Equazioni con frazioni

Impara a risolvere equazioni che contengono frazioni eliminando i denominatori e usando le operazioni inverse.

Intermedio25 minLezione
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Definizione

Un'equazione con frazioni contiene una o più frazioni con variabili. Per risolvere queste equazioni, eliminiamo i denominatori moltiplicando ogni termine per il minimo comune multiplo (mcm).
Strategia generale:
  1. 1.Trova il mcm di tutti i denominatori
  2. 2.Moltiplica ogni termine per il mcm
  3. 3.Semplifica (le frazioni scompaiono!)
  4. 4.Risolvi l'equazione risultante
  5. 5.Verifica la tua risposta
Esempio:
x2+13=56\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
Il mcm di 2, 3 e 6 è 6. Moltiplica ogni termine per 6:
6⋅x2+6⋅13=6⋅566 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}
3x+2=53x + 2 = 5
3x=33x = 3
x=1x = 1

Prova subito

Qual è il primo passo per risolvere x5=4\frac{x}{5} = 4?

Esempi svolti

Risolvi: x4=3\frac{x}{4} = 3
1

Identifica l'operazione applicata a x

xx è diviso per 4 → Divisione per 4
2

Applica l'operazione inversa

Moltiplica entrambi i membri per 4 → 4⋅x4=4⋅34 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3
3

Semplifica

x=12x = 12
4

Verifica

124=3\frac{12}{4} = 3 ✓ → Soluzione verificata

Errori comuni

Moltiplicare solo alcuni termini per il mcm

Perché è sbagliato: Quando elimini i denominatori, devi moltiplicare OGNI termine (inclusi i numeri interi) per il mcm per mantenere l'equazione bilanciata.

Corretto: In x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5, moltiplica TUTTI i termini per 6, anche il 5: 6⋅x2+6⋅x3=6⋅56 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 dà 3x+2x=303x + 2x = 30, non 3x+2x=53x + 2x = 5

Dimenticare di distribuire dopo aver eliminato le frazioni

Perché è sbagliato: Quando moltiplichi x+14\frac{x + 1}{4} per 12, ottieni 3(x+1)3(x + 1): il 3 moltiplica tutto il numeratore, cioè sia xx sia 11.

Corretto: 12⋅x+14=3(x+1)=3x+312 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3, non 3x+13x + 1

Usare un mcm sbagliato

Perché è sbagliato: Un multiplo comune più grande (come 24 per 4 e 6) funziona comunque, ma dà numeri più grandi; un numero che non è multiplo comune lascia frazioni nell'equazione.

Corretto: Il mcm di 4 e 6 è 12, non 24. Trova il MINIMO comune multiplo, non un qualsiasi multiplo comune.

Non verificare la risposta

Perché è sbagliato: Eliminare le frazioni richiede diverse moltiplicazioni, quindi è facile sbagliare. Se una variabile è al denominatore, un valore può perfino annullare un denominatore (soluzione estranea).

Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta nell'equazione originale per verificare che funzioni.

Visuale interattivo

Risolutore di equazioni

Risolvi per xx:

x4=3\frac{x}{4} = 3
1
x4=3\frac{x}{4} = 3
Moltiplica entrambi i lati per il minimo comune denominatore 44Non ci sono più frazioni

Suggerimenti:

  • • Quello che fai da un lato, fallo dall'altro
  • • Annulla le operazioni in ordine inverso
  • • Verifica la risposta sostituendo

Segui mentre risolviamo l'equazione passo dopo passo.

Bilancia

(1/4)x=3
(1/4)x
3
Applica a entrambi i lati:

Soluzione: x = 12

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

17 esercizi
Problema 1 di 17
Facile
Qual è il primo passo per risolvere x5=4\frac{x}{5} = 4?

Perché è importante

Le equazioni con frazioni appaiono costantemente nella vita reale:
  • Cucina: Adattare una ricetta da 6 a 4 persone significa usare 23\frac{2}{3} di ogni quantità. Se la versione ridotta richiede 2 tazze di farina, risolvere 23x=2\frac{2}{3}x = 2 dà la quantità originale: x=3x = 3 tazze
  • Finanze: Calcolare quanto tempo risparmiare quando metti da parte 14\frac{1}{4} del tuo reddito mensile
  • Scienze: Problemi di velocità come dt=r\frac{d}{t} = r (distanza, tempo, velocità)
  • Costruzione: Scale di progetti dove 150\frac{1}{50} significa risolvere x50=12\frac{x}{50} = 12
Padroneggiare questa abilità apre le porte per risolvere proporzioni, equazioni razionali e problemi del mondo reale!

Applicazioni nel mondo reale

Adattare le ricette

I cuochi spesso devono adattare le ricette quando cucinano per numeri diversi di persone.

Esempio:

Una ricetta usa 34\frac{3}{4} tazza di farina per 12 biscotti. Quanta farina per 20 biscotti? Risolvi 3/412=x20\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}.

1Provaci tu stesso

Una ricetta per frullato richiede 23\frac{2}{3} tazza di frutti di bosco per 2 porzioni. Vuoi fare 5 porzioni.

Quante tazze di frutti di bosco ti servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta la proporzione: 2/32=x5\frac{2/3}{2} = \frac{x}{5}

Problemi di lavoro condiviso

Quando due persone lavorano insieme, il loro tasso di lavoro combinato determina quanto velocemente finiscono.

Esempio:

Se Maria può dipingere una stanza in 4 ore e Giovanni in 6 ore, insieme completano 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} della stanza all'ora.

2Provaci tu stesso

Il tubo A riempie un serbatoio in 3 ore. Il tubo B lo riempie in 6 ore. Con entrambi i tubi aperti, quale frazione del serbatoio si riempie in 1 ora?

Quale frazione del serbatoio viene riempita all'ora?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma i tassi: 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

Velocità e distanza

La formula $d = rt$ (distanza = velocità per tempo) spesso coinvolge frazioni quando i tempi non sono numeri interi.

Esempio:

Se viaggi per 34\frac{3}{4} d'ora a 60 km/h, percorri 60×34=4560 \times \frac{3}{4} = 45 km.

3Provaci tu stesso

Un ciclista percorre 15 km in 23\frac{2}{3} d'ora.

Qual è la velocità media del ciclista in km/h?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa r=dtr = \frac{d}{t}: r=152/3r = \frac{15}{2/3}

Punti chiave

  • 1Per risolvere equazioni con frazioni, trova il mcm e moltiplica ogni termine per eliminare i denominatori
  • 2Il metodo del reciproco funziona bene quando una frazione moltiplica la variabile: moltiplica entrambi i membri per il reciproco
  • 3Distribuisci sempre attentamente quando elimini frazioni con espressioni al numeratore
  • 4Verifica la tua risposta sostituendola nell'equazione originale

Domande frequenti

Moltiplicare per il mcm elimina tutti i denominatori in una volta, convertendo l'equazione frazionaria in un'equazione più semplice con numeri interi. Questo rende la risoluzione molto più facile.
Moltiplicare per il mcm elimina tutti i denominatori in una volta, convertendo l'equazione frazionaria in un'equazione più semplice con numeri interi. Questo rende la risoluzione molto più facile.
Il prodotto incrociato funziona quando hai una proporzione (una frazione uguale a un'altra frazione). Per equazioni con più termini, usa il metodo del mcm.
Va benissimo! Molte equazioni con frazioni hanno soluzioni frazionarie. Verifica semplicemente sostituendo la frazione nell'equazione originale.

Glossario

mcm (minimo comune multiplo)
Il numero più piccolo che è multiplo di tutti i denominatori in un'equazione
Reciproco
L'inverso di una frazione; il reciproco di ab\frac{a}{b} è ba\frac{b}{a}
Eliminare i denominatori
Moltiplicare ogni termine per il mcm per rimuovere tutte le frazioni
Soluzione estranea
Una soluzione che emerge dalla risoluzione ma non soddisfa l'equazione originale

Scheda formule

Metodo del mcm

Moltiplica tutti i termini per il mcm

Elimina tutte le frazioni in una volta

Metodo del reciproco

Se abx=c\frac{a}{b}x = c, allora x=c⋅bax = c \cdot \frac{b}{a}

Moltiplica per il reciproco del coefficiente

Prodotto incrociato

Se ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, allora ad=bcad = bc

Solo per proporzioni

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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