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Mathorio

Corrigé

Identités du quotient

Écris ta démarche pour chaque exercice.

  1. 1.
    Quelle expression est égale à tan⁡θ\tan\theta ?
    1. a)sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. b)sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta
    3. c)1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}
    4. d)cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

    Réponse: sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} : le sinus en haut, le cosinus en bas. La fraction cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta} est la cotangente.

  2. 2.
    Quelle expression est égale à cot⁡θ\cot\theta ?
    1. a)sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. b)sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta
    3. c)cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
    4. d)1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta}

    Réponse: cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

    cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Attention : 1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta} est sec⁡θ\sec\theta, pas cot⁡θ\cot\theta.

  3. 3.
    Pour un angle θ\theta, sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 et cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. Combien vaut tan⁡θ\tan\theta ?

    Réponse: 0.75

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=0,60,8=68=0,75\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = \frac{6}{8} = 0{,}75.

  4. 4.
    Pour un angle θ\theta, sin⁡θ=513\sin\theta = \frac{5}{13} et cos⁡θ=1213\cos\theta = \frac{12}{13}. Combien vaut cot⁡θ\cot\theta ? Donne une fraction.

    Réponse: 12/5

    cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=12/135/13=125\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}.

  5. 5.
    Pour un angle θ\theta, sin⁡θ=817\sin\theta = \frac{8}{17} et cos⁡θ=1517\cos\theta = \frac{15}{17}. Calcule tan⁡θ\tan\theta et cot⁡θ\cot\theta.

    Réponse: tan⁡θ=815\tan\theta = \frac{8}{15}, cot⁡θ=158\cot\theta = \frac{15}{8}

    1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}. Combien vaut tan⁡θ\tan\theta sous forme de fraction ? 8/15
    2. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Combien vaut cot⁡θ\cot\theta ? 15/8
    3. Vérification : combien vaut tan⁡θ⋅cot⁡θ\tan\theta \cdot \cot\theta ? 1
  6. 6.
    Pour quel angle tan⁡θ\tan\theta n'est-elle pas définie ?
    1. a)0°0°
    2. b)180°180°
    3. c)90°90°
    4. d)45°45°

    Réponse: 90°90°

    tan⁡90°=sin⁡90°cos⁡90°=10\tan 90° = \frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0} n'est pas définie. En 0°0° et 180°180°, la tangente vaut 00, et tan⁡45°=1\tan 45° = 1.

  7. 7.
    Sans calculatrice : combien vaut tan⁡37°⋅cot⁡37°\tan 37° \cdot \cot 37° ?

    Réponse: 1

    tan⁡37°⋅cot⁡37°=sin⁡37°cos⁡37°⋅cos⁡37°sin⁡37°=1\tan 37° \cdot \cot 37° = \frac{\sin 37°}{\cos 37°} \cdot \frac{\cos 37°}{\sin 37°} = 1, car tout se simplifie.

  8. 8.
    Simplifie sin⁡θcot⁡θ\sin\theta \cot\theta, puis calcule sa valeur pour θ=60°\theta = 60°.

    Réponse: sin⁡θcot⁡θ=cos⁡θ\sin\theta\cot\theta = \cos\theta, cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}

    1. Quelle fraction remplace cot⁡θ\cot\theta ? cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
    2. Simplifie sin⁡θ\sin\theta dans sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Que reste-t-il ? cos⁡θ\cos\theta
    3. Quelle est la valeur pour θ=60°\theta = 60° ? 1/2
  9. 9.
    Simplifie cot⁡θcos⁡θ\frac{\cot\theta}{\cos\theta}.
    1. a)sec⁡θ\sec\theta
    2. b)tan⁡θ\tan\theta
    3. c)sin⁡θ\sin\theta
    4. d)csc⁡θ\csc\theta

    Réponse: csc⁡θ\csc\theta

    cot⁡θcos⁡θ=cos⁡θsin⁡θ⋅1cos⁡θ=1sin⁡θ=csc⁡θ\frac{\cot\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta.

  10. 10.
    Pour un angle θ\theta, sin⁡θ=−0,8\sin\theta = -0{,}8 et cos⁡θ=0,6\cos\theta = 0{,}6. Combien vaut tan⁡θ\tan\theta ? Donne une fraction.

    Réponse: -4/3

    tan⁡θ=−0,80,6=−86=−43\tan\theta = \frac{-0{,}8}{0{,}6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}. L'angle est dans le quadrant IV (x>0x > 0, y<0y < 0), où la tangente est négative.

  11. 11.
    Utilise sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2} et cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} pour trouver les valeurs exactes de tan⁡30°\tan 30° et cot⁡30°\cot 30°.

    Réponse: tan⁡30°=33\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}, cot⁡30°=3\cot 30° = \sqrt{3}

    1. Quelle valeur est tan⁡30°=1/23/2\tan 30° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} (avec un dénominateur rationnel) ? 33\frac{\sqrt{3}}{3}
    2. Quelle valeur est cot⁡30°=3/21/2\cot 30° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} ? 3\sqrt{3}
    3. Vérification : combien vaut tan⁡30°⋅cot⁡30°\tan 30° \cdot \cot 30° ? 1
  12. 12.
    Simplifie tan⁡θcsc⁡θ\tan\theta \csc\theta, puis calcule sa valeur pour θ=60°\theta = 60°.

    Réponse: tan⁡θcsc⁡θ=sec⁡θ\tan\theta\csc\theta = \sec\theta, sec⁡60°=2\sec 60° = 2

    1. Quelle fraction remplace tan⁡θ\tan\theta ? sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. Quelle fraction remplace csc⁡θ\csc\theta ? 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}
    3. Après avoir simplifié sin⁡θ\sin\theta, il reste 1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta}. Quelle fonction est-ce ? sec⁡θ\sec\theta
    4. Quelle est la valeur pour θ=60°\theta = 60° ? 2
  13. 13.
    Pour 0°≤θ<360°0° \le \theta < 360°, en combien d'angles cot⁡θ\cot\theta n'est-elle pas définie ?

    Réponse: 2

    1. Quelle valeur doit être égale à 00 pour que cot⁡θ\cot\theta ne soit pas définie ? sin⁡θ\sin\theta
    2. Quel est le plus petit de ces angles dans cet intervalle (en degrés) ? 0
    3. Pour quel autre angle (en degrés) a-t-on sin⁡θ=0\sin\theta = 0 ? 180
    4. Combien d'angles cela fait-il ? (360°360° n'est pas dans l'intervalle.) 2
  14. 14.
    L'angle θ\theta est dans le quadrant II et sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}. Combien vaut tan⁡θ\tan\theta ?
    1. a)−43-\frac{4}{3}
    2. b)43\frac{4}{3}
    3. c)34\frac{3}{4}
    4. d)−34-\frac{3}{4}

    Réponse: −34-\frac{3}{4}

    cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, et dans le quadrant II cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5}. Donc tan⁡θ=3/5−4/5=−34\tan\theta = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}.

  15. 15.
    L'angle θ\theta est dans le quadrant IV et cos⁡θ=513\cos\theta = \frac{5}{13}. Calcule tan⁡θ\tan\theta et cot⁡θ\cot\theta.

    Réponse: tan⁡θ=−125\tan\theta = -\frac{12}{5}, cot⁡θ=−512\cot\theta = -\frac{5}{12}

    1. Utilise sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta. Combien vaut sin⁡2θ\sin^2\theta ? 144/169
    2. Combien vaut sin⁡θ\sin\theta dans le quadrant IV ? -12/13
    3. Combien vaut tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} ? -12/5
    4. Combien vaut cot⁡θ\cot\theta ? -5/12
  16. 16.
    L'angle θ\theta est dans le quadrant III et cos⁡θ=−0,28\cos\theta = -0{,}28. Combien vaut cot⁡θ\cot\theta ? Donne une fraction.

    Réponse: 7/24

    sin⁡2θ=1−0,0784=0,9216\sin^2\theta = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216, donc sin⁡θ=−0,96\sin\theta = -0{,}96. Alors cot⁡θ=−0,28−0,96=2896=724\cot\theta = \frac{-0{,}28}{-0{,}96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24} (positive, comme dans le quadrant III).

  17. 17.
    Simplifie sin⁡θtan⁡θ+cos⁡θcot⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} + \frac{\cos\theta}{\cot\theta}, puis calcule sa valeur pour sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 et cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8.

    Réponse: cos⁡θ+sin⁡θ=75\cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}

    1. À quoi se simplifie sin⁡θtan⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} ? cos⁡θ\cos\theta
    2. À quoi se simplifie cos⁡θcot⁡θ\frac{\cos\theta}{\cot\theta} ? sin⁡θ\sin\theta
    3. Quelle est la valeur pour sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 et cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 ? 1.4
  18. 18.
    Un angle aigu θ\theta vérifie 3sin⁡θ=4cos⁡θ3\sin\theta = 4\cos\theta. Calcule tan⁡θ\tan\theta, cot⁡θ\cot\theta, cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta.

    Réponse: tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3}, cot⁡θ=34\cot\theta = \frac{3}{4}, cos⁡θ=35\cos\theta = \frac{3}{5}, sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5}

    1. Divise les deux membres par 3cos⁡θ3\cos\theta. Combien vaut tan⁡θ\tan\theta ? 4/3
    2. Combien vaut cot⁡θ\cot\theta ? 3/4
    3. Remplace sin⁡θ=43cos⁡θ\sin\theta = \frac{4}{3}\cos\theta dans sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Combien vaut cos⁡θ\cos\theta (θ\theta est aigu) ? 3/5
    4. Combien vaut sin⁡θ=43cos⁡θ\sin\theta = \frac{4}{3}\cos\theta ? 4/5
Leçon interactive avec solutions pas à pas et plus d'exercices (gratuit) : mathorio.com/fr/learn/trigonometry/identities/quotient-identities
Défi du jourUn problème, trois essais