Guida per l'insegnante: Enunciati se... allora

Impara a scrivere enunciati nella forma se... allora, a riconoscere ipotesi e tesi e a capire quando un'implicazione è falsa.

Presenta lezioneVisualizza pagina studente

Usa questa lezione in classe

Gratis, senza account per gli studenti.

Condividi con gli studenti

Gli studenti aprono la lezione e si esercitano con correzione immediata.

Scheda da stampare

Tutti gli esercizi su carta, con le soluzioni a parte.

Scheda di esercizi Soluzioni

Quiz di classe

10 domande su Ragionamento logico. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Individuare l'ipotesi e la tesi di un enunciato condizionale
Riscrivere frasi quotidiane e matematiche nella forma se... allora e con la notazione p → q
Determinare il valore di verità di un'implicazione a partire dai valori di verità delle sue parti
Trovare un controesempio per mostrare che un'implicazione è falsa
Spiegare perché gli esempi da soli non possono dimostrare un'implicazione

Prerequisiti

• Introduzione al ragionamento logico: le proposizioni e i loro valori di verità
• Il ragionamento deduttivo: usare una regola (premessa) per arrivare a una conclusione
• Confrontare numeri con <, > e ≥ e calcolo di base

Spunti di discussione

1. Tuo padre dice: "Se metti in ordine la camera, allora puoi uscire." Non l'hai messa in ordine, ma ti ha lasciato uscire lo stesso. Ha mentito?
2. Trova una regola della scuola o di un gioco. Riesci a scriverla nella forma se... allora?
3. Perché basta un controesempio per confutare un'affermazione, ma cento buoni esempi non bastano per dimostrarla?
4. "Tutti i gatti sono animali" e "Se qualcosa è un gatto, allora è un animale": sono lo stesso enunciato?
5. Ti viene in mente un enunciato vero che diventa falso se scambi la parte "se" con la parte "allora"?

Idee sbagliate comuni

Un'implicazione con ipotesi falsa è falsa (oppure "non si può decidere")

Rimedio: Usa il modello della promessa: "Se prendi almeno 80 punti, ricevi un adesivo." Chiedi se l'insegnante infrange la promessa quando uno studente con 70 punti riceve comunque un adesivo. Poi fai controllare le righe F nella tavola di verità interattiva.

"Se $p$ , allora $q$ " significa anche "se $q$ , allora $p$ "

Rimedio: Proponi la coppia "se una figura è un quadrato, allora è un rettangolo" e la versione scambiata, e chiedi di disegnare un controesempio per quella scambiata. Spiega che questa idea viene approfondita nella prossima lezione, Inversa e contraria.

Qualche esempio che funziona dimostra un enunciato

Rimedio: Provate insieme $2^n + 1$ per $n = 1, 2, 3$ , oppure $n^2 + n + 1$ per $n = 2, 3, 4$ . La regolarità si interrompe a $n = 3$ e a $n = 4$ , e questo mostra perché i matematici chiedono una dimostrazione.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Fornire frasi guida: "Se ___, allora ___." e far sottolineare l'ipotesi con un colore e la tesi con un altro
• Partire da regole quotidiane (giochi, scuola) prima degli enunciati matematici
• Usare la tabella dei quattro studenti e degli adesivi per rendere concreto il caso V → F

Per studenti a livello:

• Riscrivere frasi con "ogni", "tutti" e "quando" nella forma se... allora e con la notazione p → q
• Decidere se affermazioni sui numeri sono vere e dare controesempi per quelle false
• Compilare senza aiuto la tavola di verità di p → q in modalità quiz

Per studenti avanzati:

• Trovare il controesempio più piccolo ad affermazioni come " $n^2 + n + 1$ è sempre primo"
• Esplorare il rompicapo delle carte: quali carte bisogna girare per verificare una regola se... allora?
• Scrivere un'implicazione vera la cui versione scambiata è falsa, come anticipazione dell'inversa

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni valide e valutare criticamente il ragionamento degli altri
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestare attenzione alla precisione

Risorse della lezione

visualTavola di verità interattiva
Gli studenti scelgono l'operatore →, vedono illuminarsi l'unica riga falsa e poi compilano da soli la tavola in modalità quiz
activityPromesse infrante
A coppie, gli studenti scrivono regole di classe come implicazioni e mettono in scena i quattro casi per scoprire quale infrange la regola
worksheetCaccia al controesempio
Un elenco di affermazioni sui numeri; gli studenti indicano se ognuna è vera o danno il controesempio più piccolo

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un'implicazione, detta anche enunciato condizionale o enunciato se... allora, collega due proposizioni con le parole se e allora:

\text{Se } p\text{, allora } q.

La parte dopo "se" è l'ipotesi ( $p$ ), la condizione.
La parte dopo "allora" è la tesi o conclusione ( $q$ ), ciò che deve seguire.

In simboli scriviamo

p \to q

e leggiamo "se

p

, allora

q

" oppure "

p

implica

q

Esempio: Se un numero termina con 0, allora è divisibile per 10.

Ipotesi $p$ : un numero termina con 0
Tesi $q$ : il numero è divisibile per 10

Pensa a un'implicazione come a una promessa. La promessa è infranta solo quando l'ipotesi si verifica e la tesi no. Quindi

p \to q

è falsa in un solo caso:

p

è vera e

q

è falsa. In tutti gli altri casi è vera.

$p$	$q$	$p \to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La tavola di verità interattiva di questa lezione mostra le stesse quattro righe in ordine inverso, partendo da F, F. Entrambi gli ordini vanno bene.

Un caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa si chiama controesempio. Basta un solo controesempio per mostrare che un'implicazione è falsa.

Esempi svolti

Individua l'ipotesi e la tesi: "Se un triangolo ha un angolo retto, allora è un triangolo rettangolo."

Trova la parte dopo "se"

"un triangolo ha un angolo retto" → Ipotesi $p$ : un triangolo ha un angolo retto

Trova la parte dopo "allora"

"è un triangolo rettangolo" → Tesi $q$ : il triangolo è rettangolo

Scrivila in simboli

Prima viene la condizione, poi il risultato → $p \to q$

Risposta: Ipotesi: un triangolo ha un angolo retto. Tesi: è un triangolo rettangolo. In simboli: $p \to q$ .

Errori comuni

Prendere la prima parte della frase come ipotesi, come in "Prendo l'ombrello se piove" → ipotesi "prendo l'ombrello"

Perché è sbagliato: L'ipotesi è la parte che segue la parola "se" (o "quando", "ogni volta che"), ovunque si trovi nella frase.

Corretto: Trova prima la condizione: "piove". Poi scrivi: Se piove, allora prendo l'ombrello.

Pensare che $p \to q$ sia falsa ogni volta che l'ipotesi è falsa

Perché è sbagliato: Un'implicazione promette qualcosa solo per il caso in cui $p$ si verifica. Se $p$ non si verifica, la promessa non può essere infranta.

Corretto: $p \to q$ è falsa solo nel caso V → F. Quando $p$ è falsa, l'implicazione è vera, qualunque sia $q$ .

Usare come controesempio un numero che non soddisfa l'ipotesi, per esempio $x = 0$ contro "se $x > 3$ , allora $x > 1$ "

Perché è sbagliato: Per $x = 0$ la tesi $x > 1$ è falsa, ma anche l'ipotesi $x > 3$ è falsa, quindi questo caso non può confutare l'enunciato.

Corretto: Un controesempio deve rendere vera l'ipotesi e falsa la tesi. Per "se $x > 3$ , allora $x > 1$ " un numero così non esiste, quindi l'enunciato è vero.

Credere che un esempio che funziona dimostri l'enunciato

Perché è sbagliato: "Se $n$ è un numero naturale, allora $2^n + 1$ è primo" funziona per $n = 1$ ( $3$ ) e $n = 2$ ( $5$ ), ma $n = 3$ dà $9$ , che non è primo.

Corretto: Gli esempi possono solo sostenere un enunciato. Per dimostrarlo serve un ragionamento generale, ma un solo controesempio basta per confutarlo.

Perché è importante

Le implicazioni sono ovunque, spesso nascoste in frasi normali:

Acquisti: "Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita."
Regole e giochi: "Se esce un 6, allora tiri di nuovo."
Scienze: "Se l'acqua viene scaldata a 100 °C al livello del mare, allora bolle."
Programmazione: ogni app è piena di comandi come "se la password è corretta, allora apri l'account".
Matematica: quasi ogni regola e ogni teorema è un'implicazione, per esempio "se un triangolo ha un angolo retto, allora $a^2 + b^2 = c^2$ " (dove $c$ è il lato più lungo).

Nella lezione Il ragionamento deduttivo hai usato regole se... allora come premesse. Ora imparerai come sono costruite, come scriverle da solo e come verificarle. È il punto di partenza per l'inversa (si scambiano ipotesi e tesi), la contraria (si negano entrambe) e la contronominale (si scambiano e si negano), che vengono subito dopo nelle lezioni Inversa e contraria e Contronominale. Attenzione: in inglese si chiamano converse, inverse e contrapositive, quindi l'"inverse" inglese è la nostra contraria.

Applicazioni nel mondo reale

Acquisti online

I negozi usano regole se... allora per la spedizione gratuita, gli sconti e i regali. Per approfittare dell'offerta devi rendere vera l'ipotesi.

Esempio:

"Se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita." Un ordine di 52 € rende vera l'ipotesi, quindi la spedizione deve essere gratuita.

1Provaci tu stesso

Un negozio promette: se il tuo ordine è di almeno 40 €, allora la spedizione è gratuita. Nel carrello hai una maglietta da 18 € e un cappellino da 15 €.

Quanti euro devi ancora spendere perché l'ipotesi diventi vera?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sottrai il tuo totale da 40:

Mettere alla prova affermazioni in matematica

I matematici mettono alla prova un'implicazione cercando un controesempio. Se ne trovano uno, l'affermazione è falsa.

Esempio:

"Se un numero è primo, allora è dispari" è falsa, perché 2 è primo e pari.

2Provaci tu stesso

Un compagno afferma: se un numero naturale è multiplo di 3, allora è dispari.

Qual è il più piccolo controesempio positivo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

I multipli di 3 sono 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Scrivi il secondo:

Casa intelligente e programmazione

Un termostato funziona con un'implicazione: se la stanza è più fredda di un valore impostato, allora il riscaldamento si accende.

Esempio:

"Se la temperatura è sotto i 18 °C, allora il riscaldamento si accende." A 17 °C l'ipotesi è vera, quindi il riscaldamento deve accendersi. A 20 °C non viene promesso nulla.

3Provaci tu stesso

La regola è: se la temperatura è sotto i 18 °C, allora il riscaldamento si accende. Alle 7:00 la stanza è a 22 °C e si raffredda di 3 °C ogni ora.

Qual è la temperatura dopo 2 ore, e il riscaldamento è acceso?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Parti da 22 e sottrai 3 due volte:

Punti chiave

1Un'implicazione ha la forma "se $p$ , allora $q$ ", che si scrive $p \to q$
2L'ipotesi $p$ è la condizione dopo "se"; la tesi $q$ è il risultato dopo "allora"
3Molte frasi nascondono un'implicazione: "ogni A è B" significa "se qualcosa è un A, allora è un B"
4 $p \to q$ è falsa solo quando $p$ è vera e $q$ è falsa (V → F); negli altri tre casi è vera
5Un controesempio rende vera l'ipotesi e falsa la tesi, e ne basta uno per confutare un enunciato
6Gli esempi che funzionano sostengono un enunciato, ma non lo dimostrano

Domande frequenti

Perché "se $p$ , allora $q$ " è vera quando $p$ è falsa?

Perché l'enunciato fa una promessa solo per il caso in cui

p

si verifica. Se dici "se piove, prendo l'ombrello" e non piove, non hai mancato alla tua parola, qualunque cosa tu faccia.

La parola "allora" deve esserci sempre?

No. "Se piove, resto a casa", "Resto a casa quando piove" e "La pioggia significa che resto a casa" sono la stessa implicazione. Scriverla con "se" e "allora" serve solo a vedere bene l'ipotesi e la tesi.

Quanti controesempi servono per mostrare che un enunciato è falso?

Uno solo. Un'implicazione afferma che la tesi segue ogni volta che l'ipotesi è vera, quindi un solo caso V → F basta per confutarla.

Che cosa succede se scambio l'ipotesi e la tesi?

Ottieni un nuovo enunciato che può avere un altro valore di verità. "Se una figura è un quadrato, allora è un rettangolo" è vero, ma "se una figura è un rettangolo, allora è un quadrato" è falso. Scambiare e negare le parti è l'argomento delle prossime lezioni, Inversa e contraria e Contronominale.

Glossario

Enunciato condizionale: Un enunciato della forma "se $p$ , allora $q$ ", detto anche enunciato se... allora
Ipotesi: La condizione di un'implicazione, la parte dopo "se" ( $p$ )
Tesi: Il risultato di un'implicazione, la parte dopo "allora" ( $q$ ), detta anche conclusione
Implicazione: Altro nome dell'enunciato condizionale; $p \to q$ si legge " $p$ implica $q$ "
Controesempio: Un caso in cui l'ipotesi è vera e la tesi è falsa; mostra che un'implicazione è falsa
Valore di verità: Il fatto che un enunciato sia vero (V) o falso (F)

Scheda formule

Implicazione

p \to q

Si legge "se $p$, allora $q$": $p$ è l'ipotesi, $q$ la tesi

Unico caso falso

V \to F = F

Un'implicazione è falsa solo quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa

Controesempio

p \text{ vera e } q \text{ falsa}

Basta un caso così per confutare $p \to q$

Altro su questo argomento

Guida per l'insegnante: Enunciati se... allora

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Acquisti online

Mettere alla prova affermazioni in matematica

Casa intelligente e programmazione

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Implicazione

Unico caso falso

Controesempio

Altro su questo argomento

Introduzione al ragionamento logico

Il ragionamento deduttivo

Inversa e contraria

Contronominale