Introduzione ai sistemi di equazioni

Impara cosa sono i sistemi di equazioni e scopri come due equazioni possono lavorare insieme per trovare una soluzione unica.

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Definizione

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che condividono le stesse variabili. La soluzione di un sistema è l'insieme dei valori che rende TUTTE le equazioni vere contemporaneamente.
Per esempio, il sistema:
{x+y=5x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
ha come soluzione x=3x = 3 e y=2y = 2, perché:
  • 3+2=53 + 2 = 5 (prima equazione vera)
  • 3−2=13 - 2 = 1 (seconda equazione vera)
Graficamente, la soluzione è il punto in cui le due rette si intersecano.

Prova subito

Cos'è un sistema di equazioni?

Esempi svolti

(x,y)=(4,3)(x, y) = (4, 3) è una soluzione del sistema: x+y=7x + y = 7 e 2x−y=52x - y = 5?
1

Sostituire nella prima equazione

x+y=4+3=7x + y = 4 + 3 = 7 → Prima equazione: 7=77 = 7 è VERO
2

Sostituire nella seconda equazione

2x−y=2(4)−3=8−3=52x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 → Seconda equazione: 5=55 = 5 è VERO
3

Verificare se ENTRAMBE sono soddisfatte

Prima equazione: VERO, Seconda equazione: VERO → Entrambe le equazioni sono soddisfatte

Errori comuni

Verificare solo un'equazione e dichiarare che è una soluzione

Perché è sbagliato: Una soluzione deve soddisfare TUTTE le equazioni del sistema, non solo una.

Corretto: Sostituisci sempre la tua risposta in ogni equazione per verificare che funzioni per tutte.

Confondere la soluzione (3,2)(3, 2) con (2,3)(2, 3)

Perché è sbagliato: Nelle coppie ordinate, il primo numero è xx e il secondo è yy. L'ordine è importante!

Corretto: Scrivi sempre le soluzioni nell'ordine corretto: (x,y)(x, y). Etichetta chiaramente il tuo lavoro.

Pensare che le rette parallele abbiano una soluzione

Perché è sbagliato: Le rette parallele non si intersecano mai, quindi non c'è nessun punto che appartiene a entrambe.

Corretto: Se due rette sono parallele (stessa pendenza, diversa intercetta y), il sistema non ha soluzione.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-202468-202468xy(2; 3)

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

y = x + 1y = -x + 5
  • Punto di intersezione: (2; 3)

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

16 esercizi
Problema 1 di 16
Facile
Cos'è un sistema di equazioni?

Perché è importante

I sistemi di equazioni ci aiutano a risolvere problemi con più incognite:
  • Commercio: Determinare il prezzo di articoli quando si conoscono i costi totali di ordini diversi
  • Chimica: Bilanciare equazioni chimiche e problemi di miscele
  • Ingegneria: Calcolare le forze in strutture con più punti di appoggio
  • Vita quotidiana: Scoprire quanti articoli di ogni tipo qualcuno ha comprato quando si conoscono il totale e il costo totale
Ogni volta che hai due incognite e due informazioni, i sistemi di equazioni sono lo strumento da usare!

Applicazioni nel mondo reale

Problemi di acquisti

Determinare prezzi individuali quando si conoscono solo i totali combinati.

Esempio:

Se 3 mele e 2 arance costano 11 euro, e 2 mele e 3 arance costano 9 euro, puoi trovare il prezzo di ogni frutto usando un sistema di equazioni.

1Provaci tu stesso

Un negozio vende quaderni e penne. Emma compra 2 quaderni e 3 penne per 13 euro. Tom compra 4 quaderni e 1 penna per 17 euro.

Qual è il prezzo di un quaderno?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Imposta il sistema: 2q+3p=132q + 3p = 13 e 4q+p=174q + p = 17

Problemi di miscele

Combinare sostanze diverse per raggiungere una concentrazione o quantità target.

Esempio:

Mescolare una soluzione di acido al 10% con una soluzione di acido al 30% per creare 100 mL di una soluzione al 22%.

2Provaci tu stesso

Una chimica ha bisogno di 50 litri di una soluzione di alcol al 60%. Ha a disposizione una soluzione al 40% e una al 80%.

Quanti litri della soluzione all'80% le servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sia xx = litri al 40%, yy = litri all'80%. Imposta: x+y=50x + y = 50 e 0,4x+0,8y=0,6(50)0,4x + 0,8y = 0,6(50)

Punti chiave

  • 1Un sistema di equazioni è costituito da due o più equazioni con le stesse variabili
  • 2La soluzione sono i valori che rendono TUTTE le equazioni vere contemporaneamente
  • 3Graficamente, la soluzione è il punto di intersezione delle rette
  • 4Per verificare una soluzione, sostituisci i valori in ogni equazione e controlla
  • 5I sistemi possono avere una soluzione (rette secanti), nessuna soluzione (rette parallele) o infinite soluzioni (stessa retta)

Domande frequenti

Se le rette sono parallele (stessa pendenza ma intercette y diverse), non si incontrano mai e il sistema non ha soluzione. Lo chiamiamo sistema impossibile.
Se le rette sono parallele (stessa pendenza ma intercette y diverse), non si incontrano mai e il sistema non ha soluzione. Lo chiamiamo sistema impossibile.
Se le due equazioni rappresentano la stessa retta, allora ogni punto su quella retta è una soluzione. Questo dà infinite soluzioni. Lo chiamiamo sistema indeterminato.
Un'equazione con due incognite ha infinite soluzioni (un'intera retta di punti). La seconda equazione la riduce a un punto specifico dove entrambe le condizioni sono soddisfatte.

Glossario

Sistema di equazioni
Un insieme di due o più equazioni che condividono le stesse variabili e vengono risolte insieme
Soluzione di un sistema
La coppia ordinata (o le coppie) che soddisfa tutte le equazioni del sistema contemporaneamente
Sistema determinato
Un sistema che ha esattamente una soluzione
Sistema impossibile
Un sistema senza soluzione (rette parallele)
Sistema indeterminato
Un sistema dove le equazioni rappresentano la stessa retta, dando infinite soluzioni
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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