Guida per l'insegnante: Contronominale

Impara a formare la contronominale di un'implicazione "se... allora", perché ha sempre lo stesso valore di verità dell'enunciato di partenza e come usarla per ragionare sui numeri.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Formare la contronominale di un'implicazione scambiando e negando entrambe le parti
Usare una tavola di verità per mostrare che un enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti
Scrivere uno accanto all'altro enunciato di partenza, inversa, contraria e contronominale e riconoscere quali coppie sono d'accordo
Negare correttamente gli enunciati, comprese disuguaglianze e doppie negazioni
Usare la contronominale per ragionare sui numeri, per esempio su divisibilità e parità

Prerequisiti

• Implicazioni: ipotesi, tesi e quando un'implicazione è vera (lezione Enunciati se... allora)
• Inversa e contraria di un'implicazione (lezione Inversa e contraria)
• Le tavole di verità e la negazione NOT (lezioni Tavole di verità e L'operazione NOT)
• Criteri di divisibilità per 3, 9 e 10, numeri pari e dispari

Spunti di discussione

1. "Se abiti a Parigi, allora abiti in Francia." Che cosa puoi concludere su qualcuno che non abita in Francia?
2. Perché scambiare E negare mantiene il significato di un enunciato, mentre fare solo una delle due cose può cambiarlo?
3. Riesci a trovare un enunciato vero la cui inversa sia anche vera? Questo contraddice la regola che l'inversa non è equivalente?
4. Perché una matematica potrebbe scegliere di lavorare con la contronominale invece che con l'enunciato di partenza?

Idee sbagliate comuni

La contronominale e la contraria sono la stessa cosa perché usano entrambe "non"

Rimedio: Mettile una accanto all'altra con lo stesso esempio (quadrati e rettangoli) e fai trovare agli studenti un controesempio alla contraria. Sottolinea che l'ordine delle parti conta.

Un enunciato vero in molti esempi ha un'inversa vera

Rimedio: Usa esempi numerici come "Se $x = 4$ , allora $x^2 = 16$ " e chiedi di cercare un controesempio all'inversa. Basta un solo controesempio per renderla falsa.

La negazione di "maggiore di" è "minore di"

Rimedio: Disegna una retta numerica e colora $x > 5$ . Chiedi che cosa resta non colorato: tutto fino a $5$ compreso, quindi la negazione è $x \le 5$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da enunciati quotidiani (pioggia e strade bagnate) prima di usare i simboli
• Dare uno schema: Se non ___, allora non ___, e far completare prima la tesi
• Colorare ipotesi e tesi in modo che lo scambio si veda

Per studenti a livello:

• Scrivere i quattro enunciati collegati ai criteri di divisibilità e decidere quali sono veri
• Completare le tavole di verità di p implica q, della sua inversa, della contraria e della contronominale
• Usare le contronominali per scartare numeri in indovinelli sulla divisibilità

Per studenti avanzati:

• Spiegare con la contronominale perché se n al quadrato è pari, allora n è pari
• Formare le contronominali di enunciati con e e o, usando le leggi di De Morgan
• Confrontare la contronominale e la dimostrazione per assurdo sullo stesso enunciato

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni valide e valutare criticamente il ragionamento altrui
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestare attenzione alla precisione
HSG.CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Dimostrare teoremi su rette e angoli (queste dimostrazioni si basano su implicazioni)

Risorse della lezione

visualTavola di verità interattiva
Gli studenti esplorano le tavole di NOT e di IMPLICA, poi le usano per costruire la colonna di non q implica non p e confrontarla con quella di p implica q
activitySmistamento di carte: quattro enunciati
I gruppi smistano carte in enunciato di partenza, inversa, contraria e contronominale e segnano ciascuna come vera o falsa
worksheetDetective dei numeri con la contronominale
Usare le contronominali dei criteri di divisibilità per scartare numeri senza dividere

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La contronominale di un enunciato condizionale (implicazione) "Se

p

, allora

q

" (

p \to q

) è l'enunciato "Se non

q

, allora non

p

\neg q \to \neg p

Per costruirla fai due cose: scambi l'ipotesi e la tesi, e le neghi entrambe.

Fatto chiave: un enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti. Sono sempre entrambi veri o entrambi falsi. La tavola di verità lo mostra riga per riga (V = vero, F = falso):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline V & V & F & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F \\ F & V & V & F & V & V \\ F & F & V & V & V & V \end{array}

Le ultime due colonne sono identiche, quindi scriviamo

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (La tavola interattiva di questa lezione lo verifica per te: la sua ultima colonna,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, vale V in ogni riga.)

I quattro enunciati collegati a

p \to q

Enunciato di partenza: $p \to q$
Inversa: $q \to p$ (solo scambiare)
Contraria: $\neg p \to \neg q$ (solo negare)
Contronominale: $\neg q \to \neg p$ (scambiare e negare)

L'enunciato di partenza e la contronominale sono sempre d'accordo. Anche l'inversa e la contraria sono sempre d'accordo tra loro, perché la contraria è la contronominale dell'inversa.

Attenzione ai nomi: in inglese l'inversa (

q \to p

) si chiama *converse*, la contraria (

\neg p \to \neg q

) si chiama *inverse* e la contronominale (

\neg q \to \neg p

) si chiama *contrapositive*. Quindi l'inglese *inverse* corrisponde alla nostra contraria, non alla nostra inversa.

Esempi svolti

Scrivi la contronominale di: "Se un numero è divisibile per $10$ , allora termina con $0$ ."

Individua l'ipotesi $p$ e la tesi $q$

$p$ : un numero è divisibile per $10$ . $q$ : termina con $0$ . → Due parti trovate

Nega entrambe le parti

$\neg p$ : il numero non è divisibile per $10$ . $\neg q$ : non termina con $0$ . → Entrambe le parti negate

Scambia l'ordine e scrivi $\neg q \to \neg p$

Metti prima la tesi negata e poi l'ipotesi negata. → Se un numero non termina con $0$ , allora non è divisibile per $10$ .

Risposta: Se un numero non termina con $0$ , allora non è divisibile per $10$ . Come l'enunciato di partenza, anche questo è vero: per esempio, $73$ non termina con $0$ e $73 \div 10 = 7{,}3$ non è un numero intero.

Errori comuni

Scambiare soltanto le parti e chiamare $q \to p$ la contronominale

Perché è sbagliato: Scambiare senza negare dà l'inversa, che può essere falsa anche quando l'enunciato di partenza è vero.

Corretto: Scambia e nega entrambe le parti: la contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$ .

Negare " $x > 5$ " come " $x < 5$ "

Perché è sbagliato: Si dimentica il caso $x = 5$ . Ogni numero è o maggiore di $5$ o non maggiore di $5$ , e "non maggiore" comprende anche $5$ stesso.

Corretto: La negazione di $x > 5$ è $x \le 5$ , e la negazione di $x \ge 5$ è $x < 5$ .

Pensare che l'inversa di un enunciato vero sia anch'essa vera

Perché è sbagliato: "Se $x = 4$ , allora $x^2 = 16$ " è vero, ma "Se $x^2 = 16$ , allora $x = 4$ " è falso, perché anche $x = -4$ funziona.

Corretto: Solo la contronominale ha di sicuro lo stesso valore di verità dell'enunciato di partenza. L'inversa va controllata a parte.

Perdersi nelle doppie negazioni

Perché è sbagliato: Per "Se non piove, allora vado a scuola a piedi", alcuni scrivono "Se non vado a piedi, allora non non piove" oppure perdono per sbaglio una negazione.

Corretto: La negazione di "non piove" è "piove". La contronominale è: "Se non vado a scuola a piedi, allora piove."

Perché è importante

La contronominale ti offre una seconda porta per entrare nello stesso enunciato, e a volte quella porta si apre molto più facilmente:

Numeri: per mostrare che $2750$ non è divisibile per $6$ basta vedere che non è divisibile per $3$
Controllare il lavoro: se una risposta corretta deve essere un numero intero e ti viene $4{,}5$ , sai che qualcosa è andato storto
Programmi per computer: "Se la password è corretta, la porta si apre." La porta è rimasta chiusa, quindi la password era sbagliata
Dimostrazioni: più avanti dimostrerai enunciati come "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" dimostrando invece la contronominale

Sapere quali enunciati collegati sono d'accordo ti protegge anche da un errore molto comune: pensare che l'inversa di un enunciato vero debba essere vera.

Applicazioni nel mondo reale

Criteri di divisibilità e cifre di controllo

Molti codici e controlli veloci a mente si basano sui criteri di divisibilità, e la contronominale permette di scartare un numero senza fare la divisione.

Esempio:

Regola: se un numero è divisibile per $9$ , la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ . La somma delle cifre di $5812$ è $16$ , quindi $5812$ non può essere divisibile per $9$ .

1Provaci tu stesso

Regola: se un numero è divisibile per $9$ , allora la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ . Un impiegato controlla il numero di codice $4372$ .

$4372$ è divisibile per $9$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la somma delle cifre di $4372$ come addizione:

Regole per la spedizione gratuita

I negozi online hanno spesso regole come "Se il tuo ordine è di 50 € o più, la spedizione è gratuita." La contronominale ti dice che cosa significano le spese di spedizione sulla tua fattura.

Esempio:

Contronominale: se hai pagato la spedizione, il tuo ordine era sotto i 50 €. Una fattura con spese di spedizione dimostra che l'ordine era sotto la soglia.

2Provaci tu stesso

Regola: se un ordine arriva in totale a 50 € o più, la spedizione è gratuita. Anna ha pagato le spese di spedizione. Nel suo carrello c'erano un libro da 18 € e una lampada da 27 €.

Qual era il totale del suo ordine, e quanto le mancava per la spedizione gratuita?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il totale dell'ordine come addizione:

Leggere una classifica sportiva

I tifosi usano la contronominale per escludere delle possibilità dalla classifica senza guardare ogni partita.

Esempio:

In un campionato con $3$ punti per una vittoria, $1$ per un pareggio e $0$ per una sconfitta: se una squadra ha vinto tutte e $5$ le partite, ha $15$ punti. Una squadra con meno di $15$ punti non ha vinto tutte le partite.

3Provaci tu stesso

Regola: se una squadra vince tutte e $5$ le sue partite, allora ha $15$ punti ( $3$ per vittoria, $1$ per pareggio, $0$ per sconfitta). La squadra Blu ha $13$ punti dopo $5$ partite.

La squadra Blu ha vinto tutte le partite? Quante partite può aver vinto al massimo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi i punti per $5$ vittorie come moltiplicazione:

Punti chiave

1La contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$ : scambia le due parti e negale entrambe
2Un enunciato e la sua contronominale sono logicamente equivalenti: sono sempre entrambi veri o entrambi falsi
3La tavola di verità lo mostra: $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ sono false solo nella riga $p$ vero, $q$ falso
4L'inversa $q \to p$ e la contraria $\neg p \to \neg q$ sono d'accordo tra loro, ma non per forza con l'enunciato di partenza
5Nega con attenzione: il contrario di $x > 5$ è $x \le 5$ , e il contrario di dispari è pari
6Quando un enunciato è difficile da verificare direttamente, verifica invece la sua contronominale, per esempio "se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari"

Domande frequenti

Perché la contronominale è sempre vera quando l'enunciato di partenza è vero?

L'enunciato

p \to q

dice: ogni volta che succede

p

, succede anche

q

. Quindi, se

q

non è successo, non può essere successo nemmeno

p

, altrimenti sarebbe seguito

q

. Questo è esattamente

\neg q \to \neg p

. La tavola di verità lo conferma in tutti e quattro i casi.

Qual è la differenza tra la contraria e la contronominale?

Entrambe negano le due parti, ma la contraria mantiene l'ordine (

\neg p \to \neg q

), mentre la contronominale lo scambia anche (

\neg q \to \neg p

). La contronominale è equivalente all'enunciato di partenza; la contraria è equivalente all'inversa.

Se l'enunciato di partenza è falso, anche la contronominale è falsa?

Sì. Sono equivalenti, quindi hanno sempre lo stesso valore di verità. "Se un numero è pari, allora è divisibile per

4

" è falso (

6

è un controesempio), e lo è anche "Se un numero non è divisibile per

4

, allora non è pari", con lo stesso controesempio

6

La contronominale è la stessa cosa di una dimostrazione per assurdo?

No. Con la contronominale dimostri direttamente

\neg q \to \neg p

invece di

p \to q

. Una dimostrazione per assurdo suppone che tutto l'enunciato sia falso e arriva a un risultato impossibile. Entrambi i metodi compaiono nell'argomento sulle dimostrazioni.

Glossario

Contronominale: L'enunciato $\neg q \to \neg p$ che si ottiene da $p \to q$ scambiando e negando entrambe le parti
Inversa: L'enunciato $q \to p$ , che si ottiene scambiando ipotesi e tesi
Contraria: L'enunciato $\neg p \to \neg q$ , che si ottiene negando ipotesi e tesi senza scambiarle
Negazione: Il contrario di un enunciato, scritto $\neg p$ ; è vera esattamente quando $p$ è falso
Logicamente equivalenti: Due enunciati che hanno lo stesso valore di verità in ogni riga di una tavola di verità, si scrive con $\equiv$

Scheda formule

Contronominale

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Scambiare e negare entrambe le parti; sempre equivalente all'enunciato di partenza

Inversa e contraria

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Equivalenti tra loro, ma non per forza all'enunciato di partenza

Negare le disuguaglianze

\neg(x > a) \iff x \le a

La negazione di "maggiore di" è "minore o uguale a"

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Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Criteri di divisibilità e cifre di controllo

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Leggere una classifica sportiva

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Domande frequenti

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Contronominale

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