Prodotto di potenze con la stessa base

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale espressione è uguale a $5^2 \cdot 5^6$ ?
1. a) $5^8$
2. b) $10^8$
3. c) $5^{12}$
4. d) $25^8$
Risposta: $5^8$
Stessa base $5$ , quindi si sommano gli esponenti: $5^{2+6} = 5^8$ . $5^{12}$ moltiplica gli esponenti, mentre $25^8$ e $10^8$ cambiano la base.
2.
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{\square}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 7
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ . Verifica: $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ .
3.
Quale prodotto si può scrivere come un'unica potenza con la regola del prodotto di potenze con la stessa base?
1. a) $2^3 \cdot 5^2$
2. b) $5^2 \cdot 3^3$
3. c) $7^3 \cdot 7^5$
4. d) $2^4 + 2^3$
Risposta: $7^3 \cdot 7^5$
Solo $7^3 \cdot 7^5$ è un prodotto con la stessa base: $7^{3+5} = 7^8$ . $2^3 \cdot 5^2$ e $5^2 \cdot 3^3$ hanno basi diverse, e $2^4 + 2^3$ è una somma, non un prodotto.
4.
$x \cdot x^6 = x^{\square}$ . Qual è l'esponente?
Risposta: 7
$x = x^1$ , quindi $x^1 \cdot x^6 = x^{1+6} = x^7$ .
5.
Scrivi $3^2 \cdot 3^3$ come un'unica potenza e calcola il suo valore.
Risposta: 243
1. Quanti fattori 3 ci sono in $3^2$ ? 2
2. Quanti fattori 3 ci sono in $3^3$ ? 3
3. In tutto sono $2 + 3$ fattori. Completa $3^2 \cdot 3^3 = 3^{\square}$ . 5
4. Qual è il valore di $3^5$ ? 243
6.
Semplifica $10^2 \cdot 10^4$ e scrivi il risultato come numero normale.
Risposta: 1000000
1. Entrambe le potenze hanno base 10. Somma gli esponenti $2 + 4$ . 6
2. Scrivi $10^6$ come numero normale. 1000000
7.
Semplifica $4x^3 \cdot 2x^5$ .
1. a) $8x^{15}$
2. b) $8x^8$
3. c) $6x^8$
4. d) $8x^2$
Risposta: $8x^8$
Moltiplica i coefficienti: $4 \cdot 2 = 8$ . Somma gli esponenti: $x^{3+5} = x^8$ . Quindi $4x^3 \cdot 2x^5 = 8x^8$ .
8.
$y^4 \cdot y^2 \cdot y^3 = y^{\square}$ . Qual è l'esponente?
Risposta: 9
$4 + 2 + 3 = 9$ , quindi il prodotto è $y^9$ .
9.
Sam scrive $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . Che cosa ha sbagliato?
1. a)Avrebbe dovuto moltiplicare gli esponenti
2. b)Avrebbe dovuto sottrarre gli esponenti
3. c)Niente, il risultato è corretto
4. d)Ha moltiplicato le basi invece di lasciare la base 2
Risposta: Ha moltiplicato le basi invece di lasciare la base 2
La base deve restare 2: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ . Il risultato di Sam, $4^7 = 16\,384$ , è troppo grande. Sommare gli esponenti, $3 + 4 = 7$ , era giusto; è cambiata solo la base.
10.
Semplifica $3x^2 \cdot 4x^3$ , poi calcola il suo valore per $x = 2$ .
Risposta: 384
1. Moltiplica i coefficienti $3 \cdot 4$ . 12
2. Somma gli esponenti di $x$ : $2 + 3$ . 5
3. Quindi il prodotto è $12x^5$ . Qual è il suo valore per $x = 2$ ? 384
11.
Semplifica $5a \cdot 2a^4$ .
Risposta: 10a^5
1. Moltiplica i coefficienti $5 \cdot 2$ . 10
2. Che esponente ha $a$ in $5a$ ? 1
3. Somma gli esponenti di $a$ : $1 + 4$ . 5
12.
Un rettangolo è lungo $2^5$ cm e largo $2^3$ cm. Calcola la sua area in cm².
Risposta: 256
1. L'area è $2^5 \cdot 2^3$ . Scrivila come $2^{\square}$ : qual è l'esponente? 8
2. Quanto fa $2^8$ ? 256
13.
$3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 6
Gli esponenti si sommano: $\square + 4 = 10$ , quindi l'esponente mancante è $6$ . Verifica: $3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$ .
14.
Quale prodotto NON è uguale a $2^{10}$ ?
1. a) $2 \cdot 2^9$
2. b) $2^4 \cdot 2^6$
3. c) $2^2 \cdot 2^5$
4. d) $2^5 \cdot 2^5$
Risposta: $2^2 \cdot 2^5$
$2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 = 128$ , non $2^{10} = 1024$ . Ottenere $10$ qui vorrebbe dire moltiplicare gli esponenti $2 \cdot 5$ , che è l'errore tipico. Gli altri sono giusti: $4 + 6 = 10$ , $1 + 9 = 10$ e $5 + 5 = 10$ .
15.
Calcola il valore di $(-2)^3 \cdot (-2)^4$ .
Risposta: -128
$(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$ . Sette fattori negativi danno un risultato negativo: $(-2)^7 = -128$ . Verifica: $-8 \cdot 16 = -128$ .
16.
Semplifica $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ .
Risposta: 10a^7b^3
1. Moltiplica i coefficienti $2 \cdot 5$ . 10
2. Esponente di $a$ : somma $3 + 4$ . 7
3. Esponente di $b$ : somma gli esponenti di $b$ e $b^2$ . 3
17.
Scrivi $4^3 \cdot 2^5$ come un'unica potenza di 2 e calcola il suo valore.
Risposta: 2048
1. Scrivi 4 come potenza di 2: $4 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 2
2. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2$ . Scrivilo come $2^{\square}$ : qual è l'esponente? 6
3. Ora $2^6 \cdot 2^5 = 2^{\square}$ . Qual è l'esponente? 11
4. Quanto fa $2^{11}$ ? 2048
18.
Trova $n$ se $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$ .
Risposta: 4
1. Gli esponenti si sommano: $n + 3 + n = 11$ . Quanto fa $2n$ ? 8
2. Quanto vale $n$ ? 4