Écrire l'équation d'une courbe sinusoïdale

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Une sinusoïde a un maximum de $8$ et un minimum de $2$ . Quelle est sa ligne médiane ?
1. a) $y = 10$
2. b) $y = 6$
3. c) $y = 3$
4. d) $y = 5$
Réponse: $y = 5$
$D = \frac{8 + 2}{2} = 5$ , donc la ligne médiane est $y = 5$ . ( $3$ est l'amplitude et $6$ la hauteur totale.)
2.
Une onde va d'un minimum de $1$ à un maximum de $9$ . Quelle est son amplitude ?
Réponse: 4
$A = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ . L'amplitude est la moitié de la hauteur totale.
3.
Une onde sinus a une période de $4\pi$ . Combien vaut $B$ dans $y = \sin(Bx)$ ?
Réponse: 1/2
$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ . Une longue période donne un petit $B$ .
4.
Une onde a un maximum en $x = 0$ . Quelle forme la décrit avec $C = 0$ ?
1. a) $y = A\cos(Bx) + D$
2. b) $y = A\sin(Bx) + D$
3. c) $y = Ax + D$
4. d) $y = A\tan(Bx) + D$
Réponse: $y = A\cos(Bx) + D$
$\cos(0) = 1$ est la plus grande valeur du cosinus, donc le cosinus commence à un maximum. Le sinus commence sur la ligne médiane, la tangente et une droite n'oscillent pas entre un maximum et un minimum.
5.
Une onde a un maximum de $6$ et un minimum de $-2$ . Trouve la ligne médiane $D$ et l'amplitude $A$ .
Réponse: $D = 2$ , $A = 4$
1. Quelle est la ligne médiane $D$ ? 2
2. Quelle est l'amplitude $A$ ? 4
6.
Le niveau de l'eau dans un port se répète toutes les $12$ heures. Combien vaut $B$ dans le modèle $y = A\cos(B(x - C)) + D$ avec $x$ en heures ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple pi/4.)
Réponse: pi/6
$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . Pas $12$ : la période va au dénominateur.
7.
Une onde a une amplitude de $2$ , la ligne médiane $y = 0$ , une période de $2\pi$ et un maximum en $x = \frac{\pi}{3}$ . Quelle équation convient ?
1. a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
4. d) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
Réponse: $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
$y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ donne $2\cos(0) = 2$ en $x = \frac{\pi}{3}$ . Avec $(x + \frac{\pi}{3})$ le maximum est en $-\frac{\pi}{3}$ , la version sinus y est sur la ligne médiane, et la dernière a une amplitude de $1$ et une période de $\pi$ .
8.
Une onde a un maximum de $5$ en $x = \frac{\pi}{6}$ , un minimum de $-1$ et une période de $\frac{2\pi}{3}$ . Écris-la sous la forme $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Réponse: $y = 3\cos\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2$
1. Combien vaut $D$ ? 2
2. Combien vaut $A$ ? 3
3. Combien vaut $B$ ? 3
4. Combien vaut $C$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) pi/6
9.
Une onde coupe sa ligne médiane $y = 0$ en montant en $x = \frac{\pi}{4}$ , a un maximum de $3$ et une période de $\pi$ . Écris-la sous la forme $y = A\sin(B(x - C)) + D$ .
Réponse: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
1. Combien vaut $A$ ? 3
2. Combien vaut $D$ ? 0
3. Combien vaut $B$ ? 2
4. Combien vaut $C$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) pi/4
10.
Quelle équation ne dessine PAS le même graphe que $y = 2\cos(x)$ ?
1. a) $y = 2\cos(x - 2\pi)$
2. b) $y = -2\cos(x - \pi)$
3. c) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Réponse: $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
En $x = 0$ : $2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ , $-2\cos(-\pi) = 2$ , $2\cos(-2\pi) = 2$ , mais $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$ . Ce dernier graphe est l'onde retournée $y = -2\cos(x)$ .
11.
Le graphe de $y = 4\sin(2x) + 1$ peut aussi s'écrire $y = 4\cos(2(x - C)) + 1$ . Quel est le plus petit $C$ positif ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple pi/3.)
Réponse: pi/4
$\sin(2x)$ est maximal quand $2x = \frac{\pi}{2}$ , donc $x = \frac{\pi}{4}$ . C'est un quart de la période $\pi$ . Donc $C = \frac{\pi}{4}$ .
12.
Une grande roue a un diamètre de $30$ m, son centre est à $18$ m du sol et elle fait un tour toutes les $6$ minutes. Tu montes en bas à $t = 0$ . Utilise $h(t) = A\cos(Bt) + D$ .
Réponse: 33
1. Combien vaut $D$ en m ? 18
2. Tu pars d'en bas, donc $A$ est négatif. Combien vaut $A$ ? -15
3. Combien vaut $B$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) pi/3
4. À quelle hauteur es-tu après $3$ minutes (en m) ? 33
13.
Une onde a un maximum en $(1, 7)$ et le minimum suivant en $(4, 1)$ . Écris-la sous la forme $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Réponse: $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}(x - 1)\right) + 4$
1. Quelle est la période ? 6
2. Combien vaut $B$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) pi/3
3. Combien vaut $A$ ? 3
4. Combien vaut $D$ ? 4
5. Combien vaut $C$ ? 1
14.
Dans un port, la marée haute est de $9$ m à 4 h et la marée basse suivante de $1$ m à 10 h. Modélise la profondeur par $y = A\cos(B(x - C)) + D$ ( $x$ en heures après minuit) et trouve la profondeur à 6 h.
Réponse: 7
1. Quelle est la période en heures ? 12
2. Combien vaut $A$ ? 4
3. Combien vaut $D$ ? 5
4. Combien vaut $B$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) pi/6
5. Quelle est la profondeur à 6 h (en m) ? 7
15.
Une onde a un maximum de $10$ en $x = 3$ et le minimum suivant de $2$ en $x = 7$ . Dans $y = A\sin(B(x - C)) + D$ avec $A > 0$ , quel est le plus petit $C$ positif ?
Réponse: 1
Demi-période $= 7 - 3 = 4$ , donc la période vaut $8$ et un quart de période vaut $2$ . L'onde coupe la ligne médiane en montant en $x = 3 - 2 = 1$ , donc $C = 1$ .
16.
Une masse au bout d'un ressort part de son point le plus bas, à $2$ cm du sol, à $t = 0$ . Son point le plus haut est à $12$ cm et une oscillation complète dure $4$ secondes. Quel modèle est correct ?
1. a) $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
2. b) $h = -7\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 5$
3. c) $h = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
4. d) $h = -5\cos(4t) + 7$
Réponse: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
$D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ , amplitude $= \frac{12 - 2}{2} = 5$ , $B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ , et $A = -5$ car elle part d'en bas : $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$ . Vérification : $t = 0$ donne $-5 + 7 = 2$ .
17.
Un graphe a un minimum de $-5$ en $x = 0$ , un maximum de $3$ et une période de $4\pi$ . Écris-le sous la forme $y = A\cos(Bx) + D$ (donc $C = 0$ ).
Réponse: $y = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$
1. Combien vaut $D$ ? -1
2. Quelle est l'amplitude ? 4
3. Le graphe commence à un minimum. Combien vaut $A$ ? -4
4. Combien vaut $B$ ? 1/2
18.
Une ville a $17$ heures de jour le jour le plus long (jour $172$ ) et $7$ heures le jour le plus court. Le cycle se répète tous les $365$ jours. Trouve $A$ , $D$ , $B$ et $C$ dans $y = A\cos(B(d - C)) + D$ .
Réponse: $y = 5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$
1. Combien vaut $A$ en heures ? 5
2. Combien vaut $D$ en heures ? 12
3. Combien vaut $B$ ? (Tape pi pour $\pi$ , par exemple 3pi/4.) 2pi/365
4. Combien vaut $C$ ? 172