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Guida per l'insegnante: Congruenza LLL

Impara a dimostrare che due triangoli sono congruenti con il criterio LLL (Lato-Lato-Lato), ad abbinare i lati corrispondenti e a verificare LLL nel piano cartesiano.

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10 domande su Congruenza & Similitudine. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Enunciare il criterio di congruenza LLL e spiegare perché non servono angoli
  • Abbinare i lati corrispondenti e scrivere un enunciato di congruenza con i vertici nell'ordine giusto
  • Usare la formula della distanza per verificare LLL per triangoli nel piano cartesiano
  • Scrivere una dimostrazione a due colonne con LLL, anche con un lato in comune e la proprietà riflessiva
  • Usare gli elementi corrispondenti dopo LLL e spiegare perché LLL non vale per i quadrilateri
Prerequisiti
  • • Introduzione alla congruenza: cosa sono le figure congruenti e il simbolo ≅\cong
  • • Triangoli congruenti: elementi corrispondenti e i cinque criteri di congruenza
  • • Congruenza ALA e AAL: come si usa un criterio in una dimostrazione
  • • Il teorema di Pitagora o la formula della distanza nel piano cartesiano
Spunti di discussione
  • 1. Perché i ponti e le gru usano triangoli invece di quadrati?
  • 2. Se due triangoli hanno lo stesso perimetro, sono sempre congruenti? Trova un esempio.
  • 3. Come puoi essere sicuro di quale vertice di un triangolo corrisponde a quale vertice dell'altro?
  • 4. Secondo te perché LLL non ha bisogno di angoli, mentre ALA e AAL ne richiedono due?
Idee sbagliate comuni

Nell'enunciato di congruenza i vertici possono stare in qualsiasi ordine

Rimedio: Mostra △PQR\triangle PQR e △XYZ\triangle XYZ con PP corrispondente a YY. Chiedi agli studenti di leggere i lati corrispondenti dall'enunciato sbagliato △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ e di controllarli: PQ=8PQ = 8 ma XY=9XY = 9, quindi l'enunciato è falso.

Lati uguali significano sempre forme uguali, per qualsiasi poligono

Rimedio: Fai costruire un quadrato con quattro cannucce e fallo spingere. Diventa un rombo con gli stessi lati. Poi si aggiunge una cannuccia come diagonale e la figura non si muove più.

Un lato in comune non conta perché appartiene a entrambi i triangoli

Rimedio: Colora in modo diverso i due triangoli di un deltoide e ripassa la diagonale con entrambi i colori. È un lato di ciascun triangolo, quindi dà la coppia AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Dare prima le lunghezze nell'ordine corrispondente, poi mescolare l'ordine
  • • Usare segni colorati per abbinare i lati prima di scrivere l'enunciato
  • • Partire da triangoli su carta quadrettata con lati orizzontali o verticali

Per studenti a livello:

  • • Verificare LLL con la formula della distanza per lati obliqui
  • • Scrivere dimostrazioni a due colonne con un lato in comune
  • • Trovare incognite in triangoli congruenti con l'algebra

Per studenti avanzati:

  • • Spiegare con una costruzione con il compasso perché tre lati danno un solo triangolo
  • • Dimostrare con LLL e gli elementi corrispondenti che la diagonale di un rombo è bisettrice dei suoi angoli
  • • Scoprire quante diagonali rendono rigido un telaio pentagonale
Allineamento agli standard
  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Spiegare come i criteri di congruenza dei triangoli (ALA, LAL e LLL) derivano dalla definizione di congruenza tramite movimenti rigidi

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Usare i criteri di congruenza e similitudine dei triangoli per risolvere problemi e dimostrare relazioni nelle figure geometriche

  • 8.G.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.8)

    Applicare il teorema di Pitagora per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate

Risorse della lezione
  • visualCoppia di triangoli LLL

    Due triangoli congruenti, uno ruotato e ribaltato, con tutti e tre i lati segnati

  • activityCannucce e spilli

    Gli studenti costruiscono un triangolo e un quadrilatero con le cannucce e provano quale può cambiare forma

  • worksheetDimostrazioni LLL con coordinate

    Calcolare i lati con la formula della distanza e decidere se c'è congruenza

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Il criterio di congruenza LLL (Lato-Lato-Lato), detto anche terzo criterio di congruenza, afferma: se i tre lati di un triangolo sono congruenti ai tre lati di un altro triangolo, allora i due triangoli sono congruenti.
Se AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Se } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Allora △ABC≅△DEF\text{Allora } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Non devi misurare nemmeno un angolo. Tre lunghezze dei lati determinano completamente un triangolo: questa proprietà si chiama rigidità del triangolo. Una volta scelti i tre lati, gli angoli sono obbligati, quindi ogni triangolo con quei lati è lo stesso triangolo, solo spostato, ruotato o ribaltato.
Abbinare i lati: l'ordine delle lettere in △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF indica quali elementi si corrispondono: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Abbina il lato più corto al più corto, quello medio al medio e il più lungo al più lungo, poi scrivi i vertici nell'ordine corrispondente.
Nel piano cartesiano calcoli ogni lato con la formula della distanza:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Esempi svolti

In △ABC\triangle ABC: AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. In △DEF\triangle DEF: DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. I triangoli sono congruenti?
1

Confronta la prima coppia di lati

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Confronta la seconda coppia

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Confronta la terza coppia

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Applica LLL

Tutte e tre le coppie di lati sono congruenti → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF per LLL

Errori comuni

Scrivere i vertici nell'ordine sbagliato, come △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ quando PP corrisponde a YY

Perché è sbagliato: Un enunciato di congruenza promette che le prime lettere si corrispondono, così come le seconde e le terze. L'ordine alfabetico non è l'ordine delle corrispondenze.

Corretto: Abbina prima i lati in base alla lunghezza, poi cerca in quali vertici si incontrano i lati corrispondenti. Scrivi i vertici in quell'ordine: △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Pensare che LLL valga anche per i quadrilateri

Perché è sbagliato: Un quadrato di lato 4 e un rombo stretto di lato 4 hanno quattro coppie di lati uguali, ma non sono congruenti. Quattro lati non fissano gli angoli.

Corretto: Le lunghezze dei lati da sole fissano solo la forma di un triangolo. Per i quadrilateri servono anche angoli o una diagonale.

Dimenticare il lato in comune in una dimostrazione

Perché è sbagliato: Quando due triangoli hanno un lato in comune, molti studenti trovano solo due coppie di lati uguali e si fermano, oppure usano quel lato senza giustificazione.

Corretto: Scrivi il lato in comune come affermazione a parte, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, con la giustificazione proprietà riflessiva. Conta come terza coppia.

Dedurre la congruenza da perimetri uguali

Perché è sbagliato: I triangoli con lati 3, 4, 5 e 4, 4, 4 hanno entrambi perimetro 12, ma forme diverse.

Corretto: LLL richiede tre coppie distinte di lati uguali, non solo la stessa somma.

Perché è importante

LLL è il criterio che puoi verificare solo con un righello, e spiega perché i triangoli sono ovunque nelle costruzioni:
  • Ponti e tetti: un triangolo fatto di tre travi fisse non può cambiare forma, per questo le capriate sono fatte di triangoli. Un telaio quadrato con angoli snodati si schiaccia in un rombo, un triangolo mai
  • Produzione: per controllare che un pezzo triangolare corrisponda alla dima, gli operai misurano solo i tre lati
  • Mappe e rilievi: con le coordinate puoi dimostrare che due appezzamenti triangolari sono uguali semplicemente calcolando delle distanze
  • Dimostrazioni: LLL è spesso il primo passo di una dimostrazione, poi la proprietà gli elementi corrispondenti di triangoli congruenti sono congruenti ti dà gli angoli uguali senza fatica
Nelle lezioni sui triangoli congruenti e su ALA e AAL hai visto gli altri criteri. LLL è l'unico che non ha bisogno di alcun angolo.

Applicazioni nel mondo reale

Capriate del tetto

I carpentieri costruiscono i tetti con triangoli identici, perché un triangolo con lati fissi non si può deformare.

Esempio:

Ogni capriata di una casetta da giardino è fatta di travi da 3 m, 4 m e 5 m. Per LLL tutte le capriate sono congruenti, quindi il tetto è uguale per tutta la sua lunghezza.

1Provaci tu stesso

Un carpentiere costruisce 12 capriate identiche. Ogni capriata è un triangolo con travi da 3 m, 4 m e 5 m.

Quanti metri di trave servono in tutto?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Lunghezza totale di trave in metri:

Campi su una griglia di mappa

I pianificatori confrontano appezzamenti con le coordinate e la formula della distanza, senza andare sul posto.

Esempio:

Il campo 1 ha vertici (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) e (0,8)(0, 8), il campo 2 ha vertici (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) e (18,2)(18, 2). Entrambi hanno lati di 6, 8 e 10 unità, quindi sono congruenti per LLL.

2Provaci tu stesso

Su una mappa un'unità della griglia vale 10 m. Il campo 2 ha vertici (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) e (18,2)(18, 2).

Quanto è lungo in metri il confine obliquo del campo 2, da (10,8)(10, 8) a (18,2)(18, 2)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Lunghezza in metri:

Controllo qualità delle piastrelle

Una fabbrica di piastrelle controlla le piastrelle triangolari con una dima misurando i tre lati.

Esempio:

La dima ha lati di 12 cm, 15 cm e 20 cm. Una piastrella da 20 cm, 12 cm e 15 cm supera il controllo: l'ordine delle misure non conta, contano solo le tre coppie.

3Provaci tu stesso

La dima ha lati di 12 cm, 15 cm e 20 cm. Una piastrella di prova ha lati di 15 cm, 20 cm e xx cm.

Quanto deve valere xx perché la piastrella sia congruente alla dima?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Valore di x:

Punti chiave

  • 1LLL: se i tre lati di un triangolo sono congruenti ai tre lati di un altro, i triangoli sono congruenti
  • 2Non servono angoli: tre lunghezze dei lati determinano completamente un triangolo (rigidità del triangolo)
  • 3Abbina il più corto al più corto, il medio al medio e il più lungo al più lungo, poi scrivi i vertici nell'ordine corrispondente
  • 4Nel piano cartesiano calcola ogni lato con la formula della distanza d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Un lato in comune a due triangoli è congruente a se stesso (proprietà riflessiva) e conta come una coppia
  • 6Dopo LLL, gli elementi corrispondenti danno gli angoli uguali; LLL non vale per i quadrilateri

Domande frequenti

Perché LLL funziona senza nessun angolo?

Prova a costruire un triangolo con tre bastoncini di lunghezza fissa. Una volta uniti gli estremi, c'è una sola forma possibile, non puoi aprire né chiudere gli angoli. Ogni triangolo con quei tre lati è lo stesso triangolo, al massimo ruotato o ribaltato. Per questo bastano tre lati.

Perché LLL non vale per i quadrilateri?

Quattro bastoncini uniti agli angoli possono ancora muoversi: un quadrato di lato 4 può essere schiacciato in un rombo di lato 4. I lati restano uguali, gli angoli cambiano. Una diagonale divide la figura in due triangoli e la rende rigida.

L'ordine dei lati conta?

Non per decidere se c'è congruenza: i lati 5, 6, 8 e 8, 5, 6 danno triangoli congruenti. Conta invece nell'enunciato di congruenza: le lettere dei vertici vanno scritte nell'ordine corrispondente.

Che differenza c'è tra congruenza LLL e similitudine LLL?

La congruenza LLL richiede tre coppie di lati uguali, quindi i triangoli hanno la stessa grandezza. La similitudine LLL richiede solo che i tre rapporti tra lati corrispondenti siano uguali, quindi un triangolo può essere una copia ingrandita dell'altro.

Glossario

Criterio LLL
Due triangoli sono congruenti se le loro tre coppie di lati corrispondenti sono congruenti
Lati corrispondenti
Lati che si corrispondono in una congruenza; occupano le stesse posizioni nell'enunciato di congruenza
Rigidità del triangolo
Un triangolo con lunghezze dei lati fisse non può cambiare né forma né angoli
Proprietà riflessiva
Ogni segmento è congruente a se stesso; si usa per un lato in comune a due triangoli
Elementi corrispondenti di triangoli congruenti
Quando due triangoli sono congruenti, tutti i lati e gli angoli corrispondenti sono uguali
Formula della distanza
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, la lunghezza del segmento tra due punti

Scheda formule

Criterio LLL

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Tre coppie di lati congruenti dimostrano che i triangoli sono congruenti

Formula della distanza

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Lunghezza di un lato dalle coordinate dei suoi estremi

Proprietà riflessiva

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Un lato in comune è congruente a se stesso

Elementi corrispondenti

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Gli elementi corrispondenti di triangoli congruenti sono congruenti

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