Identités de l'angle moitié

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule représente correctement ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
La formule du sinus demi-angle est . La deuxième option est pour le cosinus, la troisième pour la tangente, et la quatrième est simplement fausse.
2.
Pour trouver avec une formule demi-angle, quel angle dois-tu utiliser pour ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Puisque , nous avons besoin de . Nous utilisons la formule demi-angle avec car nous connaissons du cercle trigonométrique.
3.
La formule demi-angle pour le sinus a un signe . Si , quel signe dois-tu utiliser ?
1. a) (positif)
2. b)Aucun
3. c)Les deux sont corrects
4. d) (négatif)
Réponse: (positif)
est dans le quadrant I (entre et ), où le sinus est positif. Par conséquent, nous utilisons le signe positif.
4.
Si , que vaut ?
Réponse: 1/2
. Cette valeur apparaît au numérateur de la formule du sinus demi-angle.
5.
Que vaut calculé avec la formule demi-angle avec ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
. Cela vérifie notre valeur connue !
6.
En utilisant , calcule . Donne ta réponse sous forme de fraction avec au numérateur.
Réponse: (2+sqrt(2))/2
. Cela apparaît dans la formule du cosinus demi-angle.
7.
Trouve la valeur exacte de en utilisant la formule demi-angle.
Réponse: sqrt(2+sqrt(2))/2
1. Quel angle dois-tu utiliser ? (22,5° est la moitié de quel angle ?) 45
2. Que vaut ? sqrt(2)/2
3. Calcule (2+sqrt(2))/2
4. Divise par 2 : (2+sqrt(2))/4
5. Prends la racine carrée (positive, car 22,5° est dans QI) sqrt(2+sqrt(2))/2
8.
Laquelle de ces formules est valide pour ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
La formule de la tangente demi-angle est (ou de manière équivalente ). Les autres options sont des variations incorrectes.
9.
Calcule en utilisant la formule demi-angle. Exprime comme où est un entier.
Réponse: 1
. Donc .
10.
Trouve la valeur exacte de .
Réponse: sqrt(2-sqrt(3))/2
1. 15° est la moitié de quel angle ? 30
2. Que vaut ? sqrt(3)/2
3. Calcule (2-sqrt(3))/2
4. Divise par 2 pour obtenir le radicande (2-sqrt(3))/4
5. Prends la racine carrée (positive pour QI) sqrt(2-sqrt(3))/2
11.
Si , quel est le signe de ?
1. a)Zéro
2. b)Positif
3. c)Négatif
4. d)Indéfini
Réponse: Négatif
. L'angle 120° est dans le quadrant II, où le cosinus est négatif. Par conséquent, nous utilisons le signe négatif.
12.
En utilisant les formules demi-angle, trouve . Exprime ta réponse sous la forme et donne la valeur de .
Réponse: 2
. Donc , , .
13.
Trouve la valeur exacte de .
Réponse: sqrt(2)+1
1. 67,5° est la moitié de quel angle ? 135
2. Que vaut ? sqrt(2)/2
3. Que vaut ? -sqrt(2)/2
4. Calcule 1+sqrt(2)/2
5. Applique et simplifie sqrt(2)+1
14.
Si et est dans le quadrant I, trouve . Exprime en fraction.
Réponse: 7/25
De , nous obtenons . En utilisant : , donc , ainsi .
15.
Trouve en utilisant la formule demi-angle.
Réponse: sqrt(2+sqrt(3))/2
1. Convertis en degrés 75
2. 75° est la moitié de quel angle ? 150
3. Que vaut ? -sqrt(3)/2
4. Calcule (2+sqrt(3))/2
5. Applique la formule et simplifie (positif pour QI) sqrt(2+sqrt(3))/2