Il ragionamento induttivo

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale di questi esempi è un ragionamento induttivo?
1. a)Se x + 3 = 7, allora x = 4.
2. b)Tutti i quadrati hanno 4 lati. Questa figura è un quadrato, quindi ha 4 lati.
3. c)Ogni multiplo di 10 finisce con 0. 70 è un multiplo di 10, quindi 70 finisce con 0.
4. d)L'autobus è stato in ritardo tutte le mattine di questa settimana, quindi probabilmente domani sarà in ritardo.
Risposta: L'autobus è stato in ritardo tutte le mattine di questa settimana, quindi probabilmente domani sarà in ritardo.
L'esempio dell'autobus usa diverse osservazioni particolari (le mattine di questa settimana) per prevedere che cosa probabilmente succederà. Gli altri tre partono da una regola generale o da un'equazione e arrivano a una conclusione che deve essere vera: questo è ragionamento deduttivo.
2.
Usa la congettura "la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$ " per trovare $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ senza sommare termine per termine.
Risposta: 36
Ci sono $6$ numeri dispari, quindi la congettura dà $6^2 = 36$ . Sommarli lo conferma: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ .
3.
Dei punti sono disposti a triangolo: la figura 1 ha $1$ punto, la figura 2 ne ha $3$ , la figura 3 ne ha $6$ e la figura 4 ne ha $10$ . Se la regolarità continua, quanti punti ha la figura 6?
Risposta: 21
1. Quanti punti si aggiungono dalla figura 3 alla figura 4? 4
2. Si aggiungono $2, 3, 4$ punti. Quanti punti ha la figura 5? 15
3. Quanti punti ha la figura 6? 21
4.
Quale numero è un controesempio alla congettura "tutti i numeri primi sono dispari"?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
Risposta: 2
$2$ è primo (i suoi unici divisori sono $1$ e $2$ ) ed è pari, quindi fa cadere la congettura. $9$ e $15$ sono dispari ma non primi, e $7$ è primo e dispari, quindi nessuno di loro è un controesempio.
5.
Congettura: "raddoppiare un numero lo rende sempre più grande". Quale numero è uguale al suo doppio ed è quindi un controesempio?
Risposta: 0
$2 \times 0 = 0$ , quindi raddoppiare $0$ non lo rende più grande. Basta un controesempio per mostrare che la congettura è falsa. (Anche i numeri negativi la fanno cadere: $2 \times (-3) = -6$ , che è più piccolo.)
6.
Un girasole è alto $2$ cm dopo la settimana 1, $5$ cm dopo la settimana 2, $8$ cm dopo la settimana 3 e $11$ cm dopo la settimana 4. Se la regolarità continua, quanto sarà alto dopo la settimana 8 (in cm)?
Risposta: 23
1. Di quanti centimetri cresce il girasole ogni settimana? 3
2. Quanto è alto dopo la settimana 5? 14
3. Quanto è alto dopo la settimana 8? 23
7.
Congettura: la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$ . Verificala con $n = 5$ , poi usala per prevedere la somma dei primi $20$ numeri dispari.
Risposta: 400
1. Quanto fa $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ ? 25
2. $25$ è il quadrato di quale numero? 5
3. Secondo la congettura, qual è la somma dei primi 20 numeri dispari? 400
8.
Tom calcola $1 + 5$ , $9 + 3$ e $15 + 7$ , ottiene ogni volta un numero pari e conclude: "la somma di due numeri dispari è sempre pari". Quale tipo di ragionamento ha usato Tom?
1. a)Ragionamento circolare
2. b)Principio di induzione
3. c)Ragionamento induttivo
4. d)Ragionamento deduttivo
Risposta: Ragionamento induttivo
Tom è passato da tre casi particolari a una conclusione generale: questo è ragionamento induttivo. La sua congettura è vera, ma tre esempi non la dimostrano. Il principio di induzione, nonostante il nome, è un metodo di dimostrazione deduttivo.
9.
Un triangolo ha $0$ diagonali, un quadrilatero $2$ , un pentagono $5$ , un esagono $9$ , un ettagono $14$ e un ottagono $20$ . Continua la regolarità: quante diagonali ha un ennagono (9 lati)?
Risposta: 27
Le differenze crescono di $1$ : la successiva è $7$ , quindi $20 + 7 = 27$ . La formula $\frac{n(n - 3)}{2}$ conferma: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ .
10.
Osserva questi prodotti: $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Formula una congettura e prevedi $11111 \times 11111$ .
Risposta: 123454321
1. Qual è la cifra centrale (la più grande) di $1234321$ ? 4
2. Con cinque cifre 1, quale dovrebbe essere la cifra centrale? 5
3. Scrivi il risultato previsto di $11111 \times 11111$ . 123454321
11.
Lena afferma: "elevare un numero al quadrato lo rende sempre più grande". Verifica la sua affermazione con $\frac{1}{2}$ : quanto fa $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Scrivi la risposta come frazione.
Risposta: 1/4
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , e $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . Quindi $\frac{1}{2}$ è un controesempio: elevare al quadrato un numero tra $0$ e $1$ lo rende più piccolo.
12.
L'espressione $n^2 + n + 41$ dà un numero primo per ogni $n$ da $0$ a $39$ . Per $n = 40$ dà $1681$ . Quale affermazione è corretta?
1. a)La congettura è dimostrata perché ha funzionato per n = 0 fino a 39
2. b)Un solo controesempio non basta per respingere la congettura
3. c)1681 è primo, quindi la congettura regge ancora
4. d)1681 = 41 × 41, quindi n = 40 è un controesempio
Risposta: 1681 = 41 × 41, quindi n = 40 è un controesempio
$40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$ , che non è primo. Quindi $n = 40$ è un controesempio, e un solo controesempio basta per mostrare che "sempre primo" è falso, non importa quanti casi funzionassero prima.
13.
A una festa ognuno stringe la mano a ciascuno degli altri esattamente una volta. Con $2$ persone c'è $1$ stretta di mano, con $3$ persone ce ne sono $3$ e con $4$ persone $6$ . Quante strette di mano ci sono con $10$ persone?
Risposta: 45
1. Le differenze sono $2$ e $3$ . Quante strette di mano ci sono con $5$ persone? 10
2. Quante strette di mano ci sono con $6$ persone? 15
3. La congettura $\frac{n(n - 1)}{2}$ vale in tutti questi casi. Usala per $n = 10$ . 45
14.
Verifica la congettura " $n^2 + n + 41$ è sempre primo" passo per passo e trova il valore che la fa cadere per $n = 40$ .
Risposta: 1681
1. Quanto vale $n^2 + n + 41$ per $n = 1$ ? 43
2. Quanto vale $n^2 + n + 41$ per $n = 5$ ? 71
3. Quanto vale $n^2 + n + 41$ per $n = 40$ ? 1681
4. Quanto fa $1681 \div 41$ ? 41
15.
Dai casi $0, 2, 5, 9$ (poligoni da $3$ a $6$ lati) abbiamo formulato la congettura che un poligono con $n$ lati ha $\frac{n(n - 3)}{2}$ diagonali. Usala: quante diagonali ha un poligono con $12$ lati?
Risposta: 54
$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ . Questa congettura è stata anche dimostrata in modo deduttivo: da ciascuno degli $n$ vertici partono $n - 3$ diagonali, e ogni diagonale viene contata due volte.
16.
Sam nota: $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , tutti primi. Formula la congettura: "se $p$ è primo, allora $2^p - 1$ è primo". Quale valore di $p$ è un controesempio?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
Risposta: p = 11
$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ , che non è primo, quindi $p = 11$ fa cadere la congettura. Gli altri danno numeri primi: $2^{13} - 1 = 8191$ , $2^{17} - 1 = 131071$ , $2^{19} - 1 = 524287$ . Quattro casi favorevoli non bastavano.
17.
Metti dei punti su una circonferenza e unisci ogni coppia di punti con un segmento. Conta le regioni dentro il cerchio: $1$ punto dà $1$ regione, $2$ punti danno $2$ , $3$ punti $4$ , $4$ punti $8$ , $5$ punti $16$ . Un disegno accurato con $6$ punti, disposti in modo che tre segmenti non si incontrino mai nello stesso punto, mostra $31$ regioni. Verifica la congettura del raddoppio: di quante regioni sbaglia la sua previsione?
Risposta: 1
1. Per quale numero si moltiplica ogni valore per ottenere il successivo? 2
2. Che cosa prevede la congettura del raddoppio per $6$ punti? 32
3. Il disegno mostra $31$ regioni. Di quante regioni sbaglia la previsione? 1
18.
Congettura: "la somma di tre numeri interi consecutivi è sempre $3$ volte il numero centrale". Verificala in modo induttivo, poi usa la versione deduttiva per trovare $49 + 50 + 51$ .
Risposta: 150
1. Quanto fa $4 + 5 + 6$ ? 15
2. Quanto fa $15 \div 3$ ? (Confrontalo con il numero centrale.) 5
3. Verifica un altro caso: quanto fa $20 + 21 + 22$ ? 63
4. In modo deduttivo: $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ . Usalo per trovare $49 + 50 + 51$ . 150