Guide de l'enseignant: Identités du quotient

Apprends pourquoi la tangente est égale au sinus divisé par le cosinus et la cotangente au cosinus divisé par le sinus, où elles sont définies et comment simplifier avec.

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Quiz de classe

10 questions sur Identités trigonométriques. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Démontrer $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ à partir d'un triangle rectangle et du cercle trigonométrique
Indiquer où la tangente et la cotangente ne sont pas définies et expliquer pourquoi
Calculer $\tan\theta$ et $\cot\theta$ à partir de valeurs données de $\sin\theta$ et $\cos\theta$ , avec les bons signes dans chaque quadrant
Réécrire des expressions avec $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ et $\csc$ en fonction du sinus et du cosinus
Simplifier de courtes expressions trigonométriques avec les identités du quotient

Prérequis

• Sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle (SOH-CAH-TOA)
• Le cercle trigonométrique : le point $(\cos\theta, \sin\theta)$ et les signes dans les quatre quadrants
• Identités réciproques ( $\csc$ , $\sec$ , $\cot$ )
• Identités pythagoriciennes, surtout $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Diviser et simplifier des fractions

Amorces de discussion

1. Pourquoi l'hypoténuse disparaît-elle quand on divise $\sin\theta$ par $\cos\theta$ ?
2. Sur le cercle trigonométrique, que t'apprend $\tan\theta$ sur le rayon vers le point $(\cos\theta, \sin\theta)$ ?
3. Pourquoi $\tan\theta$ n'a-t-elle pas de valeur en $90°$ , alors que $\cot 90°$ en a une ?
4. Si $\tan\theta$ est négative, dans quels quadrants peut se trouver $\theta$ , et pourquoi ?
5. Pourquoi est-il souvent utile de réécrire chaque fonction en sinus et cosinus avant de simplifier ?

Idées reçues courantes

La tangente et la cotangente sont des fonctions à part qui n'ont rien à voir avec le sinus et le cosinus

Remédiation: Trace $y = \tan x$ et $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ ensemble et affiche-les tour à tour. Calcule ensuite les deux pour quelques angles à la calculatrice, par exemple $40°$ .

L'identité est vraie pour tous les angles, y compris $90°$

Remédiation: Calcule avec la classe $\frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}$ et relie-le à l'asymptote verticale du graphe de la tangente. Insiste sur les conditions $\cos\theta \neq 0$ et $\sin\theta \neq 0$ .

$\frac{\sin a}{\cos b}$ est une tangente pour deux angles quelconques

Remédiation: Fais calculer $\frac{\sin 40°}{\cos 20°}$ aux élèves et compare avec $\tan 20°$ et $\tan 40°$ ; aucune valeur ne correspond.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer avec un triangle 3-4-5 et calculer $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ comme rapports de côtés avant d'utiliser l'identité
• N'utiliser d'abord que des angles du premier quadrant et des valeurs positives
• Donner une fiche avec les deux identités du quotient et les deux conditions de définition

Pour les élèves au niveau:

• Calculer $\tan\theta$ et $\cot\theta$ à partir de $\sin\theta$ et $\cos\theta$ dans les quatre quadrants
• Réécrire et simplifier des produits de deux ou trois facteurs comme $\cot\theta\sin\theta\sec\theta$
• Vérifier chaque simplification numériquement pour un angle à la calculatrice

Pour les élèves avancés:

• Trouver $\sin\theta$ et $\cos\theta$ quand seuls $\tan\theta$ et le quadrant sont donnés
• Expliquer pourquoi $\tan\theta$ est la pente du rayon et s'en servir pour trouver l'angle d'une droite passant par l'origine
• Avant-goût d'analyse : appliquer la règle du quotient à $\frac{\sin x}{\cos x}$ pour trouver la dérivée de $\tan x$

Alignement aux standards

HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Démontrer l'identité de Pythagore et l'utiliser pour trouver sin, cos ou tan à partir de l'une d'elles et du quadrant de l'angle
HSF-TF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.2)
Expliquer comment le cercle trigonométrique permet d'étendre les fonctions trigonométriques à tous les réels
HSG-SRT.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.C.6)
Comprendre que les rapports de côtés dans un triangle rectangle définissent les rapports trigonométriques des angles aigus

Ressources de la leçon

visualDémonstrations d'identités pas à pas
Regarde $\tan\theta\cos\theta$ , $\cot\theta\sin\theta$ et $\tan\theta\cot\theta$ devenir $\sin\theta$ , $\cos\theta$ et $1$ , avec une vérification numérique en direct
visualDeux graphes, une courbe
Affiche ou masque $y = \tan x$ et $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ et constate qu'elles se superposent, asymptotes comprises
activityMesurer des triangles
Les élèves tracent des triangles rectangles, mesurent les côtés et vérifient que $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ est égal à $\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
worksheetRéécrire en sinus et cosinus
Dix expressions courtes à réécrire et simplifier avec les identités du quotient et les identités réciproques

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Les identités du quotient écrivent la tangente et la cotangente comme un quotient (une division) du sinus et du cosinus du même angle :

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

D'où elles viennent : le triangle rectangle

Pour un angle aigu

\theta

dans un triangle rectangle,

\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}

\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}

. Si tu les divises, l'hypoténuse se simplifie :

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposé}/\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}/\text{hypoténuse}} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan\theta

D'où elles viennent : le cercle trigonométrique

L'angle

\theta

coupe le cercle trigonométrique au point

P = (\cos\theta, \sin\theta)

. La pente du rayon

OP

est

\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

, et cette pente est

\tan\theta

. Cela marche pour tous les angles, pas seulement les angles aigus, donc les signes sont justes dans les quatre quadrants.

Où elles sont définies

$\tan\theta$ n'est pas définie quand $\cos\theta = 0$ : en $90°$ , $270°$ , ... (c'est-à-dire $\theta = 90° + k \cdot 180°$ ).
$\cot\theta$ n'est pas définie quand $\sin\theta = 0$ : en $0°$ , $180°$ , $360°$ , ... (c'est-à-dire $\theta = k \cdot 180°$ ).

Lien avec les identités réciproques

D'après les identités réciproques,

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

. Retourner

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

donne

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

: les deux points de vue concordent, et

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

partout où les deux sont définies.

Exemples résolus

Pour un angle

\theta

, on sait que

\sin\theta = \frac{3}{5}

\cos\theta = \frac{4}{5}

. Calcule

\tan\theta

\cot\theta

Écris l'identité du quotient pour la tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}

→ Diviser les deux fractions

Divise (les cinquièmes se simplifient)

\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

→

\tan\theta = \frac{3}{4}

Utilise l'identité du quotient pour la cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}

→

\cot\theta = \frac{4}{3}

Vérifie avec l'identité réciproque

\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1

→ C'est juste

Réponse: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ et $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Erreurs courantes

Écrire $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Pourquoi c'est faux: La fraction est à l'envers : c'est la cotangente. Sur le cercle trigonométrique, la tangente est la pente $\frac{y}{x}$ , et $y = \sin\theta$ .

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (le sinus en haut, comme $y$ sur $x$ ) et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Dire que $\tan 90° = 0$ ou $\cot 0° = 0$

Pourquoi c'est faux: En $90°$ , le cosinus vaut $0$ , et on ne peut pas diviser par $0$ . En $0°$ , le sinus vaut $0$ , donc la cotangente a un dénominateur nul.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ n'est pas définie, et $\cot 0° = \frac{1}{0}$ n'est pas définie. Le graphe de $\tan$ a des asymptotes verticales à ces endroits.

Mélanger deux angles : $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ ou $\tan 40°$

Pourquoi c'est faux: L'identité ne marche que si le sinus et le cosinus ont le même angle.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$ , mais $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ n'est ni $\tan 20° \approx 0{,}364$ ni $\tan 40° \approx 0{,}839$ .

Perdre le signe dans les quadrants II, III et IV

Pourquoi c'est faux: On prend souvent la racine positive pour $\cos\theta$ ou $\sin\theta$ , et on obtient $\tan\theta > 0$ partout.

Correct: Détermine d'abord les signes à partir du quadrant : dans le quadrant II, $\sin > 0$ et $\cos < 0$ , donc $\tan\theta < 0$ ; dans le quadrant III, les deux sont négatifs, donc $\tan\theta > 0$ .

Pourquoi c'est important

Les identités du quotient sont le pont qui transforme toute expression trigonométrique en sinus et cosinus :

Simplifier : écrire $\tan$ et $\cot$ comme des fractions de $\sin$ et $\cos$ est le premier pas de presque toutes les simplifications et démonstrations qui suivent dans ce thème
Valeurs exactes : si tu connais $\sin\theta$ et $\cos\theta$ (sur le cercle trigonométrique ou dans un triangle), tu obtiens $\tan\theta$ et $\cot\theta$ avec une seule division
Pentes et angles : la pente d'une droite, d'une route ou d'une rampe est la tangente de son angle d'inclinaison
Physique : un objet sur un plan incliné commence à glisser quand le coefficient de frottement est plus petit que $\tan\theta$ , et les longueurs d'ombre utilisent $\cot\theta$
Analyse : on trouve la dérivée de $\tan x$ en l'écrivant $\frac{\sin x}{\cos x}$ et en appliquant la règle du quotient

Applications dans le monde réel

Pistes de ski et pentes de route

La pente d'une colline (dénivelé divisé par la distance horizontale) est la tangente de son angle d'inclinaison. Un capteur du téléphone mesure le sinus et le cosinus de l'inclinaison, et l'application les divise.

Exemple:

Une pente avec $\sin\theta = 0{,}6$ et $\cos\theta = 0{,}8$ a $\tan\theta = 0{,}75$ : elle descend de $75$ m pour $100$ m de distance horizontale.

1Essaie par toi-même

Un capteur d'inclinaison sur une piste de ski indique $\sin\theta = 0{,}6$ et $\cos\theta = 0{,}8$ . La descente couvre $200$ m de distance horizontale.

De combien de mètres la descente perd-elle en altitude ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Dénivelé = $\tan\theta \times$ distance horizontale :

Frottement sur une rampe

Une caisse posée sur une rampe reste immobile tant que le coefficient de frottement $\mu$ est au moins égal à $\tan\theta$. Les ingénieurs s'en servent pour décider de la pente maximale des tapis roulants et des rampes de chargement.

Exemple:

Sur une rampe avec $\tan\theta = 0{,}5$ , une caisse avec $\mu = 0{,}6$ reste en place, mais une caisse avec $\mu = 0{,}4$ glisse.

2Essaie par toi-même

Une rampe de chargement a $\sin\theta = \frac{9}{41}$ et $\cos\theta = \frac{40}{41}$ . Une caisse en plastique posée dessus a un coefficient de frottement $\mu = 0{,}2$ .

Quel est le plus petit coefficient de frottement qui garde une caisse immobile sur cette rampe ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Plus petit $\mu$ = $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ :

Longueurs d'ombre

Quand le soleil est à une hauteur angulaire $\theta$, un poteau de hauteur $h$ projette une ombre de longueur $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Les architectes s'en servent pour prévoir l'ombre et l'ensoleillement.

Exemple:

Avec le soleil à $45°$ , $\cot 45° = 1$ : chaque objet projette une ombre aussi longue qu'il est haut.

3Essaie par toi-même

À midi, la hauteur angulaire du soleil vérifie $\sin\theta = 0{,}96$ et $\cos\theta = 0{,}28$ . Un mât de drapeau mesure $12$ m de haut.

Quelle est la longueur de l'ombre du mât, en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ombre = $12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ :

Points clés

1 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , toujours pour le même angle $\theta$
2Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse se simplifie : $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
3Sur le cercle trigonométrique, $\tan\theta$ est la pente $\frac{y}{x}$ du rayon vers $(\cos\theta, \sin\theta)$ , donc l'identité marche dans tous les quadrants
4 $\tan\theta$ n'est pas définie là où $\cos\theta = 0$ ( $90°$ , $270°$ , ...) ; $\cot\theta$ n'est pas définie là où $\sin\theta = 0$ ( $0°$ , $180°$ , ...)
5 $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ partout où les deux sont définies
6Pour simplifier, réécris d'abord tout en $\sin$ et $\cos$ , puis simplifie les facteurs communs

Questions fréquentes

Pourquoi les appelle-t-on identités du quotient ?

Un quotient est le résultat d'une division. Ces identités expriment

\tan

\cot

comme une fonction divisée par une autre :

\sin\theta \div \cos\theta

\cos\theta \div \sin\theta

Est-ce que $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ est une identité du quotient ou une identité réciproque ?

Les deux points de vue mènent au même endroit. L'identité réciproque dit

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

; en remplaçant

\tan\theta

par

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

et en retournant la fraction, on obtient la forme quotient

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

. La forme quotient marche même en

90°

, où

\tan

n'est pas définie mais

\cot 90° = \frac{0}{1} = 0

Pourquoi $y = \tan x$ et $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ ont-elles le même graphe ?

Parce que c'est la même fonction. Les deux ont des asymptotes verticales là où

\cos x = 0

(

x = \pm 90°, \pm 270°, ...

) et des zéros là où

\sin x = 0

. Affiche ou masque les deux courbes dans le graphe ci-dessus : elles se superposent exactement.

Puis-je vérifier une identité du quotient avec une calculatrice ?

Oui. Tape

\sin(40) / \cos(40)

\tan(40)

en mode degrés : les deux donnent environ

0{,}8391

. Une vérification numérique pour quelques angles est un bon test, mais seul un raisonnement algébrique démontre une identité pour tous les angles.

Glossaire

Quotient: Le résultat d'une division, par exemple $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$
Identités du quotient: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Identité: Une égalité vraie pour toute valeur de la variable pour laquelle les deux membres sont définis
Cotangente ( $\cot$ ): Le rapport $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , l'inverse de la tangente
Ensemble de définition: L'ensemble des angles pour lesquels une expression est définie ; pour $\tan\theta$ , tous les angles avec $\cos\theta \neq 0$

Carte des formules

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Définie quand $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Définie quand $\sin\theta \neq 0$

Produit

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Là où les deux sont définies

Triangle rectangle

\tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}

L'hypoténuse se simplifie dans $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

Pour les élèves avancés:

Contenu de la leçon

Définition

D'où elles viennent : le triangle rectangle

D'où elles viennent : le cercle trigonométrique

Où elles sont définies

Lien avec les identités réciproques

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Pistes de ski et pentes de route

Frottement sur une rampe

Longueurs d'ombre

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Tangente

Cotangente

Produit

Triangle rectangle

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