La formula di Euler per i poliedri

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale uguaglianza è la formula di Euler per un poliedro convesso?
1. a) $V + S + F = 2$
2. b) $V - S + F = 2$
3. c) $V + S - F = 2$
4. d) $V - S - F = 2$
Risposta: $V - S + F = 2$
Vertici e facce si sommano, gli spigoli si sottraggono: $V - S + F = 2$ . Per un cubo: $8 - 12 + 6 = 2$ .
2.
Un cubo ha $8$ vertici, $12$ spigoli e $6$ facce. Calcola $V - S + F$ .
Risposta: 2
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$ , proprio come prevede la formula di Euler.
3.
Un prisma triangolare ha $6$ vertici e $5$ facce. Usa la formula di Euler per trovare il numero di spigoli.
Risposta: 9
$6 - S + 5 = 2$ dà $11 - S = 2$ , quindi $S = 9$ . Verifica: $3$ spigoli su ogni triangolo e $3$ che li collegano, $3 + 3 + 3 = 9$ .
4.
Quale di questi solidi NON è un poliedro?
1. a)Ottaedro
2. b)Cubo
3. c)Cilindro
4. d)Piramide quadrangolare
Risposta: Cilindro
Un cilindro ha una superficie curva e basi circolari, che non sono poligoni: quindi non è un poliedro e la formula di Euler non si applica.
5.
Un poliedro convesso ha $20$ facce e $30$ spigoli. Quanti vertici ha?
Risposta: 12
$V = 2 + S - F = 2 + 30 - 20 = 12$ . Verifica: $12 - 30 + 20 = 2$ .
6.
Conta vertici, spigoli e facce di un prisma pentagonale e verifica la formula di Euler.
Risposta: 2
1. Quanti vertici? (pentagono sopra e pentagono sotto) 10
2. Quanti spigoli? (sopra, sotto e verticali) 15
3. Quante facce? (2 basi e le facce rettangolari) 7
4. Calcola $V - S + F$ 2
7.
Conta vertici, spigoli e facce di una piramide quadrangolare e verifica la formula di Euler.
Risposta: 2
1. Quanti vertici? (quelli della base e il vertice in cima) 5
2. Quanti spigoli? (attorno alla base e verso la cima) 8
3. Quante facce? (la base e i triangoli) 5
4. Calcola $V - S + F$ 2
8.
Quali numeri possono appartenere a un poliedro convesso?
1. a) $V = 8$ , $S = 12$ , $F = 7$
2. b) $V = 9$ , $S = 14$ , $F = 6$
3. c) $V = 6$ , $S = 10$ , $F = 6$
4. d) $V = 7$ , $S = 12$ , $F = 6$
Risposta: $V = 6$ , $S = 10$ , $F = 6$
$6 - 10 + 6 = 2$ (una piramide pentagonale), mentre $7 - 12 + 6 = 1$ , $8 - 12 + 7 = 3$ e $9 - 14 + 6 = 1$ non rispettano la formula di Euler.
9.
Un prisma ha $27$ spigoli. Quante facce ha?
Risposta: 11
$3n = 27$ dà $n = 9$ , quindi $F = 9 + 2 = 11$ . Verifica: $V = 18$ e $18 - 27 + 11 = 2$ .
10.
Un poliedro ha $4$ facce triangolari e $4$ facce esagonali. Trova il numero dei suoi spigoli e vertici.
Risposta: 12
1. Quanti lati di facce ci sono in tutto? 36
2. Quanti spigoli? 18
3. Quante facce? 8
4. Quanti vertici? ( $V = 2 + S - F$ ) 12
11.
Una piramide ha una base di $n$ lati. Quanti spigoli ha?
1. a) $n + 1$
2. b) $2n$
3. c) $n + 2$
4. d) $3n$
Risposta: $2n$
Ci sono $n$ spigoli attorno alla base e $n$ spigoli dai vertici della base alla cima: $n + n = 2n$ . Per una piramide quadrangolare, $2 \times 4 = 8$ .
12.
Una piramide ha $9$ facce. Trova il numero di lati della base, i vertici e gli spigoli, poi verifica la formula di Euler.
Risposta: 2
1. Quanti lati ha la base? (facce $= n + 1$ ) 8
2. Quanti vertici? ( $n + 1$ ) 9
3. Quanti spigoli? ( $2n$ ) 16
4. Calcola $V - S + F$ 2
13.
Un poliedro convesso ha solo facce triangolari e $12$ vertici. Quante facce e quanti spigoli ha?
Risposta: 20
1. Ogni faccia ha 3 lati e ogni spigolo appartiene a 2 facce, quindi $S = \frac{3F}{2}$ . Allora $12 - \frac{3F}{2} + F = 2$ diventa $12 - \frac{F}{2} = 2$ . Quanto vale $\frac{F}{2}$ ? 10
2. Quante facce? 20
3. Quanti spigoli? ( $\frac{3F}{2}$ ) 30
4. Verifica: calcola $V - S + F$ 2
14.
Una cornice triangolare è un solido attraversato da un buco triangolare. La parte superiore e quella inferiore sono divise in $3$ trapezi ciascuna, quindi ogni faccia è un quadrilatero. Trova $V - S + F$ .
Risposta: 0
1. Quanti vertici? (esterni e interni, sopra e sotto) 12
2. Quante facce? (sopra, sotto, lati esterni, lati interni) 12
3. Quanti spigoli? (tutte le facce sono quadrilateri) 24
4. Calcola $V - S + F$ 0
15.
Un poliedro può avere esattamente $5$ facce, tutte triangolari?
1. a)Sì, ha 7 spigoli
2. b)No, 15 lati di facce non si possono accoppiare in spigoli
3. c)Sì, è una piramide quadrangolare
4. d)No, servirebbero 0 vertici
Risposta: No, 15 lati di facce non si possono accoppiare in spigoli
Cinque triangoli hanno $5 \times 3 = 15$ lati. Ogni spigolo usa esattamente due lati, quindi $S = 7{,}5$ , che non è un numero intero. Un poliedro così non esiste. Una piramide quadrangolare ha solo $4$ facce triangolari più un quadrato.
16.
Un prisma ha $30$ vertici. Trova il numero di lati della base, gli spigoli e le facce, poi verifica la formula di Euler.
Risposta: 2
1. Quanti lati ha la base? ( $2n = 30$ ) 15
2. Quanti spigoli? ( $3n$ ) 45
3. Quante facce? ( $n + 2$ ) 17
4. Calcola $V - S + F$ 2
17.
Un poliedro convesso ha $6$ facce quadrate e $8$ facce esagonali. Quanti vertici ha?
Risposta: 24
Lati delle facce: $6 \times 4 + 8 \times 6 = 72$ , quindi $S = 36$ . Con $F = 14$ : $V = 2 + 36 - 14 = 24$ .
18.
Conta vertici, spigoli e facce di una piramide triangolare (tetraedro) e verifica la formula di Euler.
Risposta: 2
1. Quanti vertici? 4
2. Quanti spigoli? 6
3. Quante facce? 4
4. Calcola $V - S + F$ 2