Congruenza LLL

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quali informazioni bastano per dimostrare con LLL che due triangoli sono congruenti?
1. a)Due coppie di lati uguali
2. b)Tre coppie di angoli uguali
3. c)Tre coppie di lati uguali
4. d)Perimetri uguali
Risposta: Tre coppie di lati uguali
LLL richiede tre coppie di lati congruenti. Perimetri uguali o due coppie di lati non bastano, e tre angoli uguali dimostrano solo la similitudine.
2.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. $AB = 7$ , $BC = 9$ e $CA = 4$ . Quanto è lungo $EF$ ?
Risposta: 9
Le lettere nelle stesse posizioni si corrispondono: $B \leftrightarrow E$ e $C \leftrightarrow F$ . Quindi $EF = BC = 9$ .
3.
Un triangolo ha lati di 5 cm, 6 cm e 8 cm. Un altro ha lati di 6 cm, 8 cm e 5 cm. Sono congruenti?
1. a)Solo se sono entrambi rettangoli
2. b)No, i lati sono in un altro ordine
3. c)No, serve anche un angolo
4. d)Sì, per LLL
Risposta: Sì, per LLL
Entrambi i triangoli hanno lati 5, 6 e 8, solo elencati in un altro ordine. Tre coppie di lati uguali, quindi sono congruenti per LLL.
4.
Trova la lunghezza del lato da $A(1, 2)$ a $B(4, 6)$ .
Risposta: 5
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
In $\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $BC = 10$ , $CA = 8$ . In $\triangle PQR$ : $PQ = 8$ , $QR = 10$ , $RP = 6$ . Verifica se i triangoli sono congruenti per LLL.
Risposta: 3
1. Quanto è lungo il lato più corto di $\triangle ABC$ ? 6
2. Quanto è lungo il lato più corto di $\triangle PQR$ ? 6
3. Quanto è lungo il lato più lungo in entrambi i triangoli? 10
4. Quante coppie di lati uguali ci sono? 3
6.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. $DE = 12$ , $EF = 15$ e $FD = 9$ . Qual è il perimetro di $\triangle ABC$ ?
Risposta: 36
$AB = 12$ , $BC = 15$ , $CA = 9$ , quindi il perimetro è $12 + 15 + 9 = 36$ .
7.
In $\triangle KLM$ : $KL = 6$ , $LM = 10$ , $MK = 7$ . In $\triangle STU$ : $ST = 10$ , $TU = 7$ , $US = 6$ . Quale enunciato di congruenza è corretto?
1. a) $\triangle KLM \cong \triangle STU$
2. b) $\triangle KLM \cong \triangle SUT$
3. c) $\triangle KLM \cong \triangle UST$
4. d) $\triangle KLM \cong \triangle TUS$
Risposta: $\triangle KLM \cong \triangle UST$
Coppie: $KL = US = 6$ , $MK = TU = 7$ , $LM = ST = 10$ . $K$ (lati 6 e 7) corrisponde a $U$ , $L$ (lati 6 e 10) a $S$ , $M$ (lati 7 e 10) a $T$ . Quindi $\triangle KLM \cong \triangle UST$ .
8.
Un lato di un triangolo va da $C(-2, 3)$ a $D(4, -5)$ . Quanto è lungo?
Risposta: 10
$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
9.
$\triangle ABC$ ha $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(0, 4)$ . $\triangle DEF$ ha $D(5, 1)$ , $E(5, 4)$ , $F(1, 1)$ . Verifica LLL con la formula della distanza.
Risposta: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
1. Quanto è lungo $BC$ , da $(3, 0)$ a $(0, 4)$ ? 5
2. Quanto è lungo $DE$ , da $(5, 1)$ a $(5, 4)$ ? 3
3. Quanto è lungo $DF$ , da $(5, 1)$ a $(1, 1)$ ? 4
4. Quanto è lungo $EF$ , da $(5, 4)$ a $(1, 1)$ ? 5
10.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL. $AB = 3x - 4$ , $DE = x + 6$ , $BC = 2y + 1$ e $EF = 15$ . Trova $x$ , $AB$ e $y$ .
Risposta: $x = 5$ , $AB = 11$ , $y = 7$
1. Risolvi $3x - 4 = x + 6$ . Quanto vale $x$ ? 5
2. Quanto è lungo $AB$ ? 11
3. Risolvi $2y + 1 = 15$ . Quanto vale $y$ ? 7
11.
Un quadrato e un rombo hanno entrambi quattro lati di lunghezza 4, ma non sono congruenti. Perché questo non contraddice LLL?
1. a)I quadrilateri non sono rigidi: lati uguali non fissano gli angoli
2. b)I loro lati non sono davvero uguali
3. c)LLL vale solo per i triangoli rettangoli
4. d)Un rombo ha cinque lati
Risposta: I quadrilateri non sono rigidi: lati uguali non fissano gli angoli
LLL è un criterio valido solo per i triangoli. Un quadrilatero non è rigido: con gli stessi quattro lati i suoi angoli possono ancora cambiare, quindi un quadrato può essere schiacciato in un rombo.
12.
Nel parallelogramma $ABCD$ , $AB = CD = 7$ , $BC = DA = 8$ e la diagonale $AC = 13$ . $\angle ABC = 120°$ . Dimostra che $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ e trova $\angle CDA$ .
Risposta: $\angle CDA = 120°$
1. Quanto è lungo il lato che i due triangoli hanno in comune? 13
2. Quante coppie di lati uguali hanno $\triangle ABC$ e $\triangle CDA$ ? 3
3. Quanti gradi misura $\angle CDA$ ? 120
13.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ per LLL, con $D(1, 2)$ ed $E(7, 10)$ . Quanto è lungo $AB$ ?
Risposta: 10
$DE = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Poiché $AB$ e $DE$ sono lati corrispondenti, $AB = 10$ .
14.
$\triangle ABC$ ha $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $C(2, 5)$ e $\triangle PQR$ ha $P(6, -1)$ , $Q(5, -4)$ , $R(2, -2)$ . Confronta i quadrati delle lunghezze dei lati per decidere se $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ .
Risposta: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$
1. Quanto vale $AB^2$ ? 10
2. Quanto vale $BC^2$ ? 13
3. Quanto vale $CA^2$ ? 17
4. Quanto vale $PQ^2$ ? 10
5. Quanto vale $QR^2$ ? 13
6. Quanto vale $RP^2$ ? 17
15.
Quale triangolo è congruente al triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(4, 0)$ e $(0, 3)$ ?
1. a) $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, 3)$
2. b) $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 8)$
3. c) $(1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(1, 5)$
4. d) $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Risposta: $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Il triangolo dato ha lati 4, 3 e $\sqrt{16 + 9} = 5$ . Il triangolo $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$ ha lati 4, 3 e $\sqrt{9 + 16} = 5$ , quindi è congruente per LLL. Gli altri hanno lati 6, 8, 10 (troppo grande), 4, 4, $\sqrt{32}$ e 5, 3, $\sqrt{34}$ .
16.
$\triangle PQR \cong \triangle STU$ per LLL. $PQ = 2x + 3$ , $ST = 4x - 7$ , $QR = x + y$ , $TU = 12$ e $RP = SU = 10$ . Trova il perimetro di $\triangle PQR$ .
Risposta: 35
1. Risolvi $2x + 3 = 4x - 7$ . Quanto vale $x$ ? 5
2. Quanto è lungo $PQ$ ? 13
3. Usa $QR = TU$ : $5 + y = 12$ . Quanto vale $y$ ? 7
4. Quanto vale il perimetro $PQ + QR + RP$ ? 35
17.
Nel deltoide $ABCD$ , $AB = AD$ e $CB = CD$ . $\angle BAD = 76°$ e $\angle ABC = 110°$ . Usa LLL su $\triangle ABC$ e $\triangle ADC$ per trovare $\angle BAC$ e $\angle ADC$ .
Risposta: $\angle BAC = 38°$ , $\angle ADC = 110°$
1. Quante coppie di lati congruenti hanno $\triangle ABC$ e $\triangle ADC$ , contando il lato in comune? 3
2. $\angle BAC + \angle DAC$ è l'angolo intero $\angle BAD$ . Quanti gradi sono? 76
3. I due angoli sono uguali (elementi corrispondenti). Quanti gradi misura $\angle BAC$ ? 38
4. Quanti gradi misura $\angle ADC$ ? 110
18.
Un telaio quadrato con lati di 5 cm ha snodi agli angoli. Viene schiacciato in un rombo con un angolo di $60°$ . Spiega con i numeri perché LLL non funziona per i quadrilateri e come lo risolve un rinforzo.
Risposta: $20$ cm, $5$ cm, $2$
1. Qual è il perimetro del quadrato in cm? 20
2. Qual è il perimetro del rombo in cm? 20
3. Quanto è lunga la diagonale corta del rombo in cm? 5
4. Un rinforzo lungo una diagonale divide il telaio in quanti triangoli? 2