer les points clés en $x = 0$ ou avancer d'une période entière

Pourquoi c'est faux: Après un déphasage, la période ne commence plus en $0$ , et les cinq points doivent partager UNE période en quatre parts égales.

Correct: Commence en $x = C$ et avance par pas de $\frac{\text{période}}{4}$ . Pour une période $\pi$ , le pas est $\frac{\pi}{4}$ .

Garder l'ordre habituel maximum/minimum quand $A < 0$

Pourquoi c'est faux: Un $A$ négatif réfléchit l'onde par rapport à sa ligne médiane : chaque maximum devient un minimum et inversement.

Correct: Pour $y = -2\sin(x)$ , le motif est ligne médiane, minimum, ligne médiane, maximum, ligne médiane. L'amplitude reste $2$ .

Pourquoi c'est important

Presque tous les phénomènes qui se répètent dans la nature et la technique se modélisent par un sinus ou un cosinus transformé, et les quatre paramètres ont toujours un sens concret :

Grande roue : le rayon est l'amplitude, la hauteur du centre la ligne médiane, un tour la période
Marées : la profondeur de l'eau monte et descend autour d'une profondeur moyenne environ toutes les 12 heures
Durée du jour : la durée du jour oscille autour de 12 heures avec une période de 365 jours
Son et électricité : l'amplitude est le volume ou la tension, la période fixe la hauteur du son ou la fréquence

Quand tu sais transformer une équation en croquis en une minute, tu lis directement dans la formule les valeurs les plus hautes et les plus basses et les moments où elles se produisent. C'est exactement ce que font les ingénieurs, les océanographes et les climatologues avec ces modèles.

Applications dans le monde réel

Hauteur dans une grande roue

La hauteur d'une nacelle sur une grande roue qui tourne est un cosinus transformé : le centre de la roue donne la ligne médiane et le rayon l'amplitude.

Exemple:

Une roue de rayon 20 m, dont le centre est à 22 m du sol, fait un tour toutes les 30 minutes. Une nacelle qui part du bas est à la hauteur $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ mètres après $t$ minutes, et la période vaut $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Essaie par toi-même

La hauteur de la nacelle est $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ mètres, avec $t$ en minutes.

À quelle hauteur au-dessus du sol se trouve la nacelle à son point le plus haut (en mètres) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Point le plus haut = ligne médiane + amplitude :

Les marées dans un port

Les capitaineries prévoient la profondeur de l'eau avec un modèle sinusoïdal de période environ 12 heures, pour que les navires sachent quand entrer au port.

Exemple:

La profondeur $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ mètres, $t$ heures après minuit, a pour ligne médiane 4 m, pour amplitude 1,5 m et pour période $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ heures. La profondeur oscille entre 2,5 m et 5,5 m.

2Essaie par toi-même

Un grand navire a besoin de la marée haute. La profondeur est $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ mètres, $t$ heures après minuit.

À quel moment $t$ (en heures après minuit) a lieu la première marée haute après $t = 3$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Début de la période plus un quart de période :

Heures de jour

Le nombre d'heures de jour au cours de l'année suit une sinusoïde de période 365 jours. La ligne médiane est à 12 heures, la durée du jour aux équinoxes.

Exemple:

Dans une ville du nord de l'Europe, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ heures, où $t$ est le numéro du jour de l'année. Le jour 80 (vers le 21 mars) est l'équinoxe de printemps, et la durée du jour oscille entre 8 et 16 heures.

3Essaie par toi-même

La durée du jour est $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ heures, où $t$ est le numéro du jour de l'année.

Quel jour de l'année le jour est-il le plus long ? Arrondis à un jour entier.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Début de la période plus un quart de période, arrondi :

Points clés

1Dans $y = A\sin(B(x - C)) + D$ : $|A|$ est l'amplitude, $\frac{2\pi}{B}$ la période, $C$ le déphasage et $y = D$ la ligne médiane
2D'abord dilater, ensuite translater : dans la parenthèse $B$ avant $C$ , à l'extérieur $A$ avant $D$
3Mets toujours $B$ en facteur avant de lire le déphasage : $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ décale de $C$ vers la droite, $x + C$ décale de $C$ vers la gauche
5Cinq points clés : début en $x = C$ , pas $= \frac{\text{période}}{4}$ . Sinus : ligne médiane, max, ligne médiane, min, ligne médiane ; cosinus : max, ligne médiane, min, ligne médiane, max ; $A < 0$ échange max et min
6L'ensemble de définition est l'ensemble des réels et l'ensemble image est $[D - |A|,\ D + |A|]$

Questions fréquentes

Pourquoi le déphasage de $\sin(2x - \pi)$ n'est-il pas $\pi$ ?

Parce que

B = 2

multiplie toute la parenthèse. Mets-le en facteur :

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. La période commence là où la parenthèse vaut

0

, en

x = \frac{\pi}{2}

, donc le décalage vaut

\frac{\pi}{2}

L'ordre des transformations compte-t-il vraiment ?

Oui, pour une translation et une dilatation dans la même direction. Si tu décales

\sin(x)

\frac{\pi}{2}

vers la droite et ENSUITE tu contractes d'un facteur

2

, tu obtiens

\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))

, un décalage de seulement

\frac{\pi}{4}

. Les changements horizontaux et verticaux ne s'influencent pas, tu peux donc traiter ces deux groupes dans n'importe quel ordre.

Les points clés fonctionnent-ils de la même façon pour le cosinus ?

Oui. Commence en

x = C

et avance par pas de

\frac{\text{période}}{4}

comme pour le sinus. Seul le motif des valeurs de y change : le cosinus fait maximum, ligne médiane, minimum, ligne médiane, maximum (ou l'inverse si

A < 0

Et si $B$ est négatif ?

Réécris d'abord la fonction. Le sinus est impair,

\sin(-\theta) = -\sin(\theta)

, donc

\sin(-2x) = -\sin(2x)

. Le cosinus est pair,

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

, donc

\cos(-2x) = \cos(2x)

. Ensuite

B > 0

et la méthode fonctionne comme d'habitude.

Glossaire

Amplitude: Distance entre la ligne médiane et un maximum ou un minimum : $|A|$
Période: Longueur horizontale d'un cycle complet : $\frac{2\pi}{B}$
Déphasage: Translation horizontale de la courbe : $C$ dans $x - C$ (vers la droite si positif, vers la gauche si négatif)
Ligne médiane: La droite horizontale $y = D$ à mi-chemin entre le maximum et le minimum (appelée aussi droite d'équilibre)
Points clés: Les cinq points qui partagent une période en quatre pas égaux : début, quart, moitié, trois quarts, fin
Réflexion: Retournement de l'onde par rapport à sa ligne médiane, provoqué par un $A$ négatif

Carte des formules

Forme générale

y = A\sin(B(x - C)) + D

Mêmes lettres pour le cosinus : $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Amplitude

|A|

Dilatation verticale ; $A < 0$ réfléchit aussi l'onde

Période

\frac{2\pi}{B}

Longueur d'un cycle

Déphasage et ligne médiane

C

y = D

Vers la droite si $C > 0$, vers la gauche si $C < 0$ ; vers le haut si $D > 0$, vers le bas si $D < 0$

Pas des points clés

\frac{\text{période}}{4}

Commence en $x = C$ et ajoute le pas quatre fois

Ensemble image

[D - |A|,\ D + |A|]

Du minimum au maximum

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

L'ordre : d'abord dilater, ensuite translater

La méthode des cinq points clés

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Hauteur dans une grande roue

Les marées dans un port

Heures de jour

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Forme générale

Amplitude

Période

Déphasage et ligne médiane

Pas des points clés

Ensemble image

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