Guide de l'enseignant: Écrire l'équation d'une courbe sinusoïdale

Lis le maximum, le minimum, la période et un point de départ sur une onde, puis écris y = A sin(B(x - C)) + D ou une équation en cosinus.

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Quiz de classe

10 questions sur Graphiques trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Lire le maximum, le minimum, la période et un point de départ sur le graphe d'une sinusoïde
Calculer A, B, C et D et écrire l'équation sous forme sinus ou cosinus
Écrire plusieurs équations équivalentes pour un même graphe et vérifier qu'elles coïncident
Construire des modèles sinusoïdaux à partir de données réelles (grande roue, marées, durée du jour, ressorts) et s'en servir pour prévoir des valeurs

Prérequis

• Tracer $y = \sin(x)$ et $y = \cos(x)$ (leçons sur la fonction sinus et la fonction cosinus)
• Amplitude et période : $|A|$ et $\frac{2\pi}{|B|}$ (leçon Amplitude et période)
• Déphasage et translation verticale (leçons Déphasage, Translation verticale et Transformations des courbes trigonométriques)
• Valeurs exactes du sinus et du cosinus pour les multiples de $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{4}$

Amorces de discussion

1. Deux camarades ont écrit des équations différentes pour le même graphe. Comment savoir qui a raison sans tracer ?
2. Pourquoi une grande roue qui part d'en bas donne-t-elle un A négatif dans un modèle en cosinus ?
3. La durée du jour est-elle vraiment une onde sinus parfaite ? Où le modèle pourrait-il se tromper ?
4. Si tu ne connais que deux maximums voisins d'une onde, que te faut-il encore pour écrire son équation ?

Idées reçues courantes

Un graphe a exactement une seule équation correcte

Remédiation: Fais écrire une équation en sinus à la moitié de la classe et une en cosinus à l'autre moitié pour le même graphe, puis trace les deux ensemble avec le traceur et montre qu'elles se superposent.

L'amplitude est la valeur maximale

Remédiation: Montre une onde de ligne médiane $y = 5$ qui va de $3$ à $7$ . Demande à quelle distance le sommet se trouve de la ligne médiane, pas de l'axe des abscisses.

B est égal à la période

Remédiation: Compare $\sin(2x)$ et $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ à l'écran : un B plus grand comprime l'onde. Déduis ensuite $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$ de $\text{période} = \frac{2\pi}{B}$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des ondes qui ont un maximum en $x = 0$ , pour que seuls A, B et D soient nouveaux
• Donner un tableau avec les colonnes max, min, période et départ à remplir avant d'écrire l'équation
• Utiliser le visuel à curseurs avec les indices activés

Pour les élèves au niveau:

• Écrire une équation en sinus et une en cosinus pour chaque graphe
• Modéliser des marées et des grandes roues à partir d'énoncés
• Vérifier chaque équation en remplaçant un maximum et un minimum

Pour les élèves avancés:

• Recueillir des données réelles (durée du jour dans leur ville, températures mensuelles) et ajuster un modèle
• Trouver toutes les valeurs de C entre $0$ et une période qui conviennent pour un graphe donné
• Utiliser le modèle pour trouver quand une valeur est atteinte pour la première fois (résoudre une équation trigonométrique)

Alignement aux standards

HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques d'amplitude, de fréquence et de ligne médiane données
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Tracer des fonctions trigonométriques en montrant la période, la ligne médiane et l'amplitude
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identifier l'effet sur le graphe du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k)

Ressources de la leçon

visualRetrouve l'onde
Les élèves lisent une onde cible et déplacent les curseurs A, B, C et D jusqu'à ce que leur courbe la recouvre
activityGrande roue en assiette en carton
Les élèves font tourner une roue en assiette en carton, notent la hauteur à chaque huitième de tour, placent les points et écrivent l'équation
worksheetDu graphe à l'équation
Douze graphes et jeux de données à traduire en équations sinus et cosinus, avec deux réponses chacun

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Dans les leçons précédentes, tu es passé de l'équation au graphe. Maintenant on fait l'inverse : tu regardes une onde (ou tu lis sa description) et tu écris son équation.

Toute onde sinus ou cosinus peut s'écrire sous l'une de ces formes :

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Tu n'as besoin que de quatre lectures sur le graphe : le maximum, le minimum, la période et un point de départ.

Lettre	Signification	Comment la trouver
$D$	ligne médiane (translation verticale)	$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$
$A$	amplitude	$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
$B$	la vitesse à laquelle l'onde se répète	$B = \frac{2\pi}{\text{période}}$
$C$	déphasage (translation horizontale)	là où commence un cycle

**Choisir

C

:**

Le cosinus commence à un maximum : $C$ = l'abscisse $x$ d'un maximum.
Le sinus commence sur la ligne médiane en montant : $C$ = l'abscisse $x$ où le graphe coupe la ligne médiane en montant.

Un même graphe a beaucoup d'équations correctes. Tu peux partir de n'importe quel maximum (ajouter ou retirer une période entière à

C

), passer du sinus au cosinus (décaler

C

d'un quart de période) ou prendre un

A

négatif (le cosinus commence alors à un minimum). Toutes dessinent la même onde.

Exemples résolus

Un graphe a un maximum de

5

x = 0

, un minimum de

1

et une période de

2\pi

. Écris son équation.

Trouve la ligne médiane D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Trouve l'amplitude A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Trouve B à partir de la période

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Choisis la forme et C

L'onde commence à un maximum en

x = 0

, donc cosinus avec

C = 0

Réponse: $y = 2\cos(x) + 3$

Erreurs courantes

Prendre le maximum comme amplitude (max $7$ , min $3$ , donc $A = 7$ )

Pourquoi c'est faux: L'amplitude se mesure depuis la ligne médiane, pas depuis l'axe des abscisses. L'onde ne monte que de $2$ unités au-dessus de sa ligne médiane $y = 5$ .

Correct: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , et le $5$ va dans $D$ .

Écrire la période à la place de B (période $12$ , donc $B = 12$ )

Pourquoi c'est faux: B n'est pas la période. Un B plus grand fait se répéter l'onde plus vite, donc la période devient plus courte.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{période}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Se tromper de signe pour C : un maximum en $x = 2$ écrit $\cos(B(x + 2))$

Pourquoi c'est faux: Dans la parenthèse, le décalage a le signe opposé. $(x + 2)$ déplace l'onde vers la gauche.

Correct: Un maximum en $x = 2$ donne $\cos(B(x - 2))$ . Vérification : en $x = 2$ la parenthèse vaut $0$ et $\cos(0) = 1$ .

Prendre le sinus et placer C au maximum

Pourquoi c'est faux: Le sinus ne commence pas à un maximum. En $x = C$ , l'onde sinus est sur la ligne médiane et monte.

Correct: Pour le sinus, prends le point où l'onde coupe la ligne médiane en montant, un quart de période avant le maximum. Ou prends le cosinus et le maximum.

Pourquoi c'est important

Tout ce qui se répète en un cycle régulier peut être décrit par une équation en sinus ou en cosinus, et dans la vraie vie on ne te donne presque jamais l'équation d'abord. On te donne des données : une valeur la plus haute, une valeur la plus basse et la durée d'un cycle.

Grandes roues : ta hauteur au-dessus du sol monte et descend à chaque tour
Marées : le niveau de la mer va de la marée haute à la marée basse environ toutes les 12 heures
Durée du jour : le nombre d'heures de jour est maximal en été et se répète tous les 365 jours
Ressorts et pendules : une masse oscille de haut en bas en un temps fixe
Température : la température moyenne du jour suit une onde annuelle

Une fois que tu sais écrire l'équation, tu peux prévoir : la hauteur après 2 minutes, le niveau de l'eau à 6 h, la durée du jour le jour de ton anniversaire.

Applications dans le monde réel

Durée du jour

Les astronomes et les ingénieurs solaires modélisent la durée du jour par une onde cosinus qui se répète chaque année.

Exemple:

Dans une ville du nord, le jour le plus long (jour $172$ , vers le 21 juin) compte $16$ heures de jour et le plus court $8$ . Un modèle est $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Essaie par toi-même

Une autre ville a $15$ heures de jour le jour le plus long et $9$ heures le jour le plus court. Le cycle se répète tous les $365$ jours.

Quelle valeur de B faut-il mettre dans le modèle $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$ :

Grandes roues

Les concepteurs de manèges utilisent l'équation de la hauteur pour vérifier à quelle vitesse les passagers montent et combien de temps ils restent en haut.

Exemple:

Une roue de $50$ m de diamètre, dont le centre est à $30$ m de haut, fait un tour toutes les $12$ minutes. En montant tout en bas, on a $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Essaie par toi-même

Tu montes tout en bas dans la roue ci-dessus ( $50$ m de diamètre, centre à $30$ m, un tour toutes les $12$ minutes) à $t = 0$ .

À quelle hauteur es-tu après $2$ minutes (en m) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $t$ par $2$ dans $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Une masse au bout d'un ressort

Les ingénieurs modélisent les vibrations (suspensions de voiture, ponts, capteurs) avec les mêmes équations qu'une masse qui oscille au bout d'un ressort.

Exemple:

Une masse oscille entre $4$ cm et $16$ cm au-dessus d'une table et met $2$ secondes pour une oscillation complète.

3Essaie par toi-même

La masse ci-dessus est lâchée à son point le plus haut ( $16$ cm) à $t = 0$ . Une oscillation complète dure $2$ secondes, le point le plus bas est à $4$ cm.

À quelle hauteur est la masse après $\frac{1}{3}$ de seconde (en cm) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $y = 6\cos(\pi t) + 10$ avec $t = \frac{1}{3}$ :

Points clés

1Ligne médiane : $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; amplitude : $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
2À partir de la période : $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$ (d'un maximum au minimum suivant, c'est une demi-période)
3Cosinus : $C$ est l'abscisse d'un maximum ; sinus : $C$ est l'abscisse où l'onde coupe la ligne médiane en montant
4Une onde qui commence à un minimum est un cosinus avec un $A$ négatif
5Un graphe a beaucoup d'équations correctes : ajouter des périodes entières à $C$ , décaler d'un quart de période pour passer du sinus au cosinus, ou changer le signe de $A$ et décaler d'une demi-période
6Vérifie toujours un point (un maximum ou un minimum) dans ton équation finale

Questions fréquentes

Faut-il prendre le sinus ou le cosinus ?

Les deux sont corrects. Prends celui qui rend

C

le plus simple : le cosinus si tu lis bien un maximum, le sinus si tu vois où l'onde coupe la ligne médiane en montant.

Ma réponse est différente de celle du livre. Est-elle fausse ?

Pas forcément. Vérifie un maximum et un minimum dans les deux équations. Si elles donnent les mêmes valeurs pour le même

x

, elles dessinent la même onde. Par exemple,

y = 3\sin(2x) + 1

y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1

sont le même graphe.

Comment trouver la période si je ne vois qu'une partie de l'onde ?

Mesure la distance horizontale entre deux maximums voisins (une période complète), ou entre un maximum et le minimum suivant (une demi-période) et double-la.

Et si le problème utilise des heures ou des jours au lieu des radians ?

La méthode ne change pas :

B = \frac{2\pi}{\text{période}}

, avec la période dans la même unité que

x

. Une marée de période

12

heures a

B = \frac{\pi}{6}

, un cycle annuel a

B = \frac{2\pi}{365}

Glossaire

Ligne médiane: La droite horizontale $y = D$ à mi-chemin entre le maximum et le minimum de l'onde (on dit aussi droite d'équilibre)
Amplitude: La distance entre la ligne médiane et un maximum : $\frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
Période: La longueur horizontale d'un cycle complet ; $B = \frac{2\pi}{\text{période}}$
Déphasage: La translation horizontale $C$ : là où commence un cycle de l'onde sinus ou cosinus de base
Modèle sinusoïdal: Une équation $y = A\sin(B(x - C)) + D$ ou $y = A\cos(B(x - C)) + D$ qui décrit une grandeur réelle qui se répète

Carte des formules

Formes générales

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Toute onde sinus ou cosinus s'écrit sous l'une de ces formes

Ligne médiane

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

La moyenne de la plus grande et de la plus petite valeur

Amplitude

A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

La moitié de la hauteur totale de l'onde

B à partir de la période

B = \frac{2\pi}{\text{période}}

La période est la distance entre deux maximums

Point de départ C

\cos

C = x_{\text{max}}

;

\sin

C = x_{\text{ligne médiane, montée}}

Le cosinus commence à un maximum, le sinus sur la ligne médiane en montant

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Durée du jour

Grandes roues

Une masse au bout d'un ressort

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Formes générales

Ligne médiane

Amplitude

B à partir de la période

Point de départ C

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