Guida per l'insegnante: Proporzione percentuale

Usa la proporzione parte/totale = percentuale/100 per trovare una parte, un totale o una percentuale mancante con la moltiplicazione in croce.

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Quiz di classe

10 domande su Percentuali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Individuare la parte, il totale e la percentuale in un problema
Scrivere la proporzione parte/totale = p/100 per un problema dato
Risolvere la proporzione con la moltiplicazione in croce per una parte, un totale o una percentuale mancante
Risolvere problemi su verifiche, sondaggi e sconti e verificare la risposta

Prerequisiti

• Introduzione alle percentuali: per cento significa su 100
• Calcolare la percentuale di un numero: parte = percentuale del totale
• Risolvere proporzioni semplici ed equazioni come $30x = 1500$

Spunti di discussione

1. Due compagni hanno preso 18 su 20 e 42 su 50. Chi è andato meglio e come lo puoi mostrare?
2. Se 12 è il 30% di un numero, quel numero è più grande o più piccolo di 12? Perché?
3. Perché il numero con il segno % va sempre sopra il 100 nella proporzione?
4. Quando una parte può essere più del 100% del totale?

Idee sbagliate comuni

Il numero più grande è sempre il totale

Rimedio: Mostra una percentuale maggiore di 100: 60 è il 150% di 40. Chiedi agli studenti di cercare la quantità intera nel testo invece di confrontare le grandezze.

Ogni problema con le percentuali si risolve moltiplicando i due numeri

Rimedio: Proponi tre problemi con gli stessi numeri (12, 40, 30) in cui ogni volta manca un numero diverso, e risolvili tutti con la stessa proporzione.

La risposta a "che percentuale" è un decimale come 0,3

Rimedio: Fai notare che p sta sopra il 100 nella proporzione: p = 30 significa 30 su 100, cioè il 30%.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Usare un nastro con 10 caselle uguali (10% ciascuna) prima di scrivere la proporzione
• Dare uno schema con caselle vuote per parte, totale e p
• Cominciare con numeri che si dividono esattamente, come 5 su 20

Per studenti a livello:

• Mescolare problemi in cui manca la parte, il totale o la percentuale
• Risolvere problemi su verifiche e sondaggi e verificare ogni risposta
• Confrontare la proporzione e l'equazione percentuale sullo stesso problema

Per studenti avanzati:

• Risolvere problemi con percentuali maggiori di 100 e decimali come 12,5%
• Scrivere le proprie domande di sondaggio e risolvere quelle dei compagni
• Trovare il prezzo iniziale dopo uno sconto quando si conosce solo il prezzo scontato

Allineamento agli standard

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi su rapporti e percentuali in più passaggi
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Trovare la percentuale di una quantità come rapporto su 100; trovare il totale data una parte e la percentuale

Risorse della lezione

visualDiagramma a nastro delle percentuali
Un nastro per il totale (100%) con la parte segnata, per vedere parte e totale uno accanto all'altro.
activityÈ o di?
Gli studenti classificano i numeri di brevi problemi in parte, totale e percentuale prima di risolvere.
worksheetTre incognite
Problemi misti in cui manca la parte, il totale o la percentuale.

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La proporzione percentuale dice che una parte confrontata con il suo totale è uguale alla percentuale confrontata con 100:

\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}

Il totale è la quantità intera (di solito è il numero dopo la parola di).
La parte è un pezzo di quel totale (di solito è il numero vicino alla parola è).
$p$ è la percentuale, il numero davanti al segno %.

In ogni problema con le percentuali due di questi tre numeri sono noti e uno manca. Inserisci i numeri noti nella proporzione, scrivi una lettera per quello mancante, poi moltiplica in croce e dividi.

Esempio: Che percentuale di 40 è 12?

\frac{12}{40} = \frac{p}{100} \quad\Rightarrow\quad 40p = 12 \times 100 = 1200 \quad\Rightarrow\quad p = 30

Quindi 12 è il

30\%

di 40.

Esempi svolti

Che percentuale di 40 è 12?

Individua la parte e il totale

Il totale viene dopo "di": 40. La parte va con "è": 12. Manca la percentuale. → parte = 12, totale = 40

Scrivi la proporzione

$\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Moltiplica in croce

$40 \times p = 12 \times 100$ → $40p = 1200$

Dividi per 40

$p = 1200 \div 40$ → $p = 30$

Risposta: 12 è il $30\%$ di 40.

Errori comuni

Mettere il totale sopra: scrivere $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ per "Che percentuale di 40 è 12?"

Perché è sbagliato: La frazione a sinistra deve essere parte su totale. Capovolgendola si ottiene $p \approx 333$ , che qui è impossibile perché 12 è minore di 40.

Corretto: Parte sopra, totale sotto: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ , quindi $p = 30$ .

Scrivere la percentuale al posto della parte: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ per "15 è il 30% di quale numero?"

Perché è sbagliato: Il numero con il segno % va sempre sopra il 100. L'altro numero noto è la parte o il totale.

Corretto: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ , quindi $30x = 1500$ e $x = 50$ .

Moltiplicare in orizzontale invece che in croce: $12 \times p = 40 \times 100$

Perché è sbagliato: Nella moltiplicazione in croce ogni numeratore va con il denominatore dell'ALTRA frazione.

Corretto: Moltiplica lungo le diagonali: $12 \times 100 = 40 \times p$ .

Rispondere 0,3 quando si chiede la percentuale

Perché è sbagliato: Nella proporzione $p$ è già il numero di per cento (su 100), non un numero decimale.

Corretto: Se $p = 30$ , la risposta è $30\%$ . Scrivi il segno %.

Perché è importante

Sai già calcolare la percentuale di un numero. Nella vita reale, però, la domanda è spesso al contrario:

Verifiche: Hai preso 34 punti su 40. Che percentuale è?
Sondaggi: 45 studenti hanno scelto il basket, cioè il 18% degli intervistati. Quanti studenti sono stati intervistati?
Acquisti: Hai risparmiato 12 €, che erano uno sconto del 15%. Qual era il prezzo iniziale?
Sport: Una giocatrice segna 27 tiri liberi su 30. Qual è la sua percentuale di realizzazione?

La proporzione risolve tutti e tre i tipi di domanda con un solo schema, quindi non ti serve una regola diversa per ogni caso. Nella prossima lezione vedrai l'altro metodo, l'equazione percentuale (parte = tasso × totale), che risolve gli stessi problemi in una riga.

Applicazioni nel mondo reale

Voti delle verifiche

Gli insegnanti trasformano i punti in percentuali per confrontare verifiche con un numero diverso di domande.

Esempio:

18 punti su 24: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$ , quindi $p = 75$ , cioè un risultato del $75\%$ .

1Provaci tu stesso

Liam ha risposto correttamente a 27 delle 30 domande di un quiz.

Che percentuale di risposte giuste ha ottenuto Liam?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $\frac{27}{30} = \frac{p}{100}$ : calcola $27 \times 100 \div 30$

Sondaggi

I sondaggi danno i risultati in percentuale. Se conosci la percentuale e quante persone hanno dato una risposta, puoi trovare quante persone sono state intervistate.

Esempio:

Se 30 persone sono il $25\%$ di un gruppo, allora $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ e il gruppo ha 120 persone.

2Provaci tu stesso

In un sondaggio comunale, 120 persone hanno detto sì a un nuovo parco. Erano il 60% di tutte le persone intervistate.

Quante persone sono state intervistate?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $\frac{120}{x} = \frac{60}{100}$ : calcola $120 \times 100 \div 60$

Acquisti e sconti

Lo scontrino spesso indica quanto hai risparmiato, ma non il prezzo iniziale. La proporzione permette di ritrovarlo.

Esempio:

Risparmiare 6 € con uno sconto del $20\%$ significa $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$ , quindi il prezzo iniziale era 30 €.

3Provaci tu stesso

Una giacca è scontata del 15% e risparmi 12 €.

Qual era il prezzo iniziale della giacca in euro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Risolvi $\frac{12}{x} = \frac{15}{100}$ : calcola $12 \times 100 \div 15$

Punti chiave

1La proporzione percentuale è $\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}$
2Il totale di solito segue la parola "di", la parte di solito va con "è"
3Il numero con il segno % va sempre sopra il 100
4Scrivi una lettera per il numero mancante, moltiplica in croce e poi dividi
5Lo stesso schema trova la parte, il totale o la percentuale
6Verifica la risposta: la parte deve essere quella percentuale del totale

Domande frequenti

Come capisco quale numero è la parte e quale il totale?

Chiediti: quale numero è la quantità intera? Quello è il totale (spesso dopo "di"). La parte è un pezzo del totale (spesso vicino a "è"). Se la percentuale è minore di 100, la parte è più piccola del totale.

La parte può essere più grande del totale?

Sì, quando la percentuale è maggiore di 100. Per esempio, 60 è il

150\%

di 40:

\frac{60}{40} = \frac{p}{100}

dà

p = 150

Perché la moltiplicazione in croce funziona?

Due frazioni uguali restano uguali se moltiplichi entrambi i membri per entrambi i denominatori. Da

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

si ottiene

a \times d = b \times c

Che differenza c'è tra la proporzione e l'equazione percentuale?

Sono due modi di scrivere la stessa relazione. La proporzione confronta due frazioni; l'equazione percentuale (prossima lezione) scrive parte = tasso × totale, con la percentuale in forma decimale. Entrambe danno la stessa risposta.

Glossario

Proporzione percentuale: L'uguaglianza $\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}$ che collega una parte, un totale e una percentuale.
Parte: La quantità che è una porzione del totale, per esempio le risposte giuste di una verifica.
Totale: La quantità intera, che corrisponde al $100\%$ .
Percentuale: Un numero su 100, scritto con il segno %.
Moltiplicazione in croce: In $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , moltiplicare lungo le diagonali per ottenere $a \times d = b \times c$ .

Scheda formule

Proporzione percentuale

\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}

Parte su totale uguale percentuale su 100.

Percentuale mancante

p = \frac{\text{parte} \times 100}{\text{totale}}

Che percentuale di 40 è 12? $p = 1200 \div 40 = 30$

Totale mancante

\text{totale} = \frac{\text{parte} \times 100}{p}

15 è il 30% di quale numero? $1500 \div 30 = 50$

Parte mancante

\text{parte} = \frac{p \times \text{totale}}{100}

Il 35% di 60: $2100 \div 100 = 21$

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Voti delle verifiche

Sondaggi

Acquisti e sconti

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Proporzione percentuale

Percentuale mancante

Totale mancante

Parte mancante

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