Contronominale

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è la contronominale di $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
Risposta: $\neg q \to \neg p$
La contronominale scambia e nega: $\neg q \to \neg p$ . La scelta $q \to p$ è l'inversa e $\neg p \to \neg q$ è la contraria.
2.
Regola: se un numero è multiplo di $4$ , allora è pari. La sua contronominale dice: se un numero non è pari, allora non è multiplo di $4$ . Quale dei numeri $12$ , $15$ , $20$ , $28$ puoi scartare con la sola contronominale?
Risposta: 15
$15$ è l'unico numero dispari della lista. Non è pari, quindi per la contronominale non è multiplo di $4$ . Gli altri tre sono pari, quindi la contronominale non dice nulla su di loro (in realtà $12$ , $20$ e $28$ sono tutti multipli di $4$ ).
3.
Regola: se un numero è divisibile per $10$ , allora la sua ultima cifra è $0$ . Usa la contronominale per decidere se $7345$ è divisibile per $10$ .
Risposta: 5
1. Qual è l'ultima cifra di $7345$ ? 5
2. L'ultima cifra non è $0$ , quindi per la contronominale $7345$ non è divisibile per $10$ . Qual è il resto di $7345 \div 10$ ? 5
4.
Quale enunciato è la contronominale di "Se un numero termina con $5$ , allora è divisibile per $5$ "?
1. a)Se un numero non è divisibile per $5$ , allora non termina con $5$ .
2. b)Se un numero è divisibile per $5$ , allora termina con $5$ .
3. c)Se un numero non termina con $5$ , allora è divisibile per $5$ .
4. d)Se un numero non termina con $5$ , allora non è divisibile per $5$ .
Risposta: Se un numero non è divisibile per $5$ , allora non termina con $5$ .
Scambiare e negare: "Se un numero non è divisibile per $5$ , allora non termina con $5$ ." La prima scelta è l'inversa, la seconda la contraria (falsa: $10$ non termina con $5$ ma è divisibile per $5$ ).
5.
Un'implicazione è vera. Oltre all'enunciato stesso, quanti degli altri tre enunciati collegati (inversa, contraria, contronominale) sono di sicuro veri anch'essi?
Risposta: 1
Solo la contronominale è garantita, quindi la risposta è $1$ . L'inversa e la contraria possono essere vere o false; sono sempre d'accordo tra loro, non per forza con l'enunciato di partenza.
6.
Enunciato: se $x = 3$ , allora $2x = 6$ . La sua contronominale è: se $2x \ne 6$ , allora $x \ne 3$ . Sai che $2x = 14$ . Mostra che $x$ non è $3$ e trova $x$ .
Risposta: 7
1. Quanto fa $2 \times 3$ ? 6
2. $14 \ne 6$ , quindi per la contronominale $x \ne 3$ . Risolvi $2x = 14$ : quanto vale $x$ ? 7
7.
Si sa che un'implicazione $p \to q$ è vera. Quale enunciato collegato deve essere vero anch'esso?
1. a)La contraria $\neg p \to \neg q$
2. b)La contronominale $\neg q \to \neg p$
3. c)L'inversa $q \to p$
4. d)Nessuno di essi
Risposta: La contronominale $\neg q \to \neg p$
La contronominale è logicamente equivalente all'enunciato di partenza, quindi deve essere vera. L'inversa e la contraria possono essere false, per esempio con "Se una figura è un quadrato, allora ha quattro angoli retti".
8.
Usa $1$ per vero e $0$ per falso. Nella riga della tavola di verità con $p = 1$ e $q = 0$ , trova i valori della contronominale e dell'enunciato di partenza.
Risposta: 0
1. Qual è il valore di $\neg q$ ? 1
2. Qual è il valore di $\neg p$ ? 0
3. Qual è il valore di $\neg q \to \neg p$ ? 0
4. Qual è il valore di $p \to q$ ? 0
9.
Una tavola di verità di $\neg q \to \neg p$ ha $4$ righe. In quante di queste righe $\neg q \to \neg p$ è vera?
Risposta: 3
$\neg q \to \neg p$ è falsa solo quando $\neg q$ è vera e $\neg p$ è falsa, cioè quando $p$ è vero e $q$ è falso. È $1$ riga, quindi è vera in $3$ righe, esattamente come $p \to q$ .
10.
Usa $1$ per vero e $0$ per falso. Nella riga con $p = 0$ e $q = 1$ , l'enunciato di partenza $p \to q$ vale $1$ . Trova la contronominale e l'inversa in questa riga.
Risposta: 0
1. Qual è il valore di $\neg q$ ? 0
2. Qual è il valore di $\neg p$ ? 1
3. Qual è il valore della contronominale $\neg q \to \neg p$ ? 1
4. Qual è il valore dell'inversa $q \to p$ ? 0
11.
Nella riga della tavola di verità in cui $p$ è vero e $q$ è falso, quali sono i valori di $p \to q$ e di $\neg q \to \neg p$ ?
1. a)Sono entrambe false
2. b) $p \to q$ è vera, $\neg q \to \neg p$ è falsa
3. c) $p \to q$ è falsa, $\neg q \to \neg p$ è vera
4. d)Sono entrambe vere
Risposta: Sono entrambe false
$p \to q$ va dal vero al falso, quindi è falsa. $\neg q$ è vera e $\neg p$ è falsa, quindi anche $\neg q \to \neg p$ va dal vero al falso ed è falsa. Sono entrambe false.
12.
Regola: se un numero è multiplo di $6$ , allora è multiplo di $3$ . Per mostrare con la contronominale che $50$ non è multiplo di $6$ , controlli che $50$ non è multiplo di $3$ . Qual è il resto della divisione di $50$ per $3$ ?
Risposta: 2
$50 = 3 \times 16 + 2$ , quindi il resto è $2$ . Poiché $50$ non è multiplo di $3$ , la contronominale ci dice che non è nemmeno multiplo di $6$ .
13.
Regola: se un numero è divisibile per $3$ , allora la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ . Usa la contronominale per decidere se $2471$ è divisibile per $3$ .
Risposta: 2
1. Quanto vale la somma delle cifre di $2471$ ? 14
2. Qual è il resto della divisione di $14$ per $3$ ? 2
3. La somma delle cifre non è divisibile per $3$ , quindi $2471$ non è divisibile per $3$ . Qual è il resto di $2471 \div 3$ ? 2
14.
Enunciato di partenza: "Se $x = 4$ , allora $x^2 = 16$ ." Quali dei quattro enunciati collegati (enunciato di partenza, inversa, contraria, contronominale) sono veri?
1. a)Tutti e quattro
2. b)L'enunciato di partenza e la contronominale
3. c)L'inversa e la contraria
4. d)L'enunciato di partenza e l'inversa
Risposta: L'enunciato di partenza e la contronominale
L'enunciato di partenza è vero, quindi la contronominale "Se $x^2 \ne 16$ , allora $x \ne 4$ " è vera. L'inversa "Se $x^2 = 16$ , allora $x = 4$ " è falsa a causa di $x = -4$ , e lo è anche la contraria "Se $x \ne 4$ , allora $x^2 \ne 16$ ", con lo stesso controesempio.
15.
L'enunciato "Se $3x + 2 > 20$ , allora $x > 6$ " è vero. La sua contronominale è "Se $x \le 6$ , allora $3x + 2 \le 20$ ." Verifica la contronominale per $x = 6$ e $x = 5$ .
Risposta: 17
1. Trova il valore limite: risolvi $3x + 2 = 20$ . Quanto vale $x$ ? 6
2. Quanto vale $3x + 2$ per $x = 6$ ? 20
3. Quanto vale $3x + 2$ per $x = 5$ ? 17
16.
La contronominale di "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" è "Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari." Verificala per $n = 13$ : scrivi $13^2$ nella forma $2m + 1$ . Quanto vale $m$ ?
Risposta: 84
$13^2 = 169 = 2 \times 84 + 1$ , quindi $m = 84$ e $169$ è dispari. Con $n = 2k + 1$ e $k = 6$ , anche la formula generale dà $m = 2k^2 + 2k = 72 + 12 = 84$ .
17.
Per capire perché vale "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari", verifica la sua contronominale "Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari" per $n = 9$ , usando la forma $n = 2k + 1$ .
Risposta: 40
1. Scrivi $9 = 2k + 1$ . Quanto vale $k$ ? 4
2. Quanto vale $n^2$ per $n = 9$ ? 81
3. Scrivi $81 = 2m + 1$ . Quanto vale $m$ ? 40
18.
Per numeri interi $a, b \ge 0$ : "Se $a + b \ge 10$ , allora $a \ge 5$ oppure $b \ge 5$ ." La sua contronominale è "Se $a < 5$ e $b < 5$ , allora $a + b < 10$ ." Trova il valore più grande possibile di $a + b$ quando $a < 5$ e $b < 5$ .
Risposta: 8
1. Qual è il più grande numero intero $a$ con $a < 5$ ? 4
2. Qual è il più grande numero intero $b$ con $b < 5$ ? 4
3. Qual è il valore più grande possibile di $a + b$ ? 8