La regola funziona con più di due potenze?

Sì. Somma tutti gli esponenti: $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Posso usare la regola per $2^3 \cdot 3^3$?

No, le basi sono diverse, quindi non puoi sommare gli esponenti. Qui però gli esponenti sono uguali, e allora aiuta un'altra regola: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Verifica: $8 \cdot 27 = 216$. Con basi ed esponenti diversi, come $2^3 \cdot 3^2$, calcola e basta: $8 \cdot 9 = 72$.

$2^3 + 2^4$ è uguale a $2^7$?

No. Questa regola vale solo per la moltiplicazione. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, mentre $2^7 = 128$.

Risorse per insegnanti

Prodotto di potenze con la stessa base

Q: Perché gli esponenti si sommano e non si moltiplicano?

Ogni esponente conta dei fattori. $2^3$ sono 3 fattori 2 e $2^4$ sono altri 4 fattori 2, quindi in tutto ci sono $3 + 4 = 7$ fattori: $2^7$. Gli esponenti si moltiplicano in un'altra situazione, la potenza di una potenza come $(2^3)^4$, che ha una lezione tutta sua.

Scopri perché, moltiplicando potenze con la stessa base, si sommano gli esponenti, con numeri, lettere e coefficienti.

Intermedio20 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

La regola del prodotto di potenze con la stessa base dice: quando moltiplichi due potenze che hanno la stessa base, lasci la base e sommi gli esponenti.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Perché funziona: conta i fattori.

2^3

significa tre fattori

2

, e

2^4

significa quattro fattori

2

. Moltiplicando le due potenze, tutti i fattori finiscono in un'unica fila:

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ fattori}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ fattori}} = 2^{7}

Tre fattori e quattro fattori fanno sette fattori, quindi gli esponenti si sommano:

3 + 4 = 7

. Verifica con i numeri:

8 \cdot 16 = 128 = 2^7

Ricorda:

La base resta la stessa: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , mai $4^7$ .
Gli esponenti si sommano, non si moltiplicano: $2^7$ , non $2^{12}$ .
Le basi devono essere uguali: $2^3 \cdot 5^2$ non si può scrivere come un'unica potenza.
Una base senza esponente scritto ha esponente $1$ : $x = x^1$ .

Prova subito

Quale espressione è uguale a

5^2 \cdot 5^6

Esempi svolti

Semplifica $3^2 \cdot 3^5$ e verifica il risultato.

Controlla le basi

Entrambe le potenze hanno base $3$ → Stessa base, quindi la regola vale

Somma gli esponenti

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ → $3^7$

Verifica contando i fattori

$(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ ha $2 + 5 = 7$ fattori $3$ → $3^7$ ✓

Verifica con i numeri

$3^2 = 9$ , $3^5 = 243$ , $9 \cdot 243 = 2187$ → $3^7 = 2187$ ✓

Risposta: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Errori comuni

Moltiplicare gli esponenti: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Perché è sbagliato: Gli esponenti contano i fattori. Tre fattori e quattro fattori sono $3 + 4 = 7$ fattori, non $3 \cdot 4 = 12$ . Verifica: $8 \cdot 16 = 128$ , ma $2^{12} = 4096$ . Gli esponenti si moltiplicano nella potenza di una potenza, come $(2^3)^4$ .

Corretto: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Moltiplicare le basi: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Perché è sbagliato: Ogni fattore della fila è sempre un $2$ . Niente diventa un $4$ . E $4^7 = 16\,384$ , molto più del vero prodotto $128$ .

Corretto: Lascia la base: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Sommare gli esponenti di basi diverse: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ o $5^5$

Perché è sbagliato: La regola richiede la stessa base, perché solo allora tutti i fattori sono uguali. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ , mentre $6^5 = 7776$ .

Corretto: Lascialo come $2^3 \cdot 3^2$ oppure calcolalo: $8 \cdot 9 = 72$

Sommare i coefficienti: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Perché è sbagliato: I coefficienti $3$ e $4$ sono normali fattori, quindi si moltiplicano. Si sommano solo gli esponenti della stessa base.

Corretto: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Visuale interattivo

Potenze come fattori ripetuti

Prodotto di potenze

Stessa base, si moltiplica: si sommano gli esponenti.

2^{3} \cdot 2^{4}

Scrivi ogni potenza come prodotto di fattori uguali

2

2

2

2^{3}

3 fattori

2

2

2

2

2^{4}

4 fattori

3 + 4 = 7 fattori in tutto

Risultato

\displaystyle 2^{3} \cdot 2^{4}

=

\displaystyle 2^{3 + 4}

=

\displaystyle 2^{7}

Valore: $2^{7} = 128$

Esponente m3Esponente n4

Ordine delle operazioni

1. Parentesi
2. Potenze
3. × e ÷
4. + e −

\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}2^{3}$} \times 2^{4}

Poi le potenze: $2^{3} = 8$

Passo 1 di 3

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale espressione è uguale a $5^2 \cdot 5^6$ ?

Perché è importante

Questa regola ti evita di scrivere lunghe file di fattori, e la trovi ovunque in matematica e nelle scienze:

Notazione scientifica: $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , quindi mille per diecimila fa dieci milioni.
Memoria del computer: $2^{10}$ byte formano un kilobyte e $2^{10}$ kilobyte formano un megabyte, quindi un megabyte ha $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ byte.
Raddoppi successivi: qualcosa che raddoppia 3 volte e poi altre 4 volte è cresciuto di $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ volte.
Algebra: aree e volumi come $x^2 \cdot x$ o $3x^2 \cdot 4x^3$ vanno semplificati prima di risolvere equazioni o lavorare con i polinomi.

Inoltre è la regola su cui si costruiscono le altre: il quoziente di potenze con la stessa base e la potenza di una potenza seguono esattamente allo stesso modo, contando i fattori.

Applicazioni nel mondo reale

Memoria del computer

I computer contano la memoria in potenze di 2, quindi le dimensioni della memoria si moltiplicano con questa regola.

Esempio:

Un kilobyte è $2^{10}$ byte e un megabyte è $2^{10}$ kilobyte, quindi un megabyte è $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ byte.

1Provaci tu stesso

Un file è salvato in $2^6$ blocchi, e ogni blocco contiene $2^{10}$ byte.

Quanti byte occupa il file?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica il numero di blocchi per i byte di ogni blocco, $2^6 \cdot 2^{10}$ , e scrivi il risultato:

Contare con le potenze di dieci

Le grandi quantità nei negozi e nei magazzini si gestiscono facilmente come potenze di 10.

Esempio:

$10^2$ casse con $10^3$ viti ciascuna contengono $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ viti.

2Provaci tu stesso

Un magazzino ha $10^2$ scaffali. Ogni scaffale contiene $10^3$ scatole, e in ogni scatola ci sono $10$ penne.

Quante penne ci sono nel magazzino?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica i tre numeri, $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10$ , e scrivi il risultato:

Piegare la carta

Ogni piega raddoppia gli strati di un foglio di carta, quindi il numero di strati cresce in potenze di 2.

Esempio:

Dopo 2 pieghe ci sono $2^2 = 4$ strati, dopo 3 pieghe ce ne sono $2^3 = 8$ .

3Provaci tu stesso

Pieghi un foglio di carta a metà 3 volte. Poi pieghi la pila a metà altre 4 volte.

Quanti strati di carta ci sono alla fine?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Le prime pieghe danno $2^3$ strati, e le pieghe successive li moltiplicano per $2^4$ :

Punti chiave

1Prodotto di potenze con la stessa base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Stessa base, si sommano gli esponenti.
2Funziona perché conti i fattori: $2^3 \cdot 2^4$ ha $3 + 4 = 7$ fattori $2$ .
3La base resta la stessa: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , non $4^7$ .
4Gli esponenti si sommano, non si moltiplicano: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , non $2^{12}$ .
5Una base senza esponente scritto ha esponente 1: $x \cdot x^4 = x^5$ .
6Con i coefficienti, moltiplica i numeri e somma gli esponenti di ogni base: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$ . Le basi diverse restano separate.

Domande frequenti

Ogni esponente conta dei fattori.

2^3

sono 3 fattori 2 e

2^4

sono altri 4 fattori 2, quindi in tutto ci sono

3 + 4 = 7

fattori:

2^7

. Gli esponenti si moltiplicano in un'altra situazione, la potenza di una potenza come

(2^3)^4

, che ha una lezione tutta sua.

Glossario

Base: Il numero o la lettera che si moltiplica per sé stesso. In $x^5$ la base è $x$ .
Esponente: Il piccolo numero in alto che dice quanti fattori della base ci sono. In $x^5$ l'esponente è $5$ .
Potenza: Una base con un esponente, come $2^7$ , oppure il suo valore, $128$ .
Fattore: Ogni numero o lettera che si moltiplica in un prodotto. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ ha tre fattori $2$ .
Coefficiente: Il numero davanti a una lettera. In $12x^5$ il coefficiente è $12$ .
Prodotto di potenze con la stessa base: Per moltiplicare potenze con la stessa base si lascia la base e si sommano gli esponenti: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Scheda formule

Prodotto di potenze

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Stessa base: si lascia la base e si sommano gli esponenti.

Tre o più potenze

a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}

Somma tutti gli esponenti della stessa base.

Esponente nascosto

a = a^1

Una base senza esponente scritto ha esponente 1.

Con i coefficienti

c\,a^m \cdot d\,a^n = (c \cdot d)\,a^{m+n}

Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti.

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