Introduction aux rapports trigonométriques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Dans SOH-CAH-TOA, que signifie 'SOH' ?
1. a)Sinus = Opposé / Adjacent
2. b)Sinus = Hypoténuse / Opposé
3. c)Sinus = Adjacent / Hypoténuse
4. d)Sinus = Opposé / Hypoténuse
Réponse: Sinus = Opposé / Hypoténuse
SOH signifie Sinus = Opposé / Hypoténuse. Le moyen mnémotechnique aide à retenir que le sinus est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.
2.
Quel côté d'un triangle rectangle est toujours le plus long ?
1. a)Cela dépend de l'angle
2. b)Adjacent
3. c)Hypoténuse
4. d)Opposé
Réponse: Hypoténuse
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle. Elle est située en face de l'angle droit (90 degrés).
3.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 3 et l'hypoténuse mesure 5. Que vaut $\sin(\theta)$ ? Donne le résultat sous forme décimale.
Réponse: 0.6
$\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
4.
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent mesure 4 et l'hypoténuse mesure 5. Que vaut $\cos(\theta)$ ? Donne le résultat sous forme décimale.
Réponse: 0.8
$\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$
5.
Quel rapport trigonométrique utilise les côtés opposé et adjacent (pas l'hypoténuse) ?
1. a)Sinus
2. b)Sécante
3. c)Cosinus
4. d)Tangente
Réponse: Tangente
Tangente (TOA) = Opposé / Adjacent. C'est le seul rapport primaire qui n'inclut pas l'hypoténuse.
6.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé mesure 5 et le côté adjacent mesure 12. Que vaut $\tan(\theta)$ ? Donne le résultat sous forme de fraction (par ex. 2/3).
Réponse: 5/12
$\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{5}{12}$
7.
Un triangle rectangle a des côtés de 5, 12 et 13. Trouve les trois rapports trigonométriques pour l'angle opposé au côté de longueur 5.
Réponse: sin = 5/13, cos = 12/13, tan = 5/12
1. Quel côté est l'hypoténuse ? 13
2. Quel côté est opposé à notre angle ? 5
3. Quel côté est adjacent à notre angle ? 12
4. Calcule sin (opposé/hypoténuse) 5/13
5. Calcule cos (adjacent/hypoténuse) 12/13
6. Calcule tan (opposé/adjacent) 5/12
8.
Si $\sin(\theta) = 0{,}5$ , que peux-tu conclure sur le côté opposé et l'hypoténuse ?
1. a)L'opposé est le double de l'hypoténuse
2. b)L'opposé égale l'hypoténuse
3. c)L'adjacent est la moitié de l'hypoténuse
4. d)L'opposé est la moitié de l'hypoténuse
Réponse: L'opposé est la moitié de l'hypoténuse
Puisque $\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ , le côté opposé est la moitié de l'hypoténuse.
9.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé est 8 et l'hypoténuse est 10. Trouve les trois rapports trigonométriques.
Réponse: sin = 0,8; cos = 0,6; tan = 4/3
1. Calcule sin (opposé/hypoténuse) en décimal 0.8
2. Utilise Pythagore pour trouver l'adjacent: sqrt(10^2 - 8^2) 6
3. Calcule cos (adjacent/hypoténuse) en décimal 0.6
4. Calcule tan (opposé/adjacent) en fraction 8/6
10.
Dans un triangle rectangle, $\tan(\theta) = 1$ et le côté adjacent à $\theta$ mesure 7 cm. Combien mesure le côté opposé, en cm ?
Réponse: 7
$\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = 1$ signifie que le côté opposé a la même longueur que le côté adjacent, donc 7 cm. (C'est le cas quand $\theta = 45°$ .)
11.
Une échelle de 10 mètres est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 6 mètres du mur. Trouve le sinus de l'angle que l'échelle fait avec le sol.
Réponse: 0,8
1. Quelle est l'hypoténuse dans ce problème ? 10
2. Quel est le côté adjacent (distance du mur) ? 6
3. Utilise Pythagore pour trouver la hauteur: sqrt(10^2 - 6^2) 8
4. Calcule sin (hauteur/longueur de l'échelle) 0.8
12.
Pour quel angle $\sin(\theta) = \cos(\theta)$ ?
1. a)30 degrés
2. b)90 degrés
3. c)45 degrés
4. d)60 degrés
Réponse: 45 degrés
À 45 degrés, les côtés opposé et adjacent sont égaux, donc $\frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$ , ce qui signifie $\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
13.
Dans un triangle rectangle, $\sin(\theta) = \frac{5}{13}$ . Trouve $\cos(\theta)$ et $\tan(\theta)$ .
Réponse: cos = 12/13, tan = 5/12
1. De sin = 5/13, quel est le côté opposé ? 5
2. Quelle est l'hypoténuse ? 13
3. Trouve l'adjacent avec Pythagore: sqrt(13^2 - 5^2) 12
4. Calcule cos (adjacent/hypoténuse) 12/13
5. Calcule tan (opposé/adjacent) 5/12
14.
Si $\cos(\theta) = 0{,}6$ et l'hypoténuse est 15, quelle est la longueur du côté adjacent ?
Réponse: 9
Adjacent = $\cos(\theta) \times \text{hypoténuse} = 0{,}6 \times 15 = 9$
15.
Une rampe s'élève de 3 mètres sur une distance horizontale de 4 mètres. Trouve le sinus, cosinus et tangente de l'angle que la rampe fait avec le sol.
Réponse: sin = 0,6; cos = 0,8; tan = 0,75
1. De combien la rampe s'élève-t-elle (côté opposé) ? 3
2. Quelle est la distance horizontale (côté adjacent) ? 4
3. Trouve l'hypoténuse: sqrt(3^2 + 4^2) 5
4. Calcule sin (opposé/hypoténuse) sous forme décimale 0.6
5. Calcule cos (adjacent/hypoténuse) sous forme décimale 0.8
6. Calcule tan (opposé/adjacent) sous forme décimale 0.75