Equazioni con variabili su entrambi i lati

Impara a risolvere equazioni dove la variabile appare su entrambi i lati del segno di uguale.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Quando un'equazione ha variabili su entrambi i lati del segno di uguale, dobbiamo raccogliere tutti i termini con la variabile da un lato prima di risolvere.
La strategia:
  1. 1.Raccogliere i termini con la variabile da un lato (di solito a sinistra)
  2. 2.Raccogliere i termini costanti dall'altro lato
  3. 3.Risolvere l'equazione semplificata
Esempio: 5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9
5x−2x=9+35x - 2x = 9 + 3
3x=123x = 12
x=4x = 4
Principio chiave: Quello che fai da un lato, devi farlo anche dall'altro per mantenere l'equazione bilanciata.

Prova subito

Risolvi: 4x+5=2x+134x + 5 = 2x + 13

Esempi svolti

Risolvi: 5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9
1

Identifica i termini con la variabile su entrambi i lati

Sinistra: 5x5x, Destra: 2x2x → Variabili su entrambi i lati
2

Sottrai 2x2x da entrambi i lati

5x−2x−3=2x−2x+95x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9 → 3x−3=93x - 3 = 9
3

Aggiungi 33 a entrambi i lati

3x−3+3=9+33x - 3 + 3 = 9 + 3 → 3x=123x = 12
4

Dividi entrambi i lati per 33

3x3=123\frac{3x}{3} = \frac{12}{3} → x=4x = 4
5

Verifica la soluzione

5(4)−3=2(4)+95(4) - 3 = 2(4) + 9 dà 17=1717 = 17 \checkmark → Soluzione verificata!

Errori comuni

Sottrarre le variabili in modo errato: 5x−2x=35x - 2x = 3 invece di 3x3x

Perché è sbagliato: Quando si combinano termini simili, si sottraggono solo i coefficienti: 5x−2x=(5−2)x=3x5x - 2x = (5-2)x = 3x.

Corretto: 5x−2x=3x5x - 2x = 3x, non 33. La variabile rimane!

Dimenticare di eseguire le operazioni su ENTRAMBI i lati

Perché è sbagliato: Un'equazione è come una bilancia. Se cambi solo un lato, diventa sbilanciata (e sbagliata).

Corretto: Scrivi sempre entrambi i lati: 5x−2x−3=2x−2x+95x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9

Errori di segno quando si spostano i termini: 5x=2x+125x = 2x + 12 diventa 5x−2x=125x - 2x = 12

Perché è sbagliato: Quando un termine attraversa il segno di uguale, il suo segno cambia. Ma +12+12 rimane positivo se non si muove.

Corretto: 5x−2x=125x - 2x = 12 solo se sottrai 2x2x da entrambi i lati.

Non distribuire prima di combinare i termini simili

Perché è sbagliato: Non puoi combinare termini dentro e fuori dalle parentesi finché non distribuisci.

Corretto: Distribuisci sempre prima: 3(x+2)=3x+63(x + 2) = 3x + 6, poi combina i termini simili.

Visuale interattivo

Bilancia

5x − 3=2x + 9
5x
−3
2x
9
Applica a entrambi i lati:

Soluzione: x = 4

Risolutore di equazioni

Risolvi per xx:

5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9
1
5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9
Sottrai 2x2x da entrambi i latiSposta le variabili da un lato

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

17 esercizi
Problema 1 di 17
Facile
Risolvi: 4x+5=2x+134x + 5 = 2x + 13

Perché è importante

Le equazioni con variabili su entrambi i lati compaiono costantemente nella risoluzione di problemi reali:
  • Confronto di costi: Quando l'affitto diventa più conveniente dell'acquisto?
  • Analisi del punto di pareggio: In quale punto due opzioni costano lo stesso?
  • Problemi di distanza: Quando si incontrano due oggetti che si muovono uno verso l'altro?
  • Scienze: Bilanciare equazioni chimiche, formule di fisica
Questa competenza è essenziale per l'algebra avanzata, inclusi i sistemi di equazioni e le disequazioni.

Applicazioni nel mondo reale

Confrontare piani telefonici

Le compagnie telefoniche offrono diverse strutture di prezzo. Le equazioni aiutano a trovare il punto di pareggio.

Esempio:

Il Piano A costa 20 euro più 0,10 euro al minuto. Il Piano B costa 10 euro più 0,15 euro al minuto. Quando costano lo stesso?

1Provaci tu stesso

Piano A: 20 + 0,10m euro. Piano B: 10 + 0,15m euro, dove m = minuti usati.

A quanti minuti entrambi i piani costano lo stesso?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Uguaglia i costi: 20+0,10m=10+0,15m20 + 0,10m = 10 + 0,15m

Raggiungere in una gara

Quando due corridori partono da posizioni o velocità diverse, possiamo calcolare quando si incontreranno.

Esempio:

Il corridore A parte 50 metri avanti ma corre a 6 m/s. Il corridore B corre a 8 m/s. Quando B raggiunge A?

2Provaci tu stesso

Posizione A: 50 + 6t metri. Posizione B: 8t metri (t = secondi).

Dopo quanti secondi il corridore B raggiunge il corridore A?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Uguaglia le posizioni: 50+6t=8t50 + 6t = 8t

Conversione di temperatura

Le scale Celsius e Fahrenheit si incontrano a una temperatura specifica.

Esempio:

A quale temperatura Celsius è uguale a Fahrenheit? Usa F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32.

3Provaci tu stesso

Se C=FC = F, allora: C=95C+32C = \frac{9}{5}C + 32

A quale temperatura Celsius e Fahrenheit sono uguali?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi: C=95C+32C = \frac{9}{5}C + 32

Punti chiave

  • 1Le equazioni con variabili su entrambi i lati richiedono di raccogliere prima i termini con la variabile da un lato
  • 2Usa operazioni inverse: sottrai/aggiungi i termini con variabile, poi sottrai/aggiungi le costanti
  • 3Se ci sono parentesi, distribuisci prima di combinare i termini simili
  • 4Verifica sempre la tua soluzione sostituendola nell'equazione originale
  • 5Quello che fai da un lato, devi farlo anche dall'altro

Domande frequenti

No! Puoi raccogliere le variabili da qualsiasi lato. Tuttavia, raccoglierle dal lato con il coefficiente maggiore spesso evita coefficienti negativi, rendendo l'aritmetica più facile.
No! Puoi raccogliere le variabili da qualsiasi lato. Tuttavia, raccoglierle dal lato con il coefficiente maggiore spesso evita coefficienti negativi, rendendo l'aritmetica più facile.
Questo significa che l'equazione è un'identità - è vera per TUTTI i valori di x. Per esempio, 2x+4=2(x+2)2x + 4 = 2(x + 2) si semplifica in 0=00 = 0, il che significa che qualsiasi numero funziona.
Questo significa che non c'è soluzione. L'equazione è una contraddizione. Per esempio, x+3=x+5x + 3 = x + 5 porta a 3=53 = 5, che non è mai vero.

Glossario

Termini simili
Termini con la stessa variabile elevata alla stessa potenza (es., 5x5x e 2x2x sono termini simili)
Coefficiente
Il numero moltiplicato per una variabile (es., in 5x5x, il coefficiente è 55)
Operazione inversa
Un'operazione che annulla un'altra (addizione/sottrazione, moltiplicazione/divisione)
Equazione identità
Un'equazione che è vera per tutti i valori della variabile (es., x+1=x+1x + 1 = x + 1)
Contraddizione
Un'equazione senza soluzione perché non è mai vera (es., x=x+1x = x + 1)

Scheda formule

Strategia di risoluzione

1. Distribuire le parentesi 2. Raccogliere i termini con variabile da un lato 3. Raccogliere i termini costanti dall'altro lato 4. Risolvere e verificare

Passaggi per risolvere equazioni con variabili su entrambi i lati

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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