Guida per l'insegnante: Equazione percentuale

Risolvi qualsiasi problema con le percentuali con una sola equazione: parte = tasso × totale. Trova la parte, il totale o la percentuale, anche sopra il 100% e sotto l'1%.

Presenta lezioneVisualizza pagina studente

Usa questa lezione in classe

Gratis, senza account per gli studenti.

Condividi con gli studenti

Gli studenti aprono la lezione e si esercitano con correzione immediata.

Scheda da stampare

Tutti gli esercizi su carta, con le soluzioni a parte.

Scheda di esercizi Soluzioni

Quiz di classe

10 domande su Percentuali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Tradurre frasi con percentuali in equazioni, con "è" come = e "di" come ×
Usare parte = tasso × totale con il tasso scritto come numero decimale
Trovare il totale e il tasso, e scrivere il tasso come percentuale
Lavorare con percentuali maggiori del 100% e minori dell'1%
Confrontare l'equazione percentuale con il metodo della proporzione

Prerequisiti

• Introduzione alle percentuali: trasformare percentuali in numeri decimali
• Calcolare la percentuale di un numero: moltiplicare un totale per una percentuale
• Risolvere equazioni a un passaggio come $0{,}25x = 30$
• Proporzione percentuale: $\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}$ (utile per il confronto)

Spunti di discussione

1. In "30 è il 25% di quale numero?", quale numero è la parte e quale manca? Come lo sai?
2. Il 150% di un numero può essere più piccolo del numero? Perché sì o perché no?
3. Perché lo 0,4% non è uguale a 0,4? Che cosa andrebbe storto in un calcolo?
4. Hai risolto lo stesso problema con un'equazione e con una proporzione. Quale ti è sembrata più facile e perché?
5. Nella vita reale, quando conosci la parte e la percentuale ma non il totale?

Idee sbagliate comuni

Il numero più grande è sempre il totale

Rimedio: Mostra "42 è il 150% di quale numero?": la parte 42 è più grande del totale 28. Insegna a riconoscere il totale dalla parola "di", non dalla grandezza.

Nell'equazione il tasso può restare come numero della percentuale (25 invece di 0,25)

Rimedio: Risolvi con la classe $30 = 25x$ e ottieni $x = 1{,}2$ . Chiedi se 30 può davvero essere il 25% di 1,2. Poi risolvi $30 = 0{,}25x$ e verifica con $0{,}25 \times 120 = 30$ .

Una percentuale sotto l'1% è la stessa cosa di un decimale minore di 1

Rimedio: Scrivi $40\%$ , $4\%$ , $0{,}4\%$ uno sotto l'altro e dividi ciascuno per 100: $0{,}4$ , $0{,}04$ , $0{,}004$ . Collega il tutto al denaro: lo 0,4% di 1000 € è solo 4 €.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dai uno schema "___ è il ___% di ___"; gli studenti scrivono due numeri e segnano l'incognita
• Comincia con tassi semplici (10%, 25%, 50%) prima di tassi come 35% o 0,4%
• Fai verificare ogni risposta sostituendola in parte = tasso × totale

Per studenti a livello:

• Mescola in una sola serie problemi che chiedono la parte, il totale o la percentuale
• Inserisci problemi su acconti, voti e interessi
• Risolvi due problemi con l'equazione e con la proporzione e confronta

Per studenti avanzati:

• Lavora con tassi come 0,25% e 260% e spiega che cosa significano
• Scrivi un problema sulle percentuali per ogni quantità incognita
• Trova il totale quando la parte è un prezzo dopo un aumento, per esempio 72 è il 120% del prezzo dell'anno scorso

Allineamento agli standard

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usare le relazioni di proporzionalità per risolvere problemi con rapporti e percentuali in più passaggi
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Trovare la percentuale di una quantità come tasso su 100; trovare il totale dati una parte e la percentuale
7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)
Risolvere problemi che portano a equazioni della forma px + q = r e p(x + q) = r

Risorse della lezione

visualRisolutore di equazioni passo per passo
Gli studenti risolvono equazioni percentuali come $0{,}25x = 30$ un passaggio alla volta
visualDiagramma a nastro delle percentuali
Un nastro diviso in 25% e 75% mostra come una parte di 30 appartenga a un totale di 120
activityTraduci la frase
Carte con frasi sulle percentuali; gli studenti cerchiano "è" e "di" e scrivono l'equazione corrispondente
worksheetTrova il pezzo mancante
Una tabella di parte, tasso e totale con un valore mancante in ogni riga, anche con tassi sopra il 100% e sotto l'1%

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

L'equazione percentuale collega tre quantità con una sola moltiplicazione:

\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}

Il totale (l'intero) è la quantità di cui prendi una percentuale (il 100%).
Il tasso è la percentuale scritta come numero decimale: $25\% = 0{,}25$ , $150\% = 1{,}5$ , $0{,}4\% = 0{,}004$ .
La parte è la quantità descritta dalla percentuale.

Tradurre le parole nell'equazione:

"è" diventa $=$
"di" diventa $\times$
"quale numero" o "quale percentuale" diventa l'incognita $x$

Così "30 è il 25% di quale numero?" diventa

30 = 0{,}25x

Se conosci due delle tre quantità, puoi sempre trovare la terza:

parte: moltiplica, $\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}$
totale: dividi, $\text{totale} = \text{parte} \div \text{tasso}$
tasso: dividi, $\text{tasso} = \text{parte} \div \text{totale}$ , poi moltiplica per 100 per ottenere la percentuale

Esempi svolti

Quale numero è il 35% di 80?

Traduci le parole

"Quale numero" è $x$ , "è" è $=$ , "di" è $\times$ → $x = 35\% \times 80$

Scrivi il tasso come numero decimale

$35\% = 35 \div 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \times 80$

Moltiplica

$0{,}35 \times 80 = 28$ → $x = 28$

Risposta: 28 è il 35% di 80.

Errori comuni

Usare il numero della percentuale invece del decimale: scrivere $30 = 25x$ e ottenere $x = 1{,}2$

Perché è sbagliato: Nell'equazione il tasso deve essere un numero decimale. Il 25% significa 25 su cento, cioè $0{,}25$ , non $25$ .

Corretto: Dividi prima la percentuale per 100: $30 = 0{,}25x$ , quindi $x = 120$ .

Scambiare la parte e il totale: per "30 è il 25% di quale numero?" calcolare $0{,}25 \times 30 = 7{,}5$

Perché è sbagliato: Il numero dopo "di" è il totale. Qui il totale è l'incognita e 30 è la parte, quindi 30 va a sinistra dell'uguale.

Corretto: Traduci parola per parola: $30 = 0{,}25 \times x$ , quindi $x = 120$ .

Dimenticare di moltiplicare per 100 quando cerchi il tasso: rispondere "0,4%" a "Quale percentuale di 45 è 18?"

Perché è sbagliato: La parte divisa per il totale dà il tasso come decimale ( $0{,}4$ ). La percentuale è quel decimale moltiplicato per 100.

Corretto: $18 \div 45 = 0{,}4$ e $0{,}4 \times 100 = 40$ , quindi la risposta è $40\%$ .

Scrivere una piccola percentuale con il decimale sbagliato: $0{,}4\% = 0{,}04$ oppure $0{,}4\% = 0{,}4$

Perché è sbagliato: Ogni percentuale si divide per 100, anche quelle piccole. Sposta la virgola di due posti a sinistra: $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Corretto: $0{,}4\% = 0{,}004$ , quindi lo 0,4% di 500 è $0{,}004 \times 500 = 2$ .

Perché è importante

Nella lezione "Calcolare la percentuale di un numero" conoscevi sempre il totale e la percentuale. I problemi reali spesso nascondono un'altra incognita:

Acquisti: paghi un acconto di 45 €, che è il 15% del prezzo. Qual è il prezzo intero? (manca il totale)
Voti: prendi 34 punti su 40. Che percentuale è? (manca il tasso)
Risparmio: un conto rende lo 0,8% di interessi all'anno. Quanto devi risparmiare per guadagnare 36 €? (un tasso sotto l'1%)
Crescita: una città ha oggi il 260% della sua popolazione di un tempo. (un tasso sopra il 100%)

L'equazione percentuale risolve tutti questi casi con la stessa breve riga,

\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}

, e con la risoluzione delle equazioni che già conosci.

Applicazioni nel mondo reale

Pagare un acconto

I negozi chiedono spesso un acconto pari a una percentuale del prezzo intero. L'acconto è la parte, e il prezzo intero è il totale che a volte devi trovare.

Esempio:

Un acconto di 60 € che è il 20% del prezzo dà $60 = 0{,}2x$ , quindi il prezzo è $60 \div 0{,}2 = 300$ €.

1Provaci tu stesso

Mia paga un acconto di 45 € per una bicicletta. L'acconto è il 15% del prezzo intero.

Qual è il prezzo intero della bicicletta in euro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi la parte per il tasso:

Voti e tiri liberi

Insegnanti e allenatori trasformano "tanti su tanti" in una percentuale. Qui l'incognita è il tasso.

Esempio:

Una giocatrice di basket segna 34 tiri liberi su 40: $34 = r \times 40$ , $r = 0{,}85$ , quindi segna l' $85\%$ dei tiri.

2Provaci tu stesso

In una verifica da 80 punti, Leo prende 68 punti.

Quale percentuale dei punti ha ottenuto Leo? Scrivi il numero senza il segno %.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi la parte per il totale e moltiplica per 100:

Interessi di risparmio sotto l'1%

I conti di risparmio pagano spesso meno dell'1% di interessi all'anno. Gli interessi sono la parte, i soldi sul conto sono il totale.

Esempio:

Con lo 0,5% di interessi, 2400 € rendono $0{,}005 \times 2400 = 12$ € in un anno.

3Provaci tu stesso

Un conto di risparmio rende lo 0,8% di interessi all'anno. Dopo un anno Sara ha guadagnato 36 € di interessi.

Quanti euro c'erano sul conto di Sara?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi gli interessi per il tasso in forma decimale:

Punti chiave

1L'equazione percentuale è $\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}$ , con il tasso scritto come numero decimale
2Traduci parola per parola: "è" diventa $=$ , "di" diventa $\times$ , "quale numero" diventa l'incognita
3Per trovare il totale, dividi: $\text{totale} = \text{parte} \div \text{tasso}$
4Per trovare la percentuale, dividi la parte per il totale e moltiplica per 100
5Sopra il 100% il tasso è maggiore di 1 ( $150\% = 1{,}5$ ) e la parte è più grande del totale; sotto l'1% il tasso comincia con $0{,}00$ ( $0{,}4\% = 0{,}004$ )
6L'equazione e la proporzione $\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}$ danno sempre la stessa risposta

Domande frequenti

Devo usare l'equazione percentuale o la proporzione?

Danno sempre la stessa risposta. L'equazione

\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}

è più corta quando trasformi facilmente la percentuale in decimale. La proporzione

\frac{\text{parte}}{\text{totale}} = \frac{p}{100}

(lezione "Proporzione percentuale") lascia la percentuale come numero intero e può sembrare più sicura con decimali difficili. Scegli quella che ti è più chiara.

La parte può essere più grande del totale?

Sì, quando la percentuale supera il 100%. Per esempio, il 150% di 28 è 42, che è più grande di 28. Succede spesso con la crescita, i prezzi e la popolazione.

Come capisco quale numero è il totale?

Cerca la parola "di": il totale di solito viene subito dopo. In "quale percentuale di 45 è 18", il totale è 45. Il numero vicino a "è" di solito è la parte.

Perché alla fine moltiplico per 100 quando cerco una percentuale?

La parte divisa per il totale dà il tasso come decimale, per esempio

0{,}4

. Per cento significa "su cento", quindi

0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\%

Glossario

Equazione percentuale: L'equazione $\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}$ che collega una percentuale a due quantità.
Totale (intero): La quantità di cui prendi una percentuale; corrisponde al 100%. Di solito viene dopo la parola "di".
Parte: La quantità uguale a una certa percentuale del totale.
Tasso: La percentuale scritta come numero decimale, per esempio $35\% = 0{,}35$ .
Incognita: La quantità che manca nell'equazione, scritta con una lettera come $x$ o $r$ .

Scheda formule

Equazione percentuale

\text{parte} = \text{tasso} \times \text{totale}

Serve per trovare la parte: moltiplica il tasso (in forma decimale) per il totale.

Trovare il totale

\text{totale} = \text{parte} \div \text{tasso}

Dividi la parte per il tasso in forma decimale, per esempio $30 \div 0{,}25 = 120$.

Trovare la percentuale

\text{tasso} = \text{parte} \div \text{totale}

Dividi la parte per il totale, poi moltiplica per 100 per ottenere la percentuale.

Altro su questo argomento

Guida per l'insegnante: Equazione percentuale

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Pagare un acconto

Voti e tiri liberi

Interessi di risparmio sotto l'1%

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Equazione percentuale

Trovare il totale

Trovare la percentuale

Altro su questo argomento

Introduzione alle percentuali

Calcolare la percentuale di un numero

Aumento e diminuzione percentuale

Proporzione percentuale